五年级奥数.行程.比例解行程问题.教师版.doc
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1、比例解行程问题知识框架比例的知识是小学数学最后一个重要容,从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。从一个工具性的知识点而言,比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势,往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上,使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题,对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况,我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表示,大体可分为以下两种情况:1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,经过同一段时间后,他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。,这里因为时间相同,
2、即,所以由得到,甲乙在同一段时间t的路程之比等于速度比2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,走过相同的路程时,2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。,这里因为路程相同,即,由得,甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。例题精讲【例 1】 甲、乙两车往返于A,B两地之间。甲车去时的速度为60千米时,返回时的速度为40千米时;乙车往返的速度都是50千米时。求甲、乙两车往返一次所用时间的比。【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 2524。提示:设A,B两地相距600千米。【答案】2524【巩固】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段,各段路程的长度
3、之比是123,某人走这三段路所用的时间之比是456。已知他上坡时每小时行2.5千米,路程全长为20千米。此人走完全程需多长时间?【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 5时。提示:先求出上坡的路程和所用时间。【答案】5时【例 2】 甲、乙两车从相距330千米的A、B两城相向而行,甲车先从A城出发,过一段时间后,乙车才从B城出发,并且甲车的速度是乙车速度的。当两车相遇时,甲车比乙车多行驶了30千米,则甲车开出千米,乙车才出发。【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 两车相遇时共行驶330千米,但是甲多行30千米,可以求出两车分别行驶的路程,
4、可得甲车行驶180千米,乙车行驶150千米,由甲车速度是乙车速度的可以知道,当乙车行驶150千米的时候,甲车实际只行驶了千米,那么可以知道在乙车出发之前,甲车已经行驶了180-125=55千米。【答案】55千米【巩固】 甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出,甲车的速度是50千米/时,乙车的速度是40千米/时,当甲车驶过A、B距离的多50千米时,与乙车相遇.A、B两地相距_千米。【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 AB距离的多50千米即是AB距离的,所以50千米的距离相当于全程的,全程的距离为(千米).【答案】千米【例 3】 甲乙两地相距12千米,上午10:45一
5、位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地,途中,乘客问司机距乙地还有多远,司机看了计程表后告诉乘客:已走路程的加上未走路程的2倍,恰好等于已走的路程,又知出租车的速度是30千米/小时,那么现在的时间是。【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 可设已走路程为X千米,未走路程为(12-X)千米。列式为:X-X=(12-X)2 解得:X=9 分钟,现在时间是【答案】【巩固】 欢欢和贝贝是同班同学,并且住在同一栋楼里早晨 7 : 40 ,欢欢从家出发骑车去学校, 7 : 46 追上了一直匀速步行的贝贝;看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知,欢欢立即调头,并将速度提高到原来的 2倍,回
6、家换好校服,再赶往学校;欢欢 8 : 00赶到学校时,贝贝也恰好到学校如果欢欢在家换校服用去 6分钟且调头时间不计,那么贝贝从家里出发时是几点几分【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 欢欢从出发到追上贝贝用了 6分钟,她调头后速度提高到原来的 2倍,根据路程一定,时间比等于速度的反比,她回到家所用的时间为 3 分钟,换衣服用时 6 分钟,所以她再从家里出发到到达学校用了 20- 6-3- 6 =5分钟,故她以原速度到达学校需要 10 分钟,最开始她追上贝贝用了 6分钟,还剩下 4 分钟的路程,而这 4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟,所以欢欢的 6 分钟路程贝贝要
