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1、 二次函数与特殊的三角形第一组 等腰三角形 (2016,26,13分)(5) 如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点点C的坐标是(8,4),连接AC,BC (1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断ABC的形状; (2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA? (3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请
2、说明理由(2016建设兵团,23,13分)如图,抛物线的顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线与y轴交于点D(12)(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使PBC是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的P点坐标,若不存在,请说明理由(2016A,26,12分)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点E.(1)判断ABC的形状,并说明理由;(2)经过BC两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一动点,当PCD的面积最大时,点Q从点P出发,先
3、沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处,最后沿适当的路径运动到点A处停止. 当点Q的运动路径最短时,求点N的坐标与点Q经过的最短路径的长;(3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点E在射线AE上移动,点E平移后的对应点为点E,点A的对应点为点A. 将AOC绕点O顺时针旋转至的位置,点AC的对应点分别为点,且点恰好落在AC上,连接,. 是否能为等腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点E的坐标;若不能,请说明理由.第二组 直角三角形10. ( 2016省枣庄市,25,10分)如图,已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1,且经过A(1,0
4、),C(0,3)两点,与x轴的另一个交点为B若直接ymxn经过B,C 两点,求抛物线和直线BC 的解析式;在抛物线的对称轴x1上找一点M,使点M到点A的距离与点C的距离之和最小,求点M的坐标;设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点,求使BPC为直角三角形的点P的坐标xyOCAB答案:1、(1)解:令y=0,则2x+10=0,x=5,A(5,0)把x=0代入y=2x+10,得y=10,B(0,10)设过O,A,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,可得解得抛物线的解析式为y=x2x3分ABC是直角三角形,理由如下:B(0,10),A(5,0),OA=5,OB=10,AB2=125,AB=
5、C(8,4),A(5,0),AC2=25,AC=5B(0,10),C(8,4),BC2=100,BC=10AC2+BC2=AB2,ABC是直角三角形,且C=905分(2)PA=QA,又PA2=(2t)2+52,QA2=(10t)2+52,(2t)2+52=(10t)2+52,解得t=故当运动时间为秒时,PA=QA8分(3)存在抛物线y=x2x过O,A两点,则对称轴是x=,设M的坐标为(,m),当AM=BM时,M是AB的垂直平分线与抛物线的交点,设抛物线的对称轴与x轴交于点P,与AB交于点Q,由题意可知PQy轴,P是OA的中点,Q是AB的中点,AB的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是Q,此时不
6、能形成三角形当AB=BM时,()2+(10m)2=AB2=125,解得m1=,m2=,M1(,),M2(,)10分当AB=AM时,(5)2+m2=AB2=125,解得m3=,m4=,M3(,),M4(,)综上所述,存在点M,共有4个点,分别是M1(,),M2(,),M3(,),M4(,)12分解:(1)由抛物线,令x=0,得y=3C(0,3),OC=3BO=OC=3AO,OB=3,AO=1A(1,0),B(3,0)代入,得:解得:抛物线的解析式为(2)P1(1,1),P2(1,),P3(1,),P4(1,),P5(1,)设点P的坐标为(1,m)分三种情况讨论:若PC=PB,则PC2=PB2即解
7、得:m=1,P1(1,1)若PC=BC,则PC2=BC2即解得:,P2(1,),P3(1,)若PB=BC,则PB2=BC2即解得:,P4(1,),P5(1,)综上所述,可知满足条件的点P的坐标共有5个,分别是P1(1,1),P2(1,),P3(1,),P4(1,),P5(1,)3、(1)ABC为直角三角形,理由如下:当y=0时,即,解这个方程,得. 点A(,0),B(,0). OA=,OB=3. 当x=0时,y=3,点C(0,3),OC=3. 在RtAOC中,.在RtBOC中,.又,12+36=48,.ABC为直角三角形. (2)如图1,点B(,0),C(0,3),直线BC的解析式为.过点P作
8、PG/y轴交直线BC于点G. 设点P(a,),则点G(a,),PG=()()=. 设点D的横坐标为,点C的横坐标为.,当时,PCD的面积最大,此时点P(,). 如图1,将点P向左平移个单位至点P,连接AP交y轴于点N,过点N作NM抛物线对称轴于点M,连接PM. 点Q沿PMNA运动,所走的路程最短,即最短路径的长为PM+MN+NA的长. 点P(,),点P(,).又点A(,0),直线AP的解析式为.当x=0时,y=,点N(0,). 过点P作PHx轴于点H,则有HA=,PH=,AP=.点Q运动的最短路径的长为PM+MN+AN=+=. (3)如图2,在RtAOC中,tanOAC=,OAC=60.OA=
9、,为等边三角形,=60,=30.又由,得点.点A(,0),E(,4),AE=.直线AE的解析式为,设点E(a,),则点A(,).若,则有,即.解这个方程,得,点E(,5). 若,则有,即,解这个方程,得,.点E(,)或(,). 若,则有,即,解这个方程,得,.点E(,). 综上所述,符合条件的点E的坐标为(,5)或(,)或(,)或(,).1. 若不给自己设限,则人生中就没有限制你发挥的藩篱。2. 若不是心宽似海,哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世里,为自己留下一片纯静的心灵空间,不管是潮起潮落,也不管是阴晴圆缺,你都可以免去浮躁,义无反顾,勇往直前,轻松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些时间,总会看清一些事。用一些事情,总会看清一些人。有时候觉得自己像个神经病。既纠结了自己,又打扰了别人。努力过后,才知道许多事情,坚持坚持,就过来了。4. 岁月是无情的,假如你丢给它的是一片空白,它还给你的也是一片空白。岁月是有情的,假如你奉献给她的是一些色彩,它奉献给你的也是一些色彩。你必须努力,当有一天蓦然回首时,你的回忆里才会多一些色彩斑斓,少一些苍白无力。只有你自己才能把岁月描画成一幅难以忘怀的人生画卷。9 / 9
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