人教版高中数学必修一集合及函数基础知识讲解.docx
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1、集合与函数概念11集合(一)集合的有关概念定义:一般地,我们把探讨对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集。2.表示方法:集合通常用大括号 或大写的拉丁字母A,B,C表示, 而元素用小写的拉丁字母a,b,c表示。3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。4.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种)若a是集合A中的元素,则称a属于集合A,记作aA;若a不是集合A的元素,则称a不属于集合A,记作aA。5.常用的数集及记法:非负整数集(或自然数集),记作N;正整数集,记作N*或N+;N内解除0的集.整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R;6.关于集合的元素的
2、特征 确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如:“地球上的四大洋”(太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋)。“中国古代四大独创” (造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比拟大 的数”,“平面点P四周的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的. 互异性:一个集合中的元素是互不一样的,即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2 无序性:即集合中的元素无依次,可以随意排列、调换。练1:推断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:大于3小于11的偶数;我国的小河流;非负奇数; 方程x
3、2+1=0的解;某校2011级新生; 血压很高的人;闻名的数学家; 平面直角坐标系内全部第三象限的点7.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种)若a是集合A中的元素,则称a属于集合A,记作aA;若a不是集合A的元素,则称a不属于集合A,记作aA。 例如,我们A表示“120以内的全部质数”组成的集合,则有3A,4A,等等。练:A=2,4,8,16,则4A,8A,32A.(二)例题讲解:例1用“”或“”符号填空: 8 N; 0 N; -3 Z; Q; 设A为全部亚洲国家组成的集合,则中国 A,美国 A,印度 A,英国 A。练:5页题例2已知集合P的元素为, 若2P且-1P,
4、务实数m的值。练:考察下列对象是否能形成一个集合?身材高大的人 全部的一元二次方程直角坐标平面上纵横坐标相等的点 瘦长的矩形的全体比2大的几个数 的近似值的全体全部的小正数 全部的数学难题给出下面四个关系:R,0.7Q,00,0N,其中正确的个数是:( )A4个 B3个 C2个 D1个下面有四个命题:若-a,则a 若a,b,则a+b的最小值是2集合N中最小元素是1 x2+4=4x的解集可表示为2,2 其中正确命题的个数是( 由实数-a, a, ,2, -5为元素组成的集合中,最多有几个元素分别为什么求集合2a,a2+a中元素应满意的条件若t,求t的值.一、集合的表示方法列举法:把集合中的元素一
5、一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如:1,2,3,4,5,x2,3x+2,5y3-x,x2+y2,;说明:书写时,元素与元素之间用逗号分开;一般不必考虑元素之间的依次;在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序;集合中的元素可以为数,点,代数式等;列举法可表示有限集,也可以表示无限集。当元素个数比拟少时用列举法比拟简洁;若集合中的元素较多或无限,但出现肯定的规律性,在不发生误会的状况下,也可以用列举法表示。对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必需把元素间的规律显示清晰前方能用省略号,象自然数集用列举法表示为例1用列举法表示下列集合:(1) 小于5的正奇数组成的集
6、合;(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合;(3) 从51到100的全部整数的集合;(4) 小于10的全部自然数组成的集合;(5) 方程的全部实数根组成的集合; 由120以内的全部质数组成的集合。描绘法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描绘法。方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或改变)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式:如:x|x-32,(x,y)|y=x2+1,x|直角三角形,;说明:描绘法表示集合应留意集合的代表元素,如(x,y)|y= x2+3x+2与 y|y= x2+3x+2是不同的两个集合,只要不
7、引起误会,集合的代表元素也可省略,例如:整数,即代表整数集Z。辨析:这里的 已包含“全部”的意思,所以不必写全体整数。写法实数集,R也是错误的。用符号描绘法表示集合时应留意:、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式?、元素具有怎么的属性?当题目中用了其他字母来描绘元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被外表的字母形式所迷惑。例2用描绘法表示下列集合:(1) 由合适x2-x-20的全部解组成的集合;(2) 到定点间隔 等于定长的点的集合;(3) 方程的全部实数根组成的集合(4) 由大于10小于20的全部整数组成的集合。 说明:列举法与描绘法各有优点,应当根据详
8、细问题确定采纳哪种表示法,要留意, 一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采纳列举法。练习:5页2题1用适当的方法表示集合:大于0的全部奇数2集合Ax|Z,xN,则它的元素是 。3.已知集合Ax|-3x3,xZ,B(x,y)|yx+1,xA,则集合B用列举法表示是 .推断下列两组集合是否相等? (1)A=x|y=x+1与B=y|y=x+1; (2)A=自然数与B=正整数二、集合的分类视察下列三个集合的元素个数1. 4.8, 7.3, 3.1, -9; 2. xR0x3; 3. xRx2+1=0由此可以得到集合的分类三、文氏图集合的表示除了上述两种方法以外,还有文氏图法,即3,9,27A画一条
