(精品李正元高等数学强化讲义.pdf
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1、 李正元高等数学强化讲义 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 第一讲 极限、无穷小与连续性 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是:最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 掌握求极限的各种方法 掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法 判断函数是否连续及确定间断点的类型(本质上是求极限)复合函数、分段函数及函数记号的运算 1 极限的重要性质 1不等式性质 设ByAxnnnnlimlim,且 AB,则存在自然数 N,使得当 nN 时有 xnyn 设ByAxnnnnlimlim,且存在自然数 N,当 nN 时有 xn
2、yn,则 AB 作为上述性质的推论,有如下的保号性质:设Axnnlim,且 A0,则存在自然数 N,使得当 nN 时有 xn0设Axnnlim,且存在自然数N,当 nN 时有 xn0,则 A0 对各种函数极限有类似的性质例如:设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00,且 AB,则存在0,使得当00 xx有 f(x)g(x)设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00,且存在0,使得当 0 xx0时 f(x)g(x),则 AB 2有界或局部有界性性质 设Axnnlim,则数列xn有界,即存在M0,使得xnM(n=1,2,3,)设,Axfxx)(lim0则函数 f(x)在 x=x0的某空心
3、邻域中有界,即存在0和 M0,使得当 0 xx0时有f(x)M对其他类型的函数极限也有类似的结论 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2 求极限的方法 1极限的四则运算法则及其推广 设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00,则;BAxgxfxx)()(lim0;ABxgxfxx)()(lim0)0()()(lim0BBAxgxfxx 只要设)(glim)(lim00 xxfxxxx,存在或是无穷大量,上面的四则运算法则可以推广到除“00”,“”,“0”,“”四种未定式以外的各种情形即:1设Bxxfxxxx)(glim)(lim00,则)()(lim
4、0 xgxfxx.)()(lim0 xgxfxx(()0g x)又 B0,则)()(lim0 xgxfxx2设)(lim0 xfxx,当 xx0时()g x局部有界,(即0,0M,使得00 xx时()g xM),则)()(lim0 xgxfxx 设)(lim0 xfxx,当 xx0时g(x)局部有正下界,(即0,b0 使得 0 x x0时g(x)b0),则)()(lim0 xgxfxx 3设)(lim0 xfxx,)(lim0 xgxx,则)()(lim0 xgxfxx,又0 使得 0 x x0时 f(x)g(x)0,则)()(lim0 xgxfxx 4设0)(lim0 xfxx,xx0时 g
5、(x)局部有界,则0)()(lim0 xgxfxx(无穷小量与有界变量之积为无穷小)2幂指函数的极限及其推广 设AxfBxgAxfBxgxxxxxx)()(lim)(lim0)(lim000则,000lim()ln()()()ln()ln(lim()lim)xxg xf xg xg xf xBABxxxxf xeeeA 只要设00lim()lim()xxxxf xg x,存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1”,“00”及“0”三种未定式以外的各种情形这是因为仅在这三个情况下)(ln)(lim0 xfxgxx是“0”型未定式 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请
6、联系网站删除 1设)(lim0 xfxx=0(0 x0 x时 f(x)0),0)(lim0Bxgxx,则 0()0(0)lim()(0)g xxxBf xB 2设)(lim0 xfxx=A0,A1,)(lim0 xgxx=+,则 0()0(01)lim()(1)g xxxAf xA 3设)(lim0 xfxx=+,0)(lim0Bxgxx,则 0)()0(0)(lim)(0BBxfxgxx 【例 1】设,则,又_)(lim0)(glim)()(lim000 xfxAxgxfxxxxxx【分析】00)()()(lim)(lim00Axgxgxfxfxxxx【例 2】设an,bn,cn均为非负数列
