五年级奥数.行程.接送问题.教师版(15页).doc
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1、-五年级奥数.行程.接送问题.教师版-第 15 页接送问题知识框架一、 校车问题行走过程描述队伍多,校车少,校车来回接送,队伍不断步行和坐车,最终同时到达目的地,即到达目的地的最短时间,不要求证明。二、常见接送问题类型根据校车速度(来回不同)、班级速度(不同班不同速)、班数是否变化分类为四种常见题型:(1)车速不变-班速不变-班数2个(最常见) (2)车速不变-班速不变-班数多个 (3)车速不变-班速变-班数2个 (4)车速变-班速不变-班数2个三、标准解法:画图列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间;2、班车走的总路程;3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时
2、间。例题精讲【例 1】 某校和某工厂之间有一条公路,该校下午2时派车去该厂接某劳模来做报告,往返需用1小时这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来,途中遇到接他的汽车,便立刻上车驶向学校,在下午2时40分到达问:汽车速度是劳模步行速度的几倍?【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 车下午2时从学校出发,如图,在点与劳模相遇,再返回点,共用时40分钟,由此可知,在从到用了分钟,也就是2时20分在点与劳模相遇此时劳模走了1小时20分,也就是80分钟另一方面,汽车走两个需要1小时,也就是从点走到点需要30分钟,而前面说走完 需要20分钟,所以走完要10分钟,也就是说走完,劳模用了
3、80分钟;走完,汽车用了20分钟劳模用时是汽车的4倍,而汽车行驶距离是劳模的2倍,所以汽车的速度是劳模速度的倍【答案】倍【巩固】 张工程师每天早上点准时被司机从家接到厂里。一天,张工程师早上点就出了门,开始步行去厂里,在路上遇到了接他的汽车,于是,他就上车行完了剩下的路程,到厂时提前分钟。这天,张工程师还是早上点出门,但分钟后他发现有东西没有带,于是回家去取,再出门后在路上遇到了接他的汽车,那么这次他比平常要提前 分钟到厂。【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 第一次提前分钟是因为张工程师自己走了一段路,从而导致汽车不需要走那段路的来回,所以汽车开那段路的来回应该是分钟
4、,走一个单程是分钟,而汽车每天点到张工程师家里,所以那天早上汽车是点接到工程师的,张工程师走了分钟,这段路如果是汽车开需要分钟,所以汽车速度是张工程师步行速度的5倍,第二次,实际上相当于张工程师提前半小时出发,时间是遇到汽车之后的5倍,则张工程师走了分钟时遇到司机,此时提前(分钟)。【答案】分钟【例 2】 A、B两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习,A连有卡车可以装载正好一个连的人员,为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地,A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵,两营的士兵恰好同时到达目的地,已知营地与目的地之间的距离为32千米,士兵行军速度为8千米/小时,卡车行
5、驶速度为40千米每小时,求两营士兵到达目的地一共要多少时间?【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 由于卡车的速度为士兵行军速度的5倍,因此卡车折回时已走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的3倍,而卡车折回所走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的2倍,卡车接到B连士兵后,还要行走3倍B连士兵遇到卡车时已走路程才能追上A连士兵,此时他们已经到达了目的地,因此总路程相当于4倍B连士兵遇到卡车时已走路程,所以B连士兵遇到卡车时已走路程为8千米,而卡车的总行程为(3+2+3)8=64千米,这一段路,卡车行驶了6440=8/5小时,即1小时36分钟这也是两营士兵到达目的地所花的时间