7、走 14 (6 4)= 21分钟,也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟,所以贝贝是 7 点 25 分出发的【答案】7 点 25 分【例 4】 明明每天早上7:00从家出发上学,7:30到校。有一天,明明6:50就从家出发,他想:“我今天出门早,可以走慢点。”于是他每分钟比平常少走lO米,结果他到校时比往常迟到了5分钟。明明家离学校_米。【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 平时明明用30分钟,今天用了45分钟,时间比为2:3,则速度比为3:2,那么可知平时速度为30米/分钟,所以明明家离学校900米。、【答案】900米【巩固】 甲、乙、丙三辆车先后从A地开
8、往B地,乙比丙晚出发5分,出发后45分追上丙;甲比乙晚出发15分,出发后1时追上丙。甲出发后多长时间追上乙?【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 75分。提示:行驶相同路程所需时间之比为:,。【答案】75分【例 5】 大、小客车从甲、乙两地同时相向开出,大、小客车的速度比为45,两车开出后60分相遇,并继续前进。问:大客车比小客车晚多少分到达目的地?【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 27分。解:大客车还需(分)、小客车还需(分)。大客车比小客车晚到(分)【答案】27分【巩固】 甲、乙分别从A,B两地同时相向出发。相遇时,甲、乙所行
9、的路程比是ab。从相遇算起,甲到达B地与乙到达A地所用的时间比是多少?【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 b2a2。解:因为甲、乙的速度比是ab,所以相遇后甲、乙还要行的路程比是ba,还要用的时间比是(ba)(ab)b2:a2。【答案】b2a2【例 6】 甲、乙两辆车分别同时从 A, B两地相向而行,相遇后甲又经过15分到达B地,乙又经过1时到达A地,甲车速度是乙车速度的几倍?【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 2倍。解: 60152212,所以甲车速度是乙车的2倍。【答案】2倍【巩固】 A,B两地相距1800米,甲、乙二人分别从
10、A,B两地同时出发,相向而行。相遇后甲又走了8分到达B地,乙又走了18分到达A地。甲、乙二人每分钟各走多少米?【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 每分甲走90米,乙走60米。解: 1883222,所以甲的速度是乙的321.5(倍)。相遇时乙走了1800(11.5)720(米)。推知,甲每分走720890(米),乙每分走901.560(米)。【答案】60米【例 7】 甲、乙两人同时从 A、 B 两点出发,甲每分钟行 80米,乙每分钟行 60米,出发一段时间后,两人在C 处相遇;如果甲出发后在途中某地停留了 7分钟,两人将在D 处相遇,且中点距 C 、 D 距离相等
11、,问 A、 B 两点相距多少米?【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 甲、乙两人速度比为,相遇的时候时间相等,路程比等于速度之比,相遇时甲走了全程的,乙走了全程的第二次甲停留,乙没有停留,且前后两次相遇地点距离中点相等,所以第二次乙行了全程的,甲行了全程的由于甲、乙速度比为 4 : 3,根据时间一定,路程比等于速度之比,所以甲行走期间乙走了,所以甲停留期间乙行了,所以 A、B 两点的距离为 (米)【答案】米【巩固】 如图3,甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行,于E处相遇后,甲继续向B地行走,乙则休息了14分钟,再继续向A地行走。甲和乙到达B和A后立即折返,仍在
12、E处相遇,已知甲分钟行走60米,乙每分钟行走80米,则A和B两地相()米。图3【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答【解析】 1680米【答案】米【例 8】 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出,第一次在离A地95千米处相遇相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次在离B地25千米处相遇求A、B两地间的距离?【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线,虚线表示乙车行进的路线):可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离,第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离当甲、乙两车共行了一个A、B两地间
13、的距离时,甲车行了95千米,当它们共行三个A、B两地间的距离时,甲车就行了3个95千米,即953=285(千米),而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米,可得:953-25=285-25=260(千米)【答案】260千米【巩固】 地铁有 A,B 两站,甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从 A,B 两站同时出发,他们第一次相遇时距 A 站 800 米,第二次相遇时距 B 站 500 米.问:两站相距多远? 【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 从起点到第一次迎面相遇地点,两人共同完成 1 个全长,从起点到第二次迎面相遇地点,两人共同完成 3 个全长,
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