李正元高等数学强化讲义.docx
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1、第一讲 极限、无穷小与连续性 一、学问网络图 二、重点考核点 这部分的重点是: 驾驭求极限的各种方法 驾驭无穷小阶的比拟及确定无穷小阶的方法推断函数是否连续及确定连续点的类型(本质上是求极限)复合函数、分段函数及函数记号的运算1 极限的重要性质 1不等式性质 设,且AB,则存在自然数N,使得当nN时有xnyn 设,且存在自然数N,当nN时有xnyn,则AB 作为上述性质的推论,有如下的保号性质:设,且A0,则存在自然数N,使得当nN时有xn0设,且存在自然数N,当nN时有xn0,则A0 对各种函数极限有类似的性质例如:设,且AB,则存在0,使得当有f(x)g(x)设,且存在0,使得当0xx0时
2、f(x)g(x),则AB 2有界或部分有界性性质 设,则数列xn有界,即存在M0,使得xnM(n = 1,2,3,) 设则函数f(x)在x = x0的某空心邻域中有界,即存在0和M0,使得当0xx0时有f(x)M对其他类型的函数极限也有类似的结论2 求极限的方法 1极限的四则运算法则及其推广 设,则 只要设存在或是无穷大量,上面的四则运算法则可以推广到除“”,“”,“0”,“”四种未定式以外的各种情形即: 1设,则.()又B0,则2设,当xx0时部分有界,(即,使得时),则 设,当xx0时g(x)部分有正下界,(即$0,b0使得0x x0时g(x)b0),则 3设,则,又$0使得0x x0时f
3、(x)g(x)0,则 4设,xx0时g(x)部分有界,则(无穷小量与有界变量之积为无穷小) 2幂指函数的极限及其推广 设 只要设存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1”,“00”及“0”三种未定式以外的各种情形这是因为仅在这三个状况下是“0”型未定式 1设 = 0(0x时f(x)0),则 2设 = A0,A1, = + ,则 3设 = + ,则 【例1】 设【分析】 【例2】设an,bn,cn均为非负数列,且则必有 (A)anbn对随意n成立 (B)bncn对随意n成立(C)极限不存在 (D)不存在 用相消法求或型极限 【例1】求 【解】作恒等变形,分子、分母同乘 【例2】求 【解】作恒
4、等变形,分子、分母同除得 利用洛必达法则求极限 【例1】设f(x)在x = 0有连续导数,又 求【例2】求【例3】求【例4】求【例5】若,则【例6】求 【例7】设a0,b0为常数且,则(a,b) = _【分析】型极限 因此(a,b) = 分别求左、右极限的情形,分别求的情形 【例1】设,求【例2】求 利用函数极限求数列极限【例1】求【例2】求 【解1】 转化为求 【解2】用求指数型极限的一般方法 转化为求(等价无穷小因子交换),余下同前3 无穷小和它的阶 1无穷小、极限、无穷大及其联络 (1)无穷小与无穷大的定义 (2)极限与无穷小,无穷小与无穷大的关系 其中o(1)表示无穷小量 在同一个极限
5、过程中,u是无穷小量(u0)是无穷大量反之若u是无穷大量,则是无穷小量 2无穷小阶的概念 (1)定义 同一极限过程中,a(x),b(x)为无穷小, 设 定义 设在同一极限过程中a(x),b(x)均为无穷小,a(x)为根本无穷小,若存在正数k与常数使得 称b(x)是a(x)的k阶无穷小,特殊有,称xx0时b(x)是(xx0)的k阶无穷小 (2)重要的等价无穷小x0时 sinx x,tanx x,(1 + x) x,ex1 x; ax1 xlna,arcsinx x,arctanx x;(1 + x)a1 ax,1cosx (3)等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1若a b,b ga g
6、2 a ba = b + o(b) 3在求“”型与“0”型极限过程中等价无穷小因子可以交换 【例1】 求【例2】设【分析】 由已知条件及又在x = 0某空心邻域f(x)0,又3x1 xln3于是 【例3】 设x a时a(x),b(x)分别是x a的n阶与m阶无穷小,又,则x a时 (1)a(x)h(x)是x a的_阶无穷小 (2)a(x)b(x)是x a的_阶无穷小 (3)nm时,a(x)b(x)是x a的_阶无穷小 (4)nm时是x a的_阶无穷小 (5)k是正整数时,ak是x a的_阶无穷小以上结论简洁按定义证明。例如,已知, f(x)g(x)是x a的n + m阶无穷小 【例4】设f(x
