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1、导数及其应用专题复习一、求切线方程例1(2012广东理)曲线在点处的切线方程为_解: 切线的斜率,切线方程为 ,即练习1. (2014广东文)曲线在点处的切线方程为练习2(2014江西文)若曲线处的切线平行于直线的坐标是_.练习3(2014新课标文)已知函数,曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为,则. 1练习4(2014广东理)曲线在点处的切线方程为 。练习5(2014新课标理)设曲线在点处的切线方程为,则( D )A B C2 D点拨:求切点方程要注意:已知点是否为切点?若未知切点应设切点坐标。若切点为,则切线的斜率切点既在切线上又在曲线上。二、求函数的单调区间例2(2014湖北文数)求函数的
2、单调区间。解: 的定义域为。 当,即时,单调递增;当,即时,单调递减;故的单调递增区间为,单调递减区间为点拨:求函数的单调区间应注意:定义域优先;单调区间不能用并集表示。练习6求函数的单调区间解:的定义域为,由得或;由得或的单调递增区间为,单调递减区间为练习7(2014广东文数)已知函数,求函数的单调区间;解: 方程的判别式:当时,此时在上为增函数;当时,方程的根为,当时,此时为增函数;当时,此时为减函数;当时,此时为增函数;综上,当时,的单调递增区间是,无单调递减区间;当时,的单调递增区间是和,单调递减区间是三、求函数的极值例3(2014福建文数)已知函数(为常数)的图像与轴交于点,曲线在点
3、处的切线斜率为,(1)求的值及函数的极值;解:由得,又,得,令得当时, 单调递减;当时, 单调递增;当时, 有极小值,且极小值为,无极大值.点拨:求函数极值时选求导,然后把导函数因式分解,最高次项系数不是1的要提取系数.练习8(2014天津文数)已知函数,.()求的单调区间和极值;解:()因为,所以.令得或.因为当或时,单调递减,当时,单调递增,所以,.练习9(2014重庆文数)已知函数,其中,且曲线 点处的切线垂直于。(1)求的值;(2)求函数的单调区间和极值。解:(1),由曲线 点处的切线垂直于,得,解得(2)由(1)知, 的定义域为,令解得或,因为不在的定义域内,故舍去.当时, 单调递减
4、;当时, ,单调递增,所以函数的单调递减区间是,的单调递增区间是,由此知在处取得极小值.四、求函数的最值例4(2014北京文数)已知函数.(1)求在区间上的最大值;解:由得,令得或,当变化时,、的变化情况如下表:极大值极小值有极大值, 极小值又,在区间上的最大值为。点拨:求函数的最值只需求出极值和区间端点的函数值,再比较大小.练习10 已知函数,(1) 求函数的单调区间;(2) 求函数在的最大值和最小值。解:,令,得当变化时,、的变化情况如下表:极大值极小值的单调递增区间为和,单调递减区间为又,在的最大值为,最小值为。例5(2014四川文数)已知函数其中、,为自然对数的底数。(1)设是函数的导
5、数,求在区间上的最小值。解:当时,恒成立,在上单调递增 当时,令,得。在单调递减,在单调递增;()当,即时,在上单调递增,()当时,即,在上单调递减,在在上单调递增,所以当时,()当,即时, 在上单调递减。综上,当时,为最小值为;当时,为最小值为;当时,为最小值为。点拨:求含有参数的函数在某区间的最值要分类讨论,一般分三类极值点在区间左侧;极值点在区间内;极值点在区间右侧。练习11.(2011陕西文数)设,(1)求的单调区间和最小值;解:(1)由题设知,的定义域为,令,得,当时,是减函数,故的单调减区间是;当时,是增函数,故的单调递增区间是。因此,是的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点。
6、所以的最小值为。练习12.(2011北京文数)已知函数,(I)求的单调区间;(II)求在区间上的最小值。解:(I),;由得,由得,所以的单调递增区间是,的单调递减区间是;(II)令得,当即时,函数在区间上单调递增,所以;当即时,由(I)知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以;当,即时,函数在区间上单调递减,所以。综上所述,当时,函数在区间上的最小值为;时,函数 区间上的最小值为;当时,函数在区间上的最小值为.五、恒成立问题例6. (2014辽宁文数)当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )A B C D解:不等式变形为.当时, 变为,故实数a的取值范围是.当时,原不等式等价于,
