第11章 动量矩定理.pdf
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1、11-1 第第 11 章章 动量矩定理动量矩定理 是三大定理中最难理解的一个定理, 尤其是相对动点的动量矩定理。 动量矩的概念也是 难理解的。 物理中讲到的角动量定理, 即本章的刚体定轴转动微分方程。 它只是动量矩定理的特例, 其涵义远不能反映动量矩定理的内容。 与前面两个定理一样,先建立动量矩(与冲量矩)的概念,再建立动量矩与力矩(或冲 量矩)的关系。 11.1 动量矩动量矩 一一、 质点质点 () O mmvrmv 矢量(与力矩类似) 涵义:质点相对某点“转动”运动强度。瞬时量。 问题问题:直线运动的质点,对一点有动量矩吗? 二二、 质质点系点系 1. 对定点 () OO Lmmvrmv
2、涵义:质系相对 O 点“转动”运动强度。 2. 对质心 C 绝对动量矩: Ciii Lrmv 相对动量矩: Ciii Lrmv 易证: CC LL 3. 对定点 O 与对质心动量矩的关系 OCCC LrMvL 4. 对动点O与对质心动量矩的关系() 绝对动量矩: OCCC LrMvL 相对动量矩: OCCC LrMvL 三三、 刚体刚体 1. 平动刚体 11-2 OC LrMv 2. 转动刚体(对定轴或平面上定点) zz LI OO LI 3. 平面运动刚体 对质心 C: CC LI 对定点 O:() OOCC LmMvI 对瞬心 C: CC LI 11.2 动量矩定理动量矩定理 一一、 质点
3、动量矩定理质点动量矩定理 由牛顿第二定律:maF 易证: d() ( ) d O O mmv mF t 微分形式动量矩定理 其中 O 为定点。 或 d()(d ) OO mmvmS 用冲量矩表示的动量矩定理 亦可有积分形式: 21 ()()( ) OOO mmvmmvmS 注注:上述后两种形式用的较少,书上也没提。 二二、 质点系动量矩定理质点系动量矩定理 由质点动量矩定理推广到质点系,质系受力分为外力和内力,内力矩之和为零。则 对定点 O: ( ) d () d eO O L mF t 对定轴 z: ( ) d () d ez z L m F t 亦可有积分形式动量矩定理: ( ) 21 (
4、) e OOO LLmS 三三、 动量矩守恒动量矩守恒 对定点: ( ) ()0 e O mF , O L 常矢量 对定轴: ( ) ()0 e z m F , z L 常量 例例 1 图示系统。均质滚子 A、滑轮 B 重量和半径 均为 Q 和 r,滚子纯滚动,三角块固定不动,重 为 G,倾角为 ,重物重量 P。求:滚子质心的 加速度 aC ;求滚子运动到斜面中部时地面给 三角块的反力偶。设三较块底边长 b,斜面长 L。 分析分析:这两问均可用动量矩定理求。 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报:奉献教育(店铺) 11-3 欲用动量矩定理求 aC , aC只跟三个运
5、动物体有关,并且有一个“轴”O,如图。 但其中的 N 如何处理? 事实上,滚子沿斜面法向是静平衡的, N = Q cos。 解解: 求加速度 aC 。 研究重物、轮子、滚子整体,画受力图 和运动图如图。 系统对 O 的动量矩: PBA OOOO LLLL 而 2 1 2 B O Q Lr g , P O P Lvr g , 2 1 2 A OC QQ Lv rr gg 则 22 112 22 OCC PQQQPQ Lvrrv rrv r ggggg (1) 系统外力对 O 的力矩: ( ) ()sincos e O mFPrQrQOEN OE 注意滚子沿法向平衡:cos0NQ 则 rPQFm
6、e O )sin()( )( (2) 式(1)(2)代入动量矩定理: ( ) d () d eO O L mF t 得: 2 (sin) C PQ a rQP r g g QP PQ aC 2 sin 求反力偶。 研究整体,画受力图和运动图。整体对 H 的 动量矩: 22 11 sin 2222 (2 )(1sin) HC C PbQQbQ Lv rrvrr gggg vb PQ rP bg 系统外力对 H 的力矩: 11-4 ( ) ()sinsin 222 coscos 2223 sincos 226 e H bbb mFmP rQQr Lbbb QG bLb mP rQ rG 代入动量矩
7、定理: ( ) d () d eH H L mF t (2 )(1sin)sincos 222 C abbLb PQ rPmP rQ rG bg QP PQPbL Q b GP QP PQb PrQP b G L rQ b rP g ab PrQP b G L rQ b rPm C 22 sinsin1 cos 22 )( 2 sin )sin1 ( 2 )2( 2 cos 2 sin 2 )sin1 ( 2 )2( 2 cos 2 sin 2 例例 2 (例 11-1,欧拉涡轮方程,在流体力学中的应用)(不讲) 已知水在涡轮机中的流动情况,求水对涡轮机的转动力矩(欧拉涡轮方程)。 1 112
8、 22 (coscos) z MQ v rv r 例例 3 (书上例 11-7,动量矩守恒。) 质量为m1 = 5kg, 半径r = 30cm的均质圆盘, 可绕铅直轴 z 转 动,在圆盘中心用铰链 D 连接一质量 m2 = 4kg 的均质细杆 AB,AB = 2r,可绕 D 转动。当 AB 杆在铅直位置时,圆盘的 转速为 n = 90rpm。 试求杆转到水平位置, 碰到销钉 C 而相对 静止时,圆盘的转速。 解解:系统对 z 轴动量矩守恒。 初时系统动量矩: 2 1 1 4 zz LIm r 盘 末时系统动量矩: 22 12 11 (2 ) 412 zzz LIIm rmr 盘杆 zz LL