6、.【答案】1小时36分钟【巩固】 甲班与乙班学生同时从学校出发去公园,两班的步行速度相等都是千米/小时,学校有一辆汽车,它的速度是每小时千米,这辆汽车恰好能坐一个班的学生为了使两班学生在最短时间内到达公园,设两地相距千米,那么各个班的步行距离是多少?【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 由于汽车速度是甲乙两班步行速度的倍,设乙班步行份,汽车载甲班到点开始返回到点相遇,这样得出,汽车从点返回最终与乙班同时到达点,汽车又行走了份,所以总路程分成份,所以每份千米,所以各个班的步行距离为千米【答案】千米【例 3】 甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动,他们租了一辆大巴,但大巴只
7、够一个班的学生坐,于是他们计划先让甲班的学生步行,乙丙两班的学生步行,甲班学生搭乘大巴一段路后,下车步行,然后大巴车回头去接乙班学生,并追赶上步行的甲班学生,再回头载上丙班学生后一直驶到终点,此时甲、乙两班也恰好赶到终点,已知学生步行的速度为5千米/小时,大巴车的行驶速度为55千米/小时,出发地到终点之间的距离为8千米,求这些学生到达终点一共所花的时间.【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 如图所示:虚线为学生步行部分,实线为大巴车行驶路段,由于大巴车的速度是学生的11倍,所以大巴车第一次折返点到出发点的距离是乙班学生搭车前步行距离的6倍,如果将乙班学生搭车前步行距离看
8、作是一份的话,大巴车第一次折返点到出发点的距离为6份,大巴车第一次折返到接到乙班学生又行驶了5分距离,如此大巴车一共行驶了6+5+6+5+6=28份距离,而A到F的总距离为8份,所以大巴车共行驶了28千米,所花的总时间为28/55小时.【答案】28/55小时【巩固】 海淀区劳动技术学校有名学生到离学校千米的郊区参加采摘活动,学校只有一辆限乘人的中型面包车为了让全体学生尽快地到达目的地决定采取步行与乘车相结合的办法已知学生步行的速度是每小时千米,汽车行驶的速度是每小时千米请你设计一个方案,使全体学生都能到达目的地的最短时间是多少小时?【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 【解析】
9、由于名学生要分次乘车,分别命名为甲、乙、丙、丁四组,且汽车的速度是步行速度的倍,乙组步行份路程,则汽车载甲组行驶份,放下甲组开始返回与乙组的学生相遇,汽车载乙组追上甲组,把乙组放下再返回,甲组也步行了份,丙组、丁组步行的路程和乙组相同,如图所示,所以全程为份,恰好是千米,其中汽车行驶了千米,共步行了千米,所以全体学生到达目的地的最短时间为(小时)【答案】小时【例 4】 、两地相距千米有一支游行队伍从出发,向匀速前进;当游行队伍队尾离开时,甲、乙两人分别从、两地同时出发乙向步行;甲骑车先追向队头,追上队头后又立即骑向队尾,到达队尾后再立即追向队头,追上队头后又立即骑向队尾当甲第次追上队头时恰与乙
10、相遇在距地千米处;当甲第次追上队头时,甲恰好第一次到达地,那么此时乙距地还有_千米【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 整个行程如图所示设甲第一次追上队头与第二次追上队头时队伍所行的距离为千米,第一次从队头到队尾时甲所行距离为千米由于每一次甲都是从队尾追上队头,再从队头回到队尾,追上队头是一个追及过程,回到队尾是一个相遇过程,而追及、相遇的路程都是队伍的长度,队伍的长度是不变的,所以每一次追及、相遇的时间也是不变的,所以每一次甲追上队头到下一次甲追上队头这段时间内队伍所行的路程(即图中相邻两条虚线之间的距离)都是相同的,而每一次从队头到队尾时甲所行的路程也都是相同的根据