7、,且,nnnnnncbalim1lim0lim则必有 (A)anbn对任意 n成立 (B)bncn对任意 n 成立(C)极限nnncalim不存在 (D)nnncblim不存在 用相消法求00或型极限 【例 1】求)cos1(sin1tan1lim0 xxxxIx 【解】作恒等变形,分子、分母同乘得xxsin1tan1 0tansinlim(1 cos)1tan1 sinxxxIxxxx xxxxxxxxsin1tan11lim)cos1()cos1(tanlim0021211 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【例 2】求22411limsinxxxx
8、Ixx 【解】作恒等变形,分子、分母同除)0(2xxx得 20211141401 0lim1sin101xxxxIxx 利用洛必达法则求极限 【例 1】设 f(x)在 x=0有连续导数,又 2)(sinlim20 xxfxxIx 求(0)(0)ff 与【例 2】求)1ln()cos1(1cossin2lim20 xxxxxx【例 3】求xxIxxe)1(lim10【例 4】求xxIxxxsineelimsin0【例 5】若306sin()lim0 xxxf xx,则_)(6lim20 xxfx【例 6】求)1ln(0)(tanlimxxxI 【例 7】设0,0为常数且122lim()aaaxI
9、xxx,则(,)=_【分析】型极限 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 210121)1(lim1t 1)(1limttxxxIaataaxttataaaat2)1(1lim1110 )20()2(21)2(0)1(21lim2110aaattaaat 因此(,)=)212(,分别求左、右极限的情形,分别求nnnnxx212limlim与的情形 【例 1】设|sine1e2)(41xxxfxx,求0lim()xf x【例 2】求nnnIn)1(1lim 利用函数极限求数列极限 【例 1】求)1(limaanInn【例 2】求21lim(tan)nnInn
10、 【解 1】)11tan(11tan12)11tan(1limnnnnnnnnI 转化为求2230021tan11tan11tanlim(tan1)limlimlim1nnxxnxxxnxn nnxxn 123201cos1lime33xxIx 【解 2】用求指数型极限的一般方法 nnnnI11tanln2elim 转化为求 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2021tantan1lnlim lnlim1nxnxxnxn201tanlimxxxx(等价无穷小因子替换),余下同前 3 无穷小和它的阶 1无穷小、极限、无穷大及其联系 (1)无穷小与无穷大的
11、定义 (2)极限与无穷小,无穷小与无穷大的关系 0lim()()()xxf xAf xAx 其中00lim()0()(1).xxxf xAoxx,o(1)表示无穷小量 在同一个极限过程中,u 是无穷小量(u0)u1是无穷大量反之若 u是无穷大量,则u1是无穷小量 2无穷小阶的概念 (1)定义 同一极限过程中,(x),(x)为无穷小,设 0()()1()()()lim()()()()0()()()()()lxxlxxxlxxxlxxxox为有限数,称与为同阶无穷小时,称与为等价无穷小,记为极限过程时,是比高阶的无穷小,记为极限过程 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联
12、系网站删除 定义 设在同一极限过程中(x),(x)均为无穷小,(x)为基本无穷小,若存在正数 k与常数l使得0)()(lim lxxk 称(x)是(x)的 k阶无穷小,特别有0)()(lim00lxxxkxx,称 xx0时(x)是(xx0)的 k阶无穷小 (2)重要的等价无穷小 x0时 sinx x,tanx x,(1+x)x,ex1 x;ax1 xlna,arcsinx x,arctanx x;(1+x)a1 ax,1cosx 221x (3)等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1若 ,2 =+o()3在求“00”型与“0”型极限过程中等价无穷小因子可以替换 【例 1】求13cos21