9、封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如下图所示: 表示3,9,27表示随意一个集合A 典型例题【题型一】元素与集合的关系、设集合A,a,b,B=a,a,ab,且A=B,务实数a,b.、已知集合Aa+2,(a+1),a+3a+3若1A,务实数a的值。【题型二】元素的特征、 已知集合M=xNZ,求M已知集合C=ZxN,求C点拔:要留意M与C的区分,集合M中的元素是自然数x,满意是整数,集合C是的元素是整数,满意条件是xN练习:.给出下列四个关系式:R;Q;0N;0其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4.方程组的解组成的集合是( ) A.2,1 B.-1,2 C.(2,1) D.(
10、2,1)3. 把集合-3x3,xN用列举法表示,正确的是( ) A.3,2,1 B.3,2,1,0 C.-2,-1,0,1,2D.-3,-2,-1,0,1,2,34.下列说法正确的是( )A.0是空集B.xQZ是有限集C.xQx2+x+2=0是空集 D.2,1与1,2是不同的集合二填空题:、 以实数为元素构成的集合的元素最多有个;、 以实数a,2-a.,4为元素组成一个集合A,A中含有个元素,则的a值为 .、集合M=yZy=,xZ,用列举法表示是M。、已知集合A2a,a2-a,则a的取值范围是。三、解答题:、设Axx2+(b+2)x+b+1=0,bR求A的全部元素之与。10.已知集合Aa,2b
11、-1,a+2bB=xx3-11x2+30x=0,若A=B,求a,b的值。集合间的根本关系比拟下面几个例子,试发觉两个集合之间的关系:(1),;(2),;(3),视察可得:子集:对于两个集合A,B,假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这 两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集(subset)。 记作: 读作:A包含于B,或B包含AB A表示: 当集合A不包含于集合B时,记作AB(或BA) 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系:集合相等定义:假如A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,则集合A与集合B 中的元素是一样的,因此集合A与集合B相等,即若,则。 如:A=x|x=2m
12、+1,mZ,B=x|x=2n-1,nZ,此时有A=B。真子集定义:若集合,但存在元素,则称集合A是集合B的真子集。 记作:A B(或B A) 读作:A真包含于B(或B真包含A)4.空集定义:不含有任何元素的集合称为空集。记作:用适当的符号填空: ; 0 ; ; 5.几个重要的结论: 空集是任何集合的子集;对于随意一个集合A都有A。 空集是任何非空集合的真子集; 任何一个集合是它本身的子集; 对于集合A,B,C,假如,且,那么。练习:填空: 2 N; N; A; 已知集合Ax|x3x20,B1,2,Cx|x3,Bx|x3,Bx|x6,则AB 。 3.一些特殊结论 若A,则AB=A; 若B,则AB
13、=A;若A,B两集合中,B=,,则A=, A=A。【题型一】并集与交集的运算【例1】-1123设A=x|-1x2,B=x|1x3,求AB。 解:AB=x|-1x2x|1x3=x|-1x-2,B=x|x-2x|x3=x|-2x3。【例3】已知集合Ay|y=x2-2x-3,xR,B=y|y=-x2+2x+13,xR求AB、AB【题型二】并集、交集的应用例:设集合Aa+1,3,5,B=2a+1,a2+2a,a2+2a-1,当AB=,时,求AB解:a+12 a1或-3当a1时,集合B的元素a2+2a3,2a+13,由集合的元素应具有互异性的要求可知a1.当a-3时,集合B=-5, AB=-5,5练:.
14、已知3,4,m2-3m-1m,-=-3,则m。练习:. 设A=x|x是等腰三角形,B=x|x是直角三角形,则AB。 x|x是等腰直角三角形。设A=4,5,6,8,B=3,5,7,8,则AB。 设A=x|x是锐角三角形,B=x|x是钝角三角形,则AB。4. 已知集合Mx|x-20,则MN等于。 设A不大于20的质数,Bx|x2n+1,nN*,用列举法写出集合AB。6.已知集合Mx|y=x2-1,N=y|y=x2-1,那么MN等于()A.B.NC.MD.R7、 若集合A1,3,x,B=1,x2,AB1,3,x,则满意条件的实数x的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8. 满意条件M1
15、1,2,3的集合M的个数是 。9. 已知集合Ax|-1x2,B=x|2axa+3,且满意AB,则实数a的聚取值啊范 围是 。集合的根本运算思索1 U=全班同学、A=全班参与足球队的同学、B=全班没有参与足球队的同学,则U、A、B有何关系? 集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。 (一). 全集、补集概念及性质:全集的定义:一般地,假如一个集合含有我们所探讨问题中涉及的全部元素,那么 就称这个集合为全集,记作U,是相对于所探讨问题而言的一个相对概念。补集的定义:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的全部元素组成的集合,叫作集 合A相对于全集U的补集, 记作:,读作:A在U中的补集,即 V
16、enn图表示:(阴影局部即为A在全集U中的补集)说明:补集的概念必需要有全集的限制探讨:集合A与之间有什么关系?借助Venn图分析稳固练习(口答):U=2,3,4,A=4,3,B=,则= ,= ;设Ux|x8,且xN,Ax|(x-2)(x-4)(x-5)0,则 ; 设U三角形,A锐角三角形,则 。 【题型1】求补集【例1】设全集, 求,【例2】设全集,求,(结论:)【例3】设全集U为R,若 ,求。(答案:)【例4】设全集Ux|-1x3,A=x|-1x3,B=x|x2-2x-3=0,求,并且推断与集合B的关系。【题型1】集合的混合运算已知全集为R,集合P=x|xa2+4a+1,aR,Q=y|y-
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