11、题意,甲第5次追上队头时距地5.6千米,第7次追上队头时恰好到达地,所以;从图中可以看出,所以:,解得甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距地5.6千米处,甲第5次追上队头时共行了千米,根据时间一定,速度比等于路程之比,可得从甲第5次追上队头到甲第7次追上队头,甲共行了千米,所以这段时间内乙行了千米,所以此时乙距地还有(千米)【答案】千米【巩固】 、两地相距千米有一支游行队伍从出发,向匀速前进;当游行队伍队尾离开时,甲、乙两人分别从、两地同时出发乙向步行;甲骑车先追向队头,追上队头后又立即骑向队尾,到达队尾后再立即追向队头,追上队头后又立即骑向队尾当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距地5.6千米处;当
12、甲第7次追上队头时,甲恰好第一次到达地,那么此时乙距地还有_千米【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】填空 【解析】 设第一次追上队头与第二次追上队头时队伍所行的距离为千米,从队头到队尾时甲所行距离为千米则有:,解得所以有,因为,所以,所以(千米)【答案】千米【例 5】 甲班与乙班学生同时从学校出发去公园,甲班步行的速度是每小时4千米,乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车,它的速度是每小时48千米,这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园,那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少千米?【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 方
13、法一:不妨设乙班学生先步行,汽车将甲班学生送至A地后返回,在B处接到乙班学生,最后汽车与乙班学生同时到达公园,如图:=1:12,:=1:16。乙班从C至B时,汽车从CAB,则两者路程之比为1:16,不妨设CB=1,则CAB=16,CA=(116)2=8.5,则有CB:BA=1:7.5;类似设AD=1,分析可得AD:BA=1:5.5,综合得CB:BA:AD=22:165:30,说明甲乙两班步行的距离之比是15:11。方法二:如图,假设实线代表汽车行驶的路线,虚线代表甲班和乙班行走的路线,假设乙班行驶份到达点,则汽车行驶份到达点,汽车与乙班共行驶份在点相遇,其中乙班步行了份,同时甲班步行了份,此时
14、汽车与甲班相差份,这样甲班还需步行份,所以甲班与乙班步行的路程比为方法三:由于汽车速度是甲班速度的倍,是乙班速度的倍,设乙班步行份,则汽车载甲班学生到点返回与乙班相遇,共行份,所以,类似的设甲班步行份,则汽车从点返回到点又与甲班同时到达点,所以,,所以,所以甲班与乙班步行的路程比为【答案】【巩固】 甲、乙两班同学到42千米外的少年宫参加活动,但只有一辆汽车,且一次只能坐一个班的同学,已知学生步行速度相同为千米小时,汽车载人速度是千米小时,空车速度是千米/小时如果要使两班同学同时到达,且到达时间最短,那么这个最短时间是多少?【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 行车路线如图所示,设
15、甲、乙两班步行的路程为1,车开出后返回接乙班由车与乙相遇的过程可知:,解得,因此,车开出千米后,放下甲班回去接乙班,甲班需步行千米,共用小时【答案】小时【例 6】 甲、乙二人由地同时出发朝向地前进,、两地之距离为千米甲步行之速度为每小时千米,乙步行之速度为每小时千米现有一辆自行车,甲骑车速度为每小时千米,乙骑车的速度为每小时千米出发时由甲先骑车,乙步行,为了要使两人都尽快抵达目的地,骑自行车在前面的人可以将自行车留置在途中供后面的人继续骑请问他们从出发到最后一人抵达目的地最少需要多少小时?【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 设甲骑车至离地千米处后停车,且剩余千米改为步
