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1、单元测评(二)导数及其应用(B卷)(时间:90分钟满分:120分)第卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,共50分1函数f(x)在x1处的导数为1,则 的值为()A3BC. D答案:D2函数f(x)axm(1x)n在区间0,1 上的图象如图所示,则m,n的值可能是()Am1,n1 Bm1,n2Cm2,n1 Dm3,n1答案:B3曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形面积为()A. B.C. D1答案:A4求曲线yx2与yx所围成图形的面积,其中正确的是()AS(x2x)dx BS(xx2)dxCS(y2y)dx DS(y)dy解析:两函数图象的交点坐标是
2、(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在0,1上,xx2,故函数yx2与yx所围成图形的面积S(xx2)dx.答案:B5已知实数a,b,c,d成等比数列,且函数yln(x2)x,当xb时取到极大值c,则ad等于()A1 B0C1 D2解析:y1,令y0得x1,当2x0,当x1时,y0,b1,cln(12)(1)1,adbc1,故选A.答案:A6下列图象中,有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR,a0)的导数f(x)的图象,则f(1)的值为()(1)(2)(3)A. BC. D或解析:f(x)x22axa21,其图象为开口向上的抛物线,故不是第一个图;第二个图中,a0
3、,f(x)x21,但已知a0,故f(x)的图象为第三个图,f(0)0,a1,又其对称轴在y轴右边,a1,f(x)x3x21,f(1),故选B.答案:B7已知曲线方程f(x)sin2x2ax(aR),若对任意实数m,直线l:xym0都不是曲线yf(x)的切线,则a的取值范围是()A(,1)(1,0)B(,1)(0,)C(1,0)(0,)DaR且a0,a1解析:若存在实数m,使直线l是曲线yf(x)的切线,f(x)2sinxcosx2asin2x2a,方程sin2x2a1有解,1a0,故所求a的取值范围是(,1)(0,),选B.答案:B8设函数f(x)ax2b(a0),若f(x)dx3f(x0),
4、则x0()A1 B.C D2解析:f(x)dx(ax2b)dx|9a3b.由f(x)dx3f(x0)得,9a3b3ax3b,x3,x0.答案:C9设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且f(3)0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3,0)(3,)B(3,0)(0,3)C(,3)(3,)D(,3)(0,3)解析:设F(x),则F(x),由题意知:F(x)为奇函数,F(x)在(,0)上递增,F(3)0,数形结合易得F(x)0的解集为(,3)(0,3),从而f(x)g(x)0的解集也为(,3)(0,3)答案:D10已知函数f(x)ax21的图象在点A(1,f(1)处
5、的切线l与直线8xy20平行,若数列的前n项和为Sn,则S2 012的值为()A. B.C. D.解析:f(x)2ax,f(x)在点A处的切线斜率为f(1)2a,由条件知2a8,a4,f(x)4x21,数列的前n项和为Sn,S2 012.答案:D第卷(非选择题,共70分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分11y,x,当y2时,x_.解析:y,令2,得cosx,x0)成立,则a_.解析:答案:13函数yf(x)在(1,f(1)处的切线方程为2xy30,则f(1)f(1)_.解析:由导数的几何意义得f(1)2,又根据(1,f(1)在切线上得f(1)1,所以,f(1)f(1)1.答案:
6、114f(x)x2bln(x2)在(1,)上单调递减,则b的取值范围为_解析:问题转化为f(x)x0在(1,)上恒成立,故bx22x在(1,)上恒成立,x22x(1)22(1)1,b1.答案:(,1三、解答题:本大题共4小题,满分50分15(12分)已知函数f(x)x3ax2(a21)xb(a,bR),其图象在点(1,f(1)处的切线方程为xy30.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间,并求出f(x)在区间2,4上的最大值解:(1)f(x)x22axa21,(1,f(1)在xy30上,f(1)2,(1,2)在yf(x)上,2aa21b.又f(1)1,a22a10,解得a1,b.6
7、分(2)f(x)x3x2,f(x)x22x,由f(x)0可知x0和x2是f(x)的极值点,所以有x(,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间是(,0)和(2,),单调递减区间是(0,2)f(0),f(2),f(2)4,f(4)8,在区间2,4上的最大值为8.12分16(12分)已知x1是函数f(x)的极值点(1)求a的值;(2)函数yf(x)m有2个零点,求m的范围解:(1)x0时,f(x)(x2ax2xa)ex,f(1)(32a)e,由题意得f(1)0,故a.2分(2)问题可转化为yf(x)与ym图象有2个交点,x0时,f(x)ex,f(x)ex
8、.令f(x)0得x1或x(舍),易知f(x)在(0,1)上递减,在(1,)上递增,当x0时,f(x)minf(1).4分当b时满足题意;6分当b0时f(x)的草图如图:故m0时f(x)的草图如图:故m或m0时满足题意.10分综上所述:当b;当b0时,m0时,m或m0.12分17(12分)已知函数f(x)ax3bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x9y0垂直,(1)求实数a,b的值;(2)若函数f(x)在区间m,m1上单调递增,求m的取值范围解:(1)f(x)ax3bx2的图象经过点M(1,4),ab4.f(x)3ax22bx,则f(1)3a2b,由已知得f(1)()1,
9、即3a2b9,由式解得a1,b3.6分(2)f(x)x33x2,f(x)3x26x,令f(x)3x26x0,得x0或x2,f(x)的单调递增区间为(,2和0,)由条件知m0或m12,m0或m3.12分18(14分)设函数f(x)x2aln(x1)(1)若a4,写出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在2,)上单调递增,求实数a的取值范围;(3)若在区间0,1上,函数f(x)在x0处取得最大值,求实数a的取值范围解:(1)a4,f(x)x24ln(x1)(x1),f(x)2x(x1),当1x1时f(x)1时f(x)0,函数f(x)在(1,1)上单调递减,在(1,)上单调递增.4分(2)f(x)2x(x1)函数f(x)在2,)上单调递增,2x22xa0在2,)上恒成立,令t2x22x22(x2),则t12,a12.8分(3)对于方程2x22xa0,48a,当0时,f(x)0,f(x)在区间0,1上单调递增不合题意,当0时,设x1,x2(x1x2)是方程2x22xa0的两个根,根据题意有x10f(1),解得alog2e,实数a的取值范围为(,log2e).14分
限制150内