基数的概念.ppt
《基数的概念.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《基数的概念.ppt(31页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、现在学习的是第1页,共31页关于闭合还有其他的等价叙述,关于闭合还有其他的等价叙述,1)除了有限次应用除了有限次应用(1)和和(2)产生集合产生集合A的元素的元素外外,A中再没有其它元素。中再没有其它元素。2)集合集合A是满足是满足(1)和和(2)的最小集合。的最小集合。3)集合集合A满足满足(1)和和(2), 但不存在但不存在A的真子集能的真子集能满足满足(1)和和(2), 即若即若S A,且且S满足满足(1)和和(2), 则则S=A。4)集合集合A是满足由是满足由(1)和和(2)给定性质的所有集给定性质的所有集合之交。合之交。以上四种闭合的说法虽然形式上不同以上四种闭合的说法虽然形式上不同
2、, 但它们但它们是等价的。证明从略。是等价的。证明从略。现在学习的是第2页,共31页例:设整数集例:设整数集Z是全集是全集,非负偶整数集非负偶整数集E+=x|x0,且且x=2y,y Z,它可以递归定义如下它可以递归定义如下:(1)(基础基础)0 E+。(2)(归纳归纳)如果如果n E+,则则n+2 E+。(3)(闭合闭合)除有限次应用除有限次应用(1)和和(2)产生的整数外产生的整数外,再没有其它的再没有其它的整数在整数在E+中。中。例:下面的归纳定义所给出的是怎样的集合?例:下面的归纳定义所给出的是怎样的集合? (1)(基础基础)3 S。(2)(归纳归纳)如果如果x,y S,则则x+y S。
3、(3)(闭合闭合)除有限次应用除有限次应用(1)和和(2)产生的整数外产生的整数外,再没有其它再没有其它的整数在的整数在S中。中。答案是答案是3的正整数倍全体。的正整数倍全体。现在学习的是第3页,共31页例:设例:设是一个有限非空字符集是一个有限非空字符集,称为字母表。从称为字母表。从中选取中选取有限个字符组成的串称为有限个字符组成的串称为上的字符串或字。上的字符串或字。设设x是是上的一个字上的一个字, x=a1a2an,其中其中ai ,1in,n是正整数是正整数,表示字的长度表示字的长度长度为长度为0的字称为空串的字称为空串,记为记为 。若若x,y是是上的两个字上的两个字,x=a1a2an,
4、 y=b1b2bm,其中其中ai,bj (1in, 1jm),则由则由x和和y毗连得到新的字记为毗连得到新的字记为xy。即即:xy=a1a2an b1b2bm。现在学习的是第4页,共31页例例:设设是一个字母表是一个字母表, 上所有的有限非空字符串集合记上所有的有限非空字符串集合记为为+,递归定义如下递归定义如下:(1)(基础基础)如果如果a ,则则a +。(2)(归纳归纳)如果如果x +,且且a ,则则ax +(ax表示字符表示字符a与字与字x毗毗连得到的新的字连得到的新的字)。(3)(闭合闭合)除有限次应用除有限次应用(1)和和(2)产生产生+中的字外中的字外, +中再中再没有其它字。没有
5、其它字。集合集合+包含长度为包含长度为1,2,3,的字的字,即即+包含无限个字包含无限个字, 但但每个字的字符个数是有限的。每个字的字符个数是有限的。现在学习的是第5页,共31页例例:设设是一个字母表是一个字母表, 上所有的有限字符串集合记为上所有的有限字符串集合记为*,*包含空串,即包含空串,即*=+ ,可递归定义如下可递归定义如下:(1)(基础基础) *。(2)(归纳归纳)如果如果x *,且且a ,则则ax *。(3)(闭合闭合)除有限次应用除有限次应用(1)和和(2)产生产生*中的字外中的字外, *中再没中再没有其它字。有其它字。例如例如,若若=0,1, 则则*= ,0,1,00,01,
6、 10,11,000,001,是有限二进制序列的集合是有限二进制序列的集合, 其中包含空序列。其中包含空序列。现在学习的是第6页,共31页算术表达式集合是包含整数算术表达式集合是包含整数, 一元运算符一元运算符+,-, 以及二元运算以及二元运算符符+,-,* ,/的符号序列所组成的集合的符号序列所组成的集合, 其中包含如其中包含如“(3+5)/4)”,“(-5)+6)*3)”等算术表达式。等算术表达式。算术表达式集合的递归定义如下算术表达式集合的递归定义如下:(1)(基础基础)如果如果D=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9和和x D+ ,则则x是算术表是算术表达式。其中达式。其中D+是是D
7、上所有非空数字串的集合。上所有非空数字串的集合。(2)(归纳归纳)如果如果x和和y都是算术表达式都是算术表达式, 则则(+x)是算术表达式是算术表达式; (-x)是算术表达式是算术表达式;(x+y)是算术表达式是算术表达式; (x-y)是算术表达式是算术表达式;(x*y)是算术表达式是算术表达式; (x/y)是算术表达式。是算术表达式。 (3)(闭合闭合)一个符号序列是一个算术表达式当且仅当它能通一个符号序列是一个算术表达式当且仅当它能通过有限次应用过有限次应用(1)和和(2)而得到。而得到。现在学习的是第7页,共31页下面给出自然数集下面给出自然数集(即非负整数集即非负整数集)的定义。的定义
