持续期与凸性课件.ppt
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1、持续期与凸性第1页,此课件共70页哦 债券风险中,价格风险是非常重要的内容。衡量价格风险的主要指标是持续期和凸性 持续期可以衡量收益率曲线水平与非水平变动下,债券价格的变化。凸性可以弥被持续期不足,更精确地衡量债券价格风险。这两个指标可以广泛地应用在组合免疫和避险上。第2页,此课件共70页哦第一节 影响债券价格利率敏感性的因素 一、利率与债券价格关系 债券价格与市场利率相反关系,利率越高,债券价格越低,利率越低,债券价格越高。如下图所示:到期收益率价格P2P1y2y101(1)(1)nttnttnCFPyy第3页,此课件共70页哦 二、基点价值与价格波动的收益率价值 为分析债券价格与到期收益率
2、之间的关系,人们建立了基点价值与价格波动收益率价值两个概念。1.基点价值。指到期收益率变动一个基点所对应的债券价格变化额。一个基点是0.01%例:一个债券期限为5年,票面利率为9%,半年支付一次息,价格为100元,求该债券的基点价值。第4页,此课件共70页哦 2.价格波动收益率。指债券价格发生一定金额变化(在美国一般指一美元的1/32)所对应的到收期收益率变化幅度。例:一个债券期限为5年,票面利率为9%,半年支付一次息,价格为100元,求该债券价格波动的收益率价值。101014.510099.9604(14.505%)1.4505ttP1010114.510010032(1/2)(1/2)tt
3、yy99.96040.0396基点价值:100-8.992%y 8.992%0.008%价格波动的收益率价值:9-第5页,此课件共70页哦 三、影响价格利率敏感性的主要因素 1.偿还期:假定其它因素不变,偿还期越长,价格利率敏感性越大,但随着偿还期的延长,敏感性增大的速度下降。2.票面利率:假定其它因素不变,票面利率越低,价格利率敏感性越大。3.市场利率。假定其它因素不变,市场利率越低,价格利率敏感性越大。但市场利率同样幅度的上升与下降,引起债券价格波动幅度却是不相同的。利率下降引起债券价格上升的幅度,要高于同样幅度的利率上升引起的债券价格下降的幅度。第6页,此课件共70页哦第二节 持续期du
4、ration 一、金额持续期(一)定义与数学解释、金额持续期是指市场利率发生1个百分数的变化,债券价格变化的金额。下面是持续期公式的推导过程:1.如果到期收益率曲线呈水平状,那么债券价格1(1)ntttCPy第7页,此课件共70页哦 如果到期收益率发生微小变化,债券价格变化为:2.如果到期收益率曲线不是水平状,债券价格为:1111(1)1(1)nntttttttCtCdPdydyyyy 1ntttPC d1(1)nttttCPy第8页,此课件共70页哦 如果到期收益率有一个微小的变化,债券价格的变化应该是债券价格的全导数:如果到期收益率曲线是水平移动的,即各期收益率都波动dy,那么:11(1)
5、nttttttCdPdyy 11(1)ntttttCdPdyy 第9页,此课件共70页哦 3.把1/(1+y)当作一个共同因子,从上式提取出来。这不是一个严格的数学推导,而是求取债券价格变化的近似等式。11111(1)1(1)1()1nnttttttttntttCtCdPdydyyyytV Cdyy ()(1)tttttCV Cy 第10页,此课件共70页哦 4.我们可以用金额持续期来反映市场利率变化一个百分点引起的债券价格变化数额:5.由11()(1)nntdollartttttCt V Cy11()1nttdPtV Cdyy 11()1nttPtV Cyy 第11页,此课件共70页哦 得:
6、PS:为了与债券价格计算公式相匹配,债券的金额持续期的计算更应该为:注意:上式中的dt不是积分,而是折现因子。11Pyy 金额111()(1)nnntdollarttttttttCt V Ct Cdy第12页,此课件共70页哦 二、持续期几何解释 对于价格-到期收益率曲线,当利率由y1下降到y2时,债券价格由P1升到P2,用持续到期收益率价格y1y2P1P2P2期计算,则为P2。当市场利率变化不大时,两者相差不大,当市场利率变化较大时,两者相差会较大。第13页,此课件共70页哦例:计算金额持续期:8年债券,面值100,票面利率10%,1年支付一次。期限(年)到期收益率折现因子现金流现值t倍现值