7、)连续,x a时f(x)是x a的n阶无穷小,求证:是x a的n + 1阶无穷小 【例5】x 0时,是x的_阶无穷小;是x的_阶无穷小;是x的_阶无穷小,是x的_阶无穷小 【例6】x 0时,下列无穷小中( )比其他三个的阶高, (A)x2 (B)1cosx (C) (D)x tanx 【例7】当x 0时,与比拟是( )的无穷小 (A)等价 (B)同阶非等价(C)高阶 (D)低阶4 连续性及其推断 1连续性概念 (1)连续的定义: 函数f(x)满意,则称f(x)在点x = x0处连续;f(x)满意(或,则称f(x)在x = x0处右(或左)连续 若f(x)在(a,b)内每一点连续,则称f(x)在
8、(a,b)内连续;若f(x)在(a,b)内连续,且在x = a处右连续,在点x = b处左连续,则称f(x)在a,b上连续(2)单双侧连续性 f(x)在x = x0处连续 f(x)在x = x0处既左连续,又右连续 (3)连续点的分类: 设f(x)在点x = x0的某一空心邻域内有定义,且x0是f(x)的连续点 若f(x)在点x = x0处的左、右极限f(x00)与f(x0 + 0)存在并相等,但不等于函数值f(x0)或f(x)在x0无定义,则称点x0是可去连续点;若f(x)在点x = x0处的左、右极限f(x00)与f(x0 + 0)存在但不等,则称点x0是跳动连续点:它们统称为第一类连续点
9、 若f(x)在点x = x0处的左、右极限f(x00)与f(x0 + 0)至少有一个不存在,则称点x0为第二类连续点 2函数连续性与连续点类型的推断: 若f(x)为初等函数,则f(x)在其定义域区间D上连续,即当开区间(a,b) D,则f(x)在(a,b)内连续;当闭区间c,d D,则f(x)在c,d上连续若f(x)是非初等函数或不清晰它是否为初等函数,则用连续的定义和连续性运算法则(四则运算,反函数运算与复合运算)来推断当f(x)为分段函数时,在其分界点处则需按定义或分别推断左、右连续性 推断f(x)的连续点的类型,就是求极限 3有界闭区间a,b上连续函数的性质: 最大值和最小值定理:设f(
10、x)在闭区间a,b上连续,则存在和a,b,使得 f()f(x)f(),(axb) 有界性定理:设f(x)在闭区间a,b上连续,则存在M0,使得 f(x)M,(axb) 介值定理:设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)f(b),则对f(a)与f(b)之间的随意一个数c,在(a,b)内至少存在一点,使得 f() = c 推论1(零值定理):设f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)f(b)0,则在(a,b)内至少存在一点,使得 f() = 0 推论2:设f(x)在闭区间a,b上连续,且m和M分别是f(x)在a,b上最小值和最大值,若mM,则f(x)在a,b上的值域为m,M 【例1】 函数在
11、下列哪个区间内有界 (A)(1,0) (B)(0,1) (C)(1,2) (D)(2,3) 【分析一】这里有界只须考察,g(x)是初等函数,它在定义域(x1,x2)上连续,有界闭区间上连续函数有界,1,0 定义域,g(x)在1,0有界,选(A) 【分析二】设h(x)定义在(a,b)上,若或,则h(x)在(a,b)无界因, 在(0,1),(1,2),(2,3)均无界选(A) 【例2】设,探讨y = f(g(x)的连续性,若有连续点并指出类型 【分析与解法1】先求f(g(x)的表达式 在(,1),(1,2),(2,5),(5, +),f(g(x)分别与初等函数一样,故连续x = 2或5时可添加等号
12、,左、右连接起来,即左连续又右连续 f(g(x)在x = 2或5连续x = 1时 x = 1是f(g(x)的第一类连续点(跳动连续点) 【分析与解法2】 不必求出f(g(x)的表达式 g(x)的表达式中,x = 2或5处可添加等号,左、右连接起来g(x)在(, +)到处连续 ,u1时连续 u = g(x) = 1x = 1 因此,x1时由连续函数的复合函数是连续的f(g(x)连续.x = 1时 x = 1是f(g(x)的第一类连续点第二讲 一元函数微分学的概念、计算及简洁应用 一、学问网络图 二、重点考核点 这部分的重点是 导数与微分的定义、几何意义,探讨函数的可导性及导函数的连续性,特殊是分