7、记,则,故在上单调递增,则,故.当时,原不等式等价于,记,则,令,得或(舍去)当时,单调递减;当时, ,单调递增,故.综上所述, 实数a的取值范围是,选(C)点拨:恒成立问题应注意:等号是否成立?注意区分能成立与恒成立;求的取值范围最好能分离.恒成立,则;恒成立,则。练习13 (2014新课标文数)若函数在区间(1,+)单调递增,则的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D)解: 在区间(1,+)单调递增,在(1,+)恒成立即在(1,+)恒成立 ,故选(D)练习14(江苏卷)设函数,其中为实数.(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;解:(1)由即对恒成立, 而由知 由,
8、令,则 当时,单调递减;当时,, 单调递增;在上有最小值 。 综上所述:的取值范围为 练习15(2012湖南文数)已知函数,其中.#中国教育出版&网(1)若对一切,恒成立,求的取值集合;z解:令.当时单调递减;当时单调递增,故当时,取最小值于是对一切恒成立,当且仅当.令则,当时,单调递增;当时,单调递减.故当时,取最大值.因此,当且仅当时,式成立.综上所述,的取值集合为.五、证明不等式例.(2014福建文理)(2)当时,.证明:设,则设,则,令,得当时, 单调递增;当时, 单调递减; 恒成立,在单调递增; 即当时,点拨:运用导数证明不等式首先要恰当地构造函数(关键),然后用导数求最值.练习16
9、(2014新课标理数)(2)证明:证明:设,则的定义域为,当时, 在上单调递增;当时, 在上单调递减;在上的最小值为设,则,当时,在上单调递增;当时, ,在上单调递减;在上的最大值为综上, 时,即.六、综合练习练习17(2014陕西文数)设函数.(1) 当(为自然对数的底数)时,求的极小值;(2) 讨论函数零点的个数;(3) 若对任意,恒成立,求的取值范围。解:(1)时,的定义域为,当时, 在上单调递增;当时, 在上单调递减;时取得极小值,的极小值为。(2)由题设,令得,设,则,当时,在上单调递增;当时,在上单调递减;是的唯一极值点,且是极大值点。因此是的最大值点。的最大值为。又,结合的图象(
10、如图),可知当时,函数无零点;当时,函数有且只有一个零点;当时,函数有两个零点;当时,函数有且只有一个零点;综上所述,当时,函数无零点,当或时,函数有且只有一个零点,当时,函数有两个零点。(3)对任意,恒成立等价于恒成立()设,则()等价于在单调递减。在上恒成立,得在上恒成立,(当且仅当时上式等号成立 ) 的取值范围是练习18(2014安徽文数)设函数,其中(1) 讨论在其定义域上的单调性;(2) 当时,求取得最大值和最小值时的的值.解: (1)的定义域为,令得,当或时,;当时,故在和内单调递减,在内单调递增。(2) 当时,,由(1)知在上单调递增,所以在和处分别取得最大值和最小值; 当时,,
11、由(1)知在上单调递增,在上单调递减,因此在处取得最大值, 又,所以当时, 在处取得最小值;当时, 在和处同时取得最小值;当时, 在处取得最小值.练习19已知函数() 求函数的单调区间; () 当a 0时,求函数在上的最小值.解:() 当a 0时, 故函数增函数,即函数的单调增区间为 当时,令,可得,当时,;当时,故函数的单调递增区间为,单调减区间是. ()当,即时,函数在区间1,2上是减函数,的最小值是. 当,即时,函数在区间1,2上是增函数,的最小值是.当,即时,函数在上是增函数,在是减函数又,当时,最小值是;当时,最小值为.综上可知,当时, 函数的最小值是;当时,函数的最小值是.练习20已知函数.()若曲线在和处的切线互相平行,求的值;()求的单调区间;()设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围.解:. ()由,解得.(). 当时, 在区间上,;在区间上,故的单调递增区间是,单调递减区间是. 当时, 在区间和上,;在区间上,故的单调递增区间是和,单调递减区间是. 当时, 故的单调递增区间是. 当时, 在区间和上,;在区间上,故的单调递增区间是和,单调递减区间是. ()由已知,在上有由已知,由()可知,当时,在上单调递增,故,所以,解得,故. 当时,在上单调递增,在上单调递减,故.由可知,所以, 综上所述,.
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