7、14.5056%0.9569109.579.5724.6753%0.9127109.1318.2534.8377%0.8679108.6826.0444.9927%0.8229108.2332.9255.1404%0.7783107.7838.9265.2807%0.7344107.3444.0675.4136%0.6914106.9148.4085.5391%0.649711071.47571.74价值129.11789.89金额持续期7.9第14页,此课件共70页哦 如果半年付款一次,注意利率的变化。例:一个期限2面值100利率6%债券,一年付息两次,到期收益率如表所示。计算金额持续期。期
8、限(年)到期收益率折现因子现金流现值t倍现值14.4181%0.978432.942.9424.5056%0.956432.875.7434.5914%0.934232.80804144.6753%0.911710393.91375.62价值102.51392.70金额持续期3.92注意:第一期和第二期折现因子是这样得来的10.978414.4181%210.956414.5056%2第15页,此课件共70页哦 一年支付两次的金额持续期1(1/2)ntttCPy11112(1/2)1/2(1/2)nntttttttCtCdPdydyyyy 11()2(1/2)2ntttttCdytV C dy
9、y 金额第16页,此课件共70页哦 二、比率持续期 利率波动一个百分点对债券价格波动幅度所造成的影响,需要建立债券价格波动率这一指标,这一指标可用比率持续期来表示。由于:定义11111111PyPyyPyyP 金额金额P 金额第17页,此课件共70页哦 例:上例中,债券的金额持续期为3.92,债券的价格为102.51,则其比率持续期为:3.92/102.51=3.82%即到期收益率曲线移动一个百分点,债券价格将发生3.82%的波动。第18页,此课件共70页哦 三、修正持续期 修正持续期是在比率持续期的基础上考虑短期利率的影响。定义为:如果半年支付一次利息,则1MDy1/2MDy第19页,此课件
10、共70页哦 例:一个债券的金额持续期为15.5,债券的价格为144.46,1年期利率为4.5056%,其修正持续期为:先计算比率持续期:然后计算修正持续期:15.510.73%144.46 10.73%10.27%14.5056%MD第20页,此课件共70页哦 四、有效持续期 有效持续期的定义为:其中,P-为到期收益率下降y时债券价格 P+为到期收益率上升 y 时债券价格 P为债券目前价格 y 为到期收益率波动的基点。2effectivePPPPyyDPy P 第21页,此课件共70页哦 例:一个20年期债券,票面利率9%,一年支付一次利息,债券非含权。债券价格为150,到期收益率为6%。到期
11、收益率分别上升和下降20基点时,债券价格分别为145和156。该债券的有效持续期。156 14518.33%2 0.2 150effectiveD第22页,此课件共70页哦 五、组合的持续期(一)组合的金额持续期 当得到各种债券金额的持续期后,可以用下面的方法求得一个组合的金额持续期 Ni为第i种证券投资数量,i持续期为第i种证券金额持续期iiN组合金额金额第23页,此课件共70页哦(二)组合的比率持续期 当得到各种债券比率持续期后,可以用下面的方法求得一个组合的比率持续期 i为第i种证券投资比重,i为第i种证券比率持续期ii组合第24页,此课件共70页哦当堂作业1 1.有一个10年期付息票债
12、券,面值1000元,票面利率为10%,一年付息一次,到到期收益率如下:求其金额持续期。期限12345利率%4.54.64.84.95.1期限678910利率%5.25.45.55.65.7第25页,此课件共70页哦期限到期收益率折现因子现金折现t倍折现10.0450.95693810095.6937895.6937820.0460.9139810091.39799182.79630.0480.86879310086.87927260.637840.0490.82584410082.58441330.337650.0510.77980610077.98057389.902960.0520.737