13、lim30 xxxxI【例 2】设_)(lim5132sin)(1lnlim200 xxfxxfxxx,则【分析】由已知条件及 02sin)(lim0)2sin)(1ln(lim0)13(lim000 xxfxxfxxxx又在 x=0某空心邻域 f(x)0()()()ln(1)(0)sin 2sin 22f xf xf xxxxx,又 3x1 xln3于是 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 22000()/2()()limlim5lim10ln3ln32ln3xxxf xxf xf xxxx 【例 3】设 x a时(x),(x)分别是 x a的 n 阶
14、与 m阶无穷小,又0)(limAxhax,则 x a 时 (1)(x)h(x)是 x a 的_阶无穷小 (2)(x)(x)是 x a 的_阶无穷小 (3)nm时,(x)(x)是 x a 的_阶无穷小 (4)nm时)()(xx是 x a 的_阶无穷小 (5)k是正整数时,k是 x a 的_阶无穷小 以上结论容易按定义证明。例如,已知0)()(limAaxxfnax,()()()()()lim0limlim0()()()()mn mnmxaxaxag xf x g xf xg xBA Bxaxaxaxaf(x)g(x)是 x a的 n+m阶无穷小 【例 4】设 f(x)连续,x a时 f(x)是
15、x a 的 n 阶无穷小,求证:xadttf)(是 x a的 n+1阶无穷小 【例 5】x 0时,231)1(xxx是 x的_阶无穷小;332xx 是 x的_阶无穷小;)1ln(sin3xx是 x的_阶无穷小,xdtt02sin是 x的_阶无穷小 【例 6】x 0 时,下列无穷小中()比其他三个的阶高,最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 (A)x2 (B)1cosx (C)112 x (D)x tanx 【例 7】当 x 0 时,xdttxfsin02sin)(与43)(xxxg比较是()的无穷小 (A)等价 (B)同阶非等价(C)高阶 (D)低阶 4
16、连续性及其判断 1连续性概念 (1)连续的定义:函数 f(x)满足)()(lim00 xfxfxx,则称 f(x)在点 x=x0处连续;f(x)满足00lim()()xxf xf x(或)()(lim00 xfxfxx,则称f(x)在 x=x0处右(或左)连续 若 f(x)在(a,b)内每一点连续,则称 f(x)在(a,b)内连续;若 f(x)在(a,b)内连续,且在 x=a 处右连续,在点 x=b 处左连续,则称 f(x)在a,b上连续(2)单双侧连续性 f(x)在 x=x0处连续 f(x)在 x=x0处既左连续,又右连续 (3)间断点的分类:设 f(x)在点 x=x0的某一空心邻域内有定义
17、,且 x0是 f(x)的间断点 若 f(x)在点 x=x0处的左、右极限 f(x00)与 f(x0+0)存在并相等,但不等于函数值 f(x0)或 f(x)在 x0无定义,则称点 x0是可去间断点;若 f(x)在点 x=最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 x0处的左、右极限 f(x00)与 f(x0+0)存在但不等,则称点 x0是跳跃间断点:它们统称为第一类间断点 若 f(x)在点 x=x0处的左、右极限 f(x00)与 f(x0+0)至少有一个不存在,则称点 x0为第二类间断点 2函数连续性与间断点类型的判断:若 f(x)为初等函数,则 f(x)在其定义
18、域区间 D上连续,即当开区间(a,b)D,则 f(x)在(a,b)内连续;当闭区间c,d D,则 f(x)在c,d上连续若 f(x)是非初等函数或不清楚它是否为初等函数,则用连续的定义和连续性运算法则(四则运算,反函数运算与复合运算)来判断当f(x)为分段函数时,在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性 判断 f(x)的间断点的类型,就是求极限00lim()xxf x 3有界闭区间a,b上连续函数的性质:最大值和最小值定理:设f(x)在闭区间a,b上连续,则存在和a,b,使得 f()f(x)f(),(axb)有界性定理:设 f(x)在闭区间a,b上连续,则存在 M0,使得 f(x)M,(a
19、xb)介值定理:设函数 f(x)在闭区间a,b上连续,且 f(a)f(b),则对 f(a)与 f(b)之间的任意一个数 c,在(a,b)内至少存在一点,使得 f()=c 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 推论 1(零值定理):设 f(x)在闭区间a,b上连续,且 f(a)f(b)0,则在(a,b)内至少存在一点,使得 f()=0 推论 2:设 f(x)在闭区间a,b上连续,且 m和 M分别是 f(x)在a,b上最小值和最大值,若 mM,则 f(x)在a,b上的值域为m,M 【例 1】函数2)2)(1()2sin(|)(xxxxxxf在下列哪个区间内有界