8、。由于自然数的加法定义必须建立在自然数集由于自然数的加法定义必须建立在自然数集N上上,所所以不能用加法运算来形式地定义自然数集以不能用加法运算来形式地定义自然数集N, 否则将会产否则将会产生循环。为了避免这种定义上的循环生循环。为了避免这种定义上的循环, 我们引进后继集合我们引进后继集合的概念的概念: 设设A是任一给定集合是任一给定集合,AA称为称为A的后继集合的后继集合, 简称简称后继后继, 记为记为A+。4-4.2 自然数集的定义自然数集的定义现在学习的是第8页,共31页定义定义4-4.2:设设N为自然数集为自然数集, 它的递归定义如下它的递归定义如下:(1)(基础基础)N。(2)(归纳归
9、纳)如果如果n N, 则则n+ N(这里这里n+=nn)。(3)(闭合闭合)如果如果S N,且且S满足满足(1)、(2), 则则S=N。按照这个定义按照这个定义,自然数集的元素为自然数集的元素为: ,+,(+)+, (+)+)+,即为即为: , ,可以简化为可以简化为: , ,。用记号用记号:=给这些集合命名给这些集合命名,例如例如命名为数命名为数0,记为记为0:=。 0:=; 1:=0+=0; 2:=1+=,=0,1; 3:=2+=,=0,1,2; 一般地一般地, 若已给出若已给出n, 则则n+1:=n+=0,1,2,n现在学习的是第9页,共31页自然数集自然数集N=0,1,2,3,其中除其
10、中除0外每一个自然数是它前外每一个自然数是它前一个自然数的后继。一个自然数的后继。定理定理4-4.1:(1)0不是任何自然数的后继。不是任何自然数的后继。(2)任何自然数的后继是唯一的。任何自然数的后继是唯一的。(3)如果如果n+=m+,则则n=m。证明从略。证明从略。贝安诺贝安诺(G. Peano)公理公理(1)0 N;(2)对每一个对每一个n N,恰存在一个恰存在一个n+ N(称称n+为为n的后继的后继);(3)不存在一个不存在一个n N,使使n+=0;(4)如果如果n+=m+, 则则n=m;(5)如果如果S N,且且0 S;如果如果n S,就必有就必有n+ S,则则S=N。现在学习的是第
11、10页,共31页4-4.3.1 基数概念基数概念首先我们从古老的传说来引进个数。首先我们从古老的传说来引进个数。在在64个小方格组成的棋盘中放米的问题:个小方格组成的棋盘中放米的问题:印度的舍罕王要重赏国际象棋的发明人达依尔,印度的舍罕王要重赏国际象棋的发明人达依尔,达依尔要求:达依尔要求:“在棋盘的第一个方格内放一粒米,以在棋盘的第一个方格内放一粒米,以后每一小格内都比前一小格加一倍,最后摆满所有后每一小格内都比前一小格加一倍,最后摆满所有64格,将这些米赏给我格,将这些米赏给我”。国王认为他的要求不高,爽快地答应了。国王认为他的要求不高,爽快地答应了。可结果却无法满足。可结果却无法满足。1
12、+2+22+263=264-1,约合约合140亿升亿升现在学习的是第11页,共31页所有整数的个数,一条线上所有几何点个数所有整数的个数,一条线上所有几何点个数(即区间即区间a,b上上个数个数),上面两个数哪个大些?这个问题最初是由上面两个数哪个大些?这个问题最初是由Cantor提出的。提出的。从原始部落物品交换中得到启发。从原始部落物品交换中得到启发。在古代原始部落中,不存在比在古代原始部落中,不存在比3大的数,若问他们当大的数,若问他们当中的一个人有几个孩子,当孩子多于中的一个人有几个孩子,当孩子多于3个时,其回个时,其回答是很多。答是很多。在比较一堆珠子和一堆铜币哪个多时,他们将怎么完成
13、在比较一堆珠子和一堆铜币哪个多时,他们将怎么完成呢?呢?他们是通过把珠子和铜币逐个比较,最后看哪堆有多余,他们是通过把珠子和铜币逐个比较,最后看哪堆有多余,若同时没有则两者相同。若同时没有则两者相同。现在学习的是第12页,共31页对于无穷大数比较,我们面临的也类似于原始部落问对于无穷大数比较,我们面临的也类似于原始部落问题。题。Cantor的解决办法与上述方法相同:给两组元素无穷的解决办法与上述方法相同:给两组元素无穷多的序列中的各个数一一配对,若最后这两组元素多的序列中的各个数一一配对,若最后这两组元素恰配对完毕,则认为这两个无穷大数就是相等的,恰配对完毕,则认为这两个无穷大数就是相等的,若
14、有一组还没配完,则该组就比另一组大。若有一组还没配完,则该组就比另一组大。正是基于这一基本设想,我们可给出对于两个集正是基于这一基本设想,我们可给出对于两个集合比较其元素个数大小的方法。合比较其元素个数大小的方法。现在学习的是第13页,共31页定义定义4-4.3:设设A,B是任意两个集合是任意两个集合,若存在一若存在一个双射个双射f:AB,则称则称A和和B是等势的是等势的(或同浓或同浓的的),记为记为AB。例题例题1(P162)例题例题2定理定理4-4.2 在集合族上等势关系是等价关系。在集合族上等势关系是等价关系。现在学习的是第14页,共31页定义定义4-4.4:设设A为一个集合为一个集合,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 基数 概念
限制150内