2022年双曲线经典例题参考 .pdf
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1、习题精选精讲- 1 - - 1 - 本文来自http:/整理、 【例 1】若椭圆0122nmnymx与双曲线221xyab)0(ba有相同的焦点F1,F2,P是两条曲线的一个交点,则|PF1| |PF2| 的值是()A. am B. am21 C. 22am D. am【解析】椭圆的长半轴为1221mPFPFm,双曲线的实半轴为1222aPFPFa,2212121244PFPFmaPFPFma:,故选 A. 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义,是破解本题的关键. 【例 2】已知双曲线127922yx与点 M (5,3) ,F 为右焦点,若双曲线上有一点P,使PMPF21最小,则 P 点的坐
2、标为【分析】待求式中的12是什么?是双曲线离心率的倒数 . 由此可知,解本题须用双曲线的第二定义. 【解析】双曲线的右焦点F(6,0) ,离心率2e,右准线为32lx:.作MNl于 N,交双曲线右支于P,连 FP,则122PFe PNPNPNPF.此时PM1375225PFPMPNMN为最小 . 在127922yx中,令3y,得2122 3.xxx0,取2 3x. 所求 P点的坐标为2 33(, ). (2)渐近线双曲线与直线相约天涯对于二次曲线,渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交,这一特有的几何性质不仅很好地界定
3、了双曲线的范围. 由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多,所以这一性质被广泛应用于有关解题之中. 【例 3】过点( 1,3)且渐近线为xy21的双曲线方程是【解析 】设所求双曲线为2214xyk点(1,3)代入:135944k. 代入( 1) :22223541443535xyxy即为所求 . 【评注 】在双曲线22221xyab中,令222200 xyxyabab即为其渐近线.根据这一点,可以简洁地设待求双曲线为2222xykab,而无须考虑其实、虚轴的位置. XYOF(6,0)M(5,3)PNPNX=32名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
4、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - 习题精选精讲- 2 - - 2 - (3)共轭双曲线虚、实易位的孪生弟兄将双曲线22221xyab的实、虚轴互易,所得双曲线方程为:22221xyba. 这两个双曲线就是互相共轭的双曲线. 它们有相同的焦距而焦点的位置不同;它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样;它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用. 【例 4】两共轭双曲线的离心率分别为21,ee,证明:221211ee=1. 【证明 】双曲线22221xyab的离心率22221122ccabeeaa
5、a;双曲线22221xyba的离心率22222222ccabeebbb. 2222222212111abeeabab. (4)等轴双曲线和谐对称与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线,等轴双曲线的对称性可以与圆为伴. 【例 5】设 CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦,求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【证明 】如图设等轴双曲线方程为2221xya,直线 CD :y=m.代入( 1) :22xxm. 故有:2222,CxmmDxmm. 取双曲线右顶点,0B a. 那么:2222,BCxma mBDxma m22220,BC BDaammBCBD. 即 CBD=90 . 同理可证:
6、 CAD=90 . 通法 特法 妙法(1)方程法为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想,其主要手段是列、解方程、方程组或不等式. 【例 6】如图,1F和2F分别是双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点,A和B是以O为圆心,以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且ABF2是等边三角形,则双曲线的离心率为()(A)3(B)5(C)25(D)31XOYCDAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 习题精
7、选精讲- 3 - - 3 - 【解析 1】设 AB交 x 轴于 M ,并设双曲线半焦距为c,ABF2是等边三角形,3,.22cOMMAc点3,22cAc代入双曲线方程:2222222222222233444cbaca bccaa caca.化简得:422442284084042 331ca caeeee. (e1,242 3e及31e舍去)故选D. 【解析 2】连 AF1,则 AF1F2为直角三角形,且斜边F1F2之长为 2c. 令1122,.AFrAFr由直角三角形性质知:211221 221222rrarcracrcrr. 222222222124,24220220rrcacccaacce
8、e. e1,取31e.选 D. 【评注 】即使是解析法解题,也须不失时机地引入几何手段. (2)转换法为解题化归立意【例 7】直线l过双曲线12222byax的右焦点,斜率k=2.若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上,则双曲线的离心率e 的范围是()A.e2B.1e3C.1e5【分析 】就题论题的去解这道题,确实难以下手,那就考虑转换吧 .其一,直线和双曲线的两支都有交点不好掌握,但是和两条渐近线都有交点却很好掌握. 其二,因为已知直线的斜率为 2,所以双曲线的两条渐近线中,倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交,只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交 .故有如下妙解 . 【解析 】如图设直线l的
9、倾斜角为 ,双曲线渐近线m的倾斜角为 . 显然。当 时直线l与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由2222tantan245bcaeaa. 双曲线中1e,故取 e5.选 D.(3)几何法使数形结合带上灵性【例8】设P为双曲线22112yx上的一点,12FF,是该双曲线的两个焦点,若12|:| 3: 2PFPF,则12PF F的面积为XYOFl名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - 习题精选精讲- 4 - - 4 - ()
10、A6 3B12C.12 3D24【 解 析 】 双 曲 线 的 实 、 虚 半 轴 和 半 焦 距 分 别 是 :1 ,23 ,1 3abc. 设;12123 ,2 .22,2.PFr PFrPFPFar于是2221212126,4.52PFPFPFPFF F,故知 PF1F2是直角三角形,F1P F2=90.121211641222PF FSPFPF. 选 B. 【评注 】解题中发现 PF1F2是直角三角形,是事前不曾想到的吧?可是,这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的 .将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力,这正是命题人的高明之处. (4)设而不求与借舟弃舟同理减少解析几
11、何计算量的有效方法之一便是设而不求. 请看下例:【例 9】双曲线122yx的一弦中点为( 2,1) ,则此弦所在的直线方程为()A. 12xy B. 22xy C. 32xy D. 32xy【解析 】设弦的两端分别为1,12,2,A x yB x y. 则有:222222111212121222121222101xyyyxxxxyyxxyyxy. 弦中点为( 2,1) ,121242xxyy. 故直线的斜率121212122yyxxkxxyy.则所求直线方程为:12223yxyx,故选 C. “设而不求”具体含义是:在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤,只要有可能,可以用虚设代替而不
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