20、 (A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(2,3)【分析一】这里|xx有界只须考察2)2)(1()2sin()(xxxxg,g(x)是初等函数,它在定义域(x1,x2)上连续,有界闭区间上连续函数有界,1,0 定义域,g(x)在1,0有界,选(A)【分析二】设 h(x)定义在(a,b)上,若)(lim0 xhax或)(lim0 xhbx,则h(x)在(a,b)无界因)(lim1xfx,)(lim2xfx()f x在(0,1),(1,2),(2,3)均无界选(A)【例 2】设111)(2xxxxxf,xxxxxxxg5352)1(22)(,讨论 y=f(g(x)的连续性,若有间断
21、点并指出类型 【分析与解法 1】先求 f(g(x)的表达式 2()()1)()1()()1)gxg xf g xg xg x)5()3(1)52()1(21)21(1)1()(2xxxxxxxxxgf 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 在(,1),(1,2),(2,5),(5,+),f(g(x)分别与初等函数相同,故连续x=2 或 5 时可添加等号,左、右连接起来,即左连续又右连续 f(g(x)在 x=2 或 5 连续x=1时 1lim)(lim0)1(lim)(lim201010101xxgfxxgfxxxx x=1 是 f(g(x)的第一类间断点(
22、跳跃间断点)【分析与解法 2】不必求出 f(g(x)的表达式 g(x)的表达式中,x=2或 5 处可添加等号,左、右连接起来g(x)在(,+)处处连续 111)(2uuuuuf,u1 时连续 u=g(x)=1x=1 因此,x1时由连续函数的复合函数是连续的f(g(x)连续.x=1 时 1lim)(lim)(lim0)1(lim)(lim)(lim2010101010101xxfxgfxxfxgfxxxxxx x=1 是 f(g(x)的第一类间断点 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 第二讲 一元函数微分学的概念、计算及简单应用 一、知识网络图 二、重点考
23、核点 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 这部分的重点是 导数与微分的定义、几何意义,讨论函数的可导性及导函数的连续性,特别是分段函数,可导与连续的关系 按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分(包括:初等函数,幂指数函数,反函数,隐函数,变限积分函数,参数式,分段函数及带抽象函数记号的复合函数),求 n 阶导数表达式 求平面曲线的切线与法线,描述某些物理量的变化率 导数在经济领域的应用如“弹性”,“边际”等(只对数三,数四)1 一元函数微分学中的基本概念及其联系 1可导与可微的定义及其联系 f 00000000000()()()()()lim
24、lim()()()(1)0(1)()xxxf xxf xf xf xxf xfxxxxf xxf xAoxoxAfx 在 可导:,即无穷小量 0000000()()()()(0)()()()()x xf xxf xxf xA xoxxf xxxf xA xfxxfx dx 在 可微:在的微分d 0()f xxx在连续最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2几何意义与力学意义)(0 xf 是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率 xxfxdfxx)()(00是相应于x该切线上纵坐标的增量 质点作直线运动,t 时刻质点的坐标为 x=x(t),)(
25、0tx是 t=t0时刻的速度 3单侧导数与双侧导数 f(x)在 x=x0可导00)()f xfx,均存在且相等 此时 000()()()fxfxfx 0000()()()limxf xxf xfxx,-0000()()()lim.xf xxf xfxx 【例 1】说明下列事实的几何意义(1)xgxfxgxf)()()()(0000,(2)f(x),g(x)在 x=x0处有连续二阶导数,0000()()()()f xg xfxg x,xgxf0)()(00 (3)f(x)在 x=x0处存在00()()fxfx,但00()()fxfx.(4)y=f(x)在 x=x0处连续且000()()lim.x
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