13、74410073.77438442.646370.0540.69201510069.20153484.410780.0550.65159910065.15989521.279190.0560.61238510061.23853551.1467100.0570.5744471100631.89196318.919合计1335.8029577.77金额持续期95.78第26页,此课件共70页哦当堂作业 计算题:2,3第27页,此课件共70页哦 2题计算:利用有效持续期来计算 利用有效持续期,构建下式:105.5 1000.0536622 0.5 102.5effectivePPDy P 102.5
14、0.053662 0.5 105.5effectivePD102.55.66P108.16P书中答案为:108第28页,此课件共70页哦 3.先计算金额持续期:债券的价格11()2(1/2)2ntttttCdytV C dyy金额112(1/2)(1/2)ntttnttttCdyyCPy 金额1(1/2)ntttCPy第29页,此课件共70页哦第三节 凸性 一、金额凸性(一)定义与由来 凸性是债券价格变化曲线的曲度。即利率一个微小变化引起的债券持续期的变化比率。凸性直接来自泰勒展开式:23232311()().2!3!PPPPyyyyyy第30页,此课件共70页哦 如果只取等式前两项,那么债券
15、价格变化近似为:1.当到期收益率曲线是水平时,债券价格为 所以:2221()2!PPPyyyy01(1)ntttCPy11Pyy 金额2222111(1)(1)()(1)(1)nntttttCPt tt tV Cyyy第31页,此课件共70页哦 定义金额凸性 因此 因此1(1)()nttt tV C 2221(1)Pyy22111()12(1)Pyyyy 金额第32页,此课件共70页哦 1.当到期收益率曲线是水平时,债券价格为 如果定义y为短期利率,可以有:01(1)nttttCPy11Pyy 金额2222111(1)(1)()(1)(1)nnttttttCPt tt tV Cyyy第33页,
16、此课件共70页哦 定义金额凸性 因此 因此1(1)()nttt tV C 2221(1)Pyy22111()12(1)Pyyyy 金额第34页,此课件共70页哦(二)金额凸性的经济意义 金额凸性的经济含义是由于凸性特征的存在,引起债券价格的额外变化。对下例所做经济解读为:该债券的金额持续期为7.9。经济含义是如果收益率曲线水平移动一个百分点,债券价格将波动7.9。该债券的金额凸性为0.6417,说明如果收益率曲线变动1个百分点,则除变动7.9外,债券价格还要变动0.32第35页,此课件共70页哦例:计算金额凸性:8年债券,面值100,票面利率10%,1年支付一次。期限到期收益率折现因子现金流现
17、值t倍现值t(t+1)倍现值14.5056%0.9569109.579.5719.1424.6753%0.9127109.1318.2554.7534.8377%0.8679108.6826.04104.1644.9927%0.8229108.2332.92164.655.1404%0.7783107.7838.92233.5265.2807%0.7344107.3444.06308.4275.4136%0.6914106.9148.40387.285.5391%0.649711071.47571.745145.66价值129.11789.896417.45金额持续期7.90.6417第36页
18、,此课件共70页哦(三)一年两次或多次付息的情况 如果一年付息两次的付息票债券,其金额凸性计算为:定义金额凸性为:01(1/2)ntttCPy222211111(1)(1)()4(1/2)4(1/2)nntttttCPt tt tV Cyyy11(1)()4nttt tV C 第37页,此课件共70页哦 如果一年付息多次的付息票债券,其金额凸性计算为:定义金额凸性为:01(1/)ntttCPyn22222211111(1)(1)()(1/)(1/)nntttttCPt tt tV Cyny nny n211(1)()nttt tV Cn 第38页,此课件共70页哦(四)凸性的作用 使得价格波动
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