9、gm2 11-5 222 121 111 (2 ) 4124 m rmrm r 21 1 43 3 mm m 末时圆盘转速: 1 12 33 515 90 rpm90 rpm43.55 rpm 343 54431 m nn mm 可见,圆盘变慢了。 作业作业:11-2、4、10、13 11.3 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 即物理中的角动量定理。(略讲) ( ) () e zz Im F 或 ( ) () e zz Im F 问题问题:图示问题列刚体定轴转动微分方程可以吗? ( ) () e OO ImF 其中 22 1 2 O QP Irr gg ( ) ()Pr e O mFM
10、 答:不行。只能列动量矩定理。因转动惯量只能对单个刚体 而言。 例例 1 均质细杆 AB 长 l,重 W,如图。今突然剪断 B 端的 绳子,求绳子剪断前后铰链 A 的约束力的改变量 。 分析:求 A 处反力的改变量,即求绳子剪断前后 A 处反 力。 绳子剪断前为静力学问题,易求反力。 绳子剪断后为定轴转动动力学问题,用质心运动定理求: ( )e C MaF 但需要先求出 aC ,用刚体定轴转动微分方程可求: ( ) () e zz Im F 图 11-3-1 11-6 解解:I. 绳子剪断前,受力如图(a)。 由对称性: 0 2 A W N II. 绳子剪断瞬时,受力、运动如图(b)。 由定轴
11、转动微分方程: ( ) () e zz Im F 2 1 32 Wl lW g 3 2 g l III. 质心运动定理求反力,如图(c)。 ( )e C MaF CA W aWN g 而 3 24 C lg a 则 3 44 A WgW NW g IV. 绳子剪断前后 A 反力的变化: 0 424 AAA WWW NNN 例例 2 例 11-5 (较典型题目) 作业作业:11-18 11.4 质点系相对动点的动量矩定理质点系相对动点的动量矩定理(*) 此部分较难,特别是公式推导不易理解。主要掌握两种:对质心的动量矩定理;平 面运动刚体对瞬心动量矩定理的两种情形。 一一、 对质心的动量矩定理对质
12、心的动量矩定理 ( ) d () d eC C L mF t 平面运动刚体: ( ) () e CC ImF 二二、 对任意动点的动量对任意动点的动量矩定理矩定理 只介绍特例: 平面运动刚体,瞬心C,质心C,满足CC 常数,则 ( ) ( ) e CC ImF 常见两种情况: 11-7 1. 均质圆轮沿固定面纯滚动; 2. 均质直杆沿固定直角墙下滑。 11. 5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 为普遍定理综合应用之一,即动量定理(质心运动定理)和动量矩定理(刚体定轴转动 微分方程)的综合应用。 ( ) ( ) ( ) () e Cx e Cy e CC MaX MaY ImF 注注:
13、一般需补充运动学或静力学方程。 例例 11-8 典型题目,较难,综合动力学、静力学、运动学知识,详讲 均质鼓轮 (轮轴) 质量为 M = 50kg, R = 100mm, r = 60mm, 对质心的回转半径 = 70mm,轴上绕一绳索,其上作用一水 平力 P = 200N。已知轮与地面间的静、动摩擦系数分别为 f = 0.20,f = 0.15。求轮心 C 的加速度 aC 和轮的角加速度 。 分析分析:前面题目均是系统有确定的运动状态,而本题不定: 鼓轮可以纯滚动,也可以有滑动,但一般均是平面运动; 首先需判断鼓轮的运动状态: 设不滑动, 求静摩擦力 F 和最大静摩擦力 Fmax, 比较 F
14、 Fmax 是否成立。 应该使用刚体平面运动微分方程求上述问题: ( ) ( ) ( ) () e Cx e Cy e CC MaX MaY ImF 分析未知量:F、aC、N、 ,共 4 个,差一个方程。 由运动学关系可知: aC = R ,故可解。 如果鼓轮纯滚动,上面求解即得到 aC 和 ;如果有滑动,需要重新求解,方法类似上 面的方法。 解解:I. 设鼓轮不滑动,受力和运动情况如图。 )( 0 22 rRPMRM MgN FPMaC 刚体平面运动微分方程: ( ) ( ) ( ) () e Cx e Cy e AA MaX MaY ImF 11-8 注意:对 A 列转动微分方程较方便;由
15、此看出,鼓轮在纯滚动时是向右滚动。 补充运动学方程: C aR 联立上述 4 个方程,得解: 2 2222 22 2222 ()200(0.10.06) 10.74 rad/s 50 0.070.1 0.1 10.741.074 m/s 0.070.1 0.06 200146.3 N 0.070.1 509.80490.0 N C P Rr MR aR Rr FP R NMg 最大摩擦力: max 0.2490.098.0 NFfN 所以,F Fmax不成立,鼓轮滑动。 II. 鼓轮滑动,受力和运动情况如图。(但此时 aC R ) 刚体平面运动微分方程: ( ) ( ) 2 ( ) 0 ()
16、e Cx C e Cy e CC MaX MaPF MaYNMg MF RPr ImF 此时仍有 4 个未知量: F、aC、N、 ,需补充 1 个方程。 补充静力学方程:Ff N 联立上述 4 个方程,得解: 2 2 2.530 m/s 18.98 rad/s C P af g M f MgRPr M 此时,鼓轮有逆时针转动成分。 例例 11-9 多种解法(可有 4 种,见讲义二稿),亦为典型题目,用到许 多运动学知识 已知已知:ABAB = = l l,质量质量m m,初时初时 0 0,杆静止杆静止,各处光滑各处光滑。求杆运动到求杆运动到 时时 杆的角速度杆的角速度、角加速度角加速度、A A
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- 关 键 词:
- 理论力学
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