16、行,则乙步行了千米后,剩余千米改为骑车因要求同时出发且尽速抵达目的地,故花费的时间应该相同,因此可得:,解得故共花费了小时【答案】小时【巩固】 三个人同时前往相距30千米的甲地,已知三人行走的速度相同,都是5千米每小时;现在还有一辆自行车,但只能一个人骑,已知骑车的速度为10千米每小时。现先让其中一人先骑车,到中途某地后放车放下,继续前进;第二个人到达后骑上再行驶一段后有放下让最后那人骑行,自己继续前进,这样三人同时到达甲地。问,三人花的时间各为多少?【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 由于每人的速度相同,所以每人行走的路程相同,骑车的路程也要相同,这样每人骑车的距离
17、都是1/3,所以时间就是205+1010=5小时【答案】5小时【例 7】 兄弟两人骑马进城,全程51千米。马每时行12千米,但只能由一个人骑。哥哥每时步行5千米,弟弟每时步行4千米。两人轮换骑马和步行,骑马者走过一段距离就下鞍拴马(下鞍拴马的时间忽略不计),然后独自步行。而步行者到达此地,再上马前进。若他们早晨6点动身,则何时能同时到达城里?【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 设哥哥步行了x千米,则骑马行了(51x)千米。而弟弟正好相反,步行了(51x)千米,骑马行x千米。由哥哥骑马与步行所用的时间之和与弟弟相等,可列出方程,解得x=30,所以两人用的时间同为(小时)
18、,早晨6点动身,下午1点45分到达。【答案】1点45分【巩固】 、两人同时自甲地出发去乙地,、步行的速度分别为米/分、米/分,两人骑车的速度都是米/分,先骑车到途中某地下车把车放下,立即步行前进;走到车处,立即骑车前进,当超过一段路程后,把车放下,立即步行前进,两人如此继续交替用车,最后两人同时到达乙地,那么从甲地到乙地的平均速度是 米/分【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 在整个行程中,车是从甲地到乙地,恰好过了一个全程,所以、两人步行的路程合起来也恰好是一个全程而步行的路程加上骑车的路程也是一个全程,所以步行的路程等于骑车的路程,骑车的路程等于步行的路程设步行米,
19、骑车米,那么步行米,骑车米由于两人同时到达,故所用时间相同,得:,可得不妨设步行了200米,那么骑车的路程为300米,所以从甲地到乙地的平均速度是(米/分)【答案】【例 8】 A、B两地相距30千米,甲乙丙三人同时从A到B,而且要求同时到达。现在有两辆自行车,但不许带人,但可以将自行车放在中途某处,后来的人可以接着骑。已知骑自行车的平均速度为每小时20千米,甲步行的速度是每小时5千米,乙和丙每小时4千米,那么三人需要多少小时可以同时到达?【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 因为乙丙步行速度相等,所以他们两人步行路程和骑车路程应该是相等的。对于甲因为他步行速度快一些,所
20、以骑车路程少一点,步行路程多一些。现在考虑甲和乙丙步行路程的距离。甲多步行1千米要用小时,乙多骑车1千米用小时,甲多用小时。甲步行1千米比乙少用小时,所以甲比乙多步行的路程是乙步行路程的:. 这样设乙丙步行路程为3份,甲步行4份。如下图安排:这样甲骑车行骑车的,步行. 所以时间为:小时。【答案】小时【巩固】 设有甲、乙、丙三人,他们步行的速度相同,骑车的速度也相同,骑车的速度是步行速度的倍现甲从地去地,乙、丙从地去地,双方同时出发出发时,甲、乙为步行,丙骑车途中,当甲、丙相遇时,丙将车给甲骑,自己改为步行,三人仍按各自原有方向继续前进;当甲、乙相遇时,甲将车给乙骑,自己重又步行,三人仍按各自原
21、有方向继续前进问:三人之中谁最先达到自己的目的地?谁最后到达目的地?【考点】行程问题之接送问题 【难度】 【题型】解答 【解析】 由于每人的步行速度和骑车速度都相同,所以,要知道谁先到、谁后到,只要计算一下各人谁骑行最长,谁骑行最短将整个路程分成份,甲、丙最先相遇,丙骑行份;甲先步行了份,然后骑车与乙相遇,骑行份;乙步行份,骑行份,可知,丙骑行的最长,甲骑行的最短,所以,丙最先到,甲最后到【答案】丙最先到,甲最后到【例 9】 一个旅游者于是10时15分从旅游基地乘小艇出发,务必在不迟于当日13时返回。已知河水速度为1.4千米/小时,小艇在静水中的速度为3千米/小时,如果旅游者每过30分钟就休息
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