13、段函数,可导与连续的关系 按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分(包括:初等函数,幂指数函数,反函数,隐函数,变限积分函数,参数式,分段函数及带抽象函数记号的复合函数),求n阶导数表达式 求平面曲线的切线与法线,描绘某些物理量的变更率 导数在经济领域的应用如“弹性”,“边际”等(只对数三,数四)1 一元函数微分学中的根本概念及其联络 1可导与可微的定义及其联络 2几何意义与力学意义是曲线y = f(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率 是相应于Dx该切线上纵坐标的增量 质点作直线运动,t时刻质点的坐标为x = x(t),是t = t0时刻的速度 3单侧导数与双侧导数 f(x)在x
14、 = x0可导均存在且相等 此时 【例1】 说明下列事实的几何意义(1)(2)f(x),g(x)在x= x0处有连续二阶导数,(3)f(x)在x = x0处存在,但.(4)y = f(x)在x = x0处连续且【例2】 ,d0为某常数设均存在且.求证:. 【例3】请答复下列问题: (1)设y = f(x)在x = x0可导,相应于Dx有Dy = f(x0 + Dx)f(x0), Dx0时它们均是无穷小试比拟下列无穷小: Dy是Dx的_无穷小;Dydy是Dx的_无穷小; 时Dy与dy是_无穷小(2)du与Du是否相等? 【例4】设f(x)连续,试探讨的存在性与的存在性之间的关系 (1)考察下列两
15、个函数图形,由导数的几何意义来分析存在与存在之间的关系 (2)f(x0)0时,求证:存在存在 【证明】 因0,由连续性,$d0,使得当xx0d时有f(x)0或f(x)0,于是在x0该邻域内必有f(x)= f(x)或f(x)= f(x)之一成立,故在点x = x0处两个函数的可导性是等价的 (3)f(x0) = 0时,求证:存在 【证明】 设f(x0) = 0 存在 综合可得,题目中结论(2)和(3)成立也可以概括为:点x = x0是可导函数的肯定值函数的不行导点的充分必要条件是它使得f(x0)= 0但 【评注】 论证中用到明显的事实: 【例5】 设函数f(x)连续,且,则存在d 0,使得 (A
16、)在(0,d)内单调增加 (B)在(d,0)内单调削减(C)对随意的x(0,d)有f(0)(D)对随意的x(d,0)有f(0)2 一元函数求导法 反函数求导法: 设f(x)在区间Ix可导,值域区间为Iy,则它的反函数x =j(y)在Iy可导且 【例】 设y =y(x)满意,求它的反函数的二阶导数 【解】 变限积分求导法: 设函数f(x)在a,b上连续,则在a,b上可导,且 ,(axb) 设在c,d上连续,当x a,b时函数u(x),v(x)可导,且的值域不超出c,d,则在a,b上可导,且 ,(axb) 【例1】 设f(x)在(,+ )连续且,求 【例2】设f(x)在(,+)连续,又,求 【例3
17、】设,求 【例4】设f(x)为连续函数,则等于 (A)2f(2) (B)f(2) (C)f(2) (D)0 【分析一】先用分部积分法将F(t)化为定积分 选(B) 【分析二】转化为可以用变限积分求导公式的情形 选(B)【分析三】交换积分依次化为定积分 【分析四】特殊选取法取f(x)= 1(满意条件) 选(B) 隐函数求导法:【例1】y = y(x)由所确定,则 【例2】y = y(x)由下列方程确定,求 (1)x + arctany = y; 【解】对x求导, 解出再对x求导得 (2),其中 【解】对x求导得 利用方程化简得再将的方程对x求导得 解出,并代入表达式 若先取对数得lnx + f(
18、y)=y 然后再求导,可简化计算 【例3】设y = y(x)由方程yxey = 1确定,求的值 【解】原方程中令x = 0 y(0)=1将方程对x求导得 令将上述方程两边再对x求导得 分段函数求导法:【例1】设f(x)= x2x,则使到处存在的最高阶数n为_ 【例2】设 (A)不连续 (B)连续,但不行导 (C)可导但导函数不连续 (D)可导且导函数连续 【分析】先按定义探讨f(x)在x = 0的可导性问题 进一步考察在x = 0的连续性 当x0时, 由此可知, 在x = 0不连续 因此,选(C) 【例3】求常数a,b使函数到处可导,并求出导数 【分析与求解】对常数a,b,x3时f(x)均可导
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