2012版高考数学 3-2-1精品系列 专题06 不等式.doc
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1、2012版高考数学 3-2-1精品系列专题06 不等式(教师版)【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布2012考纲解读考纲解读:不等式的考查主要以中档题为主,以选填题为主;不等式的性质常与简易逻辑结合考查;不等式的解法主要以一元二次不等式为主,兼顾其它(如简单的分式不等式、绝对值不等式、指对数不等式、与分段函数有关的不等式等),常与集合(选填题)、导数(解答题中对参数的分类讨论)结合;线性规划问题难度不大;基本不等式求最值是重点,要加强训练;不等式的恒成立也应当重视。近几年考点分布的不等式问题是近几年考的较多的一种题型,特别是不等式恒成立问题中参数取值范围的求法。3、不等式几乎能与所有数
2、学知识建立广泛的联系,通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现,尤其是以导数或向量为背景的导数(或向量)、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题。问题多属于中档题甚至是难题,对不等式的知识,方法与技巧要求较高。【考点pk】名师考点透析考点一 不等式的概念和性质例1设不等式x22ax+a+20的解集为M,如果M1,4,求实数a的取值范围 即,解得 2a,M1,4时,a的取值范围是(1,) 【名师点睛】:对二次不等式进行分类讨论,三种情况下分别计算,主要考查一元二次不等式的求解和集合的关系的综合例2:不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为(
3、 )ABC D考点二算术平均数与几何平均数例3:设若的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力。【解析】因为,所以,当且仅当即时“=”成立,故选择C【名师点睛】:对于均值不等式的运用,我们一般要关注不等式求最值时满足的三点:一正,二定,三相等。需要从题目中挖掘有关定值的等式,考虑求最值时的方法:不等式法,单调性法,导数法等等来进行。最值问题使我们高频试题,要注意积累常用的方法。考点三 线性规划例4:已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是_.【名师点睛】:对于线性规划问题主要是作图,然后画图虚实要分
4、,准确利用平移进行求解有关的最值。该类试题也有逆向问题,含有参数问题的求解运用,需要灵活运用。例5:某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元【答案】D(3,4)(0,6)O(,0)913【解析】设生产甲产品吨,生产乙产品吨,则有关系: A原料 B原料甲产品吨 3 2 乙产品吨 3 则有: 目标函数 作出可行域
5、后求出可行域边界上各端点的坐标,经验证知:当3,5时可获得最大利润为27万元,故选D【名师点睛】: 运用不等式解决现实生活中的最优解问题,比如材料最省,容积最大,面积最大,利润最大等等问题。抽象不等式,准确表示线性约束条件,然后结合图像求解。该类试题是高考中必考的知识点,我们要多加以练习。考点四 实际应用例6:某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台,每批都购入x台(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4台,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费(1)
6、求该月需用去的运费和保管费的总费用(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 【名师点睛】:本试题是创新题目,主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力,这也是高考的趋势,我们要主语创新能力的培养,数学建模思想的树立。【三年高考】10、11、12 高考试题及其解析12 高考试题及其解析一、选择题 (2012年高考(辽宁文理)设变量x,y满足则2x+3y的最大值为()A20 B35 C45 D55【解析】画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大,最大值为55,故选D 【点评】本题主要考查简单线性规划问
7、题,难度适中.该类题通常可以先作图,找到最优解求出最值,也可以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验证确定出最值. (2012年高考(辽宁理)若,则下列不等式恒成立的是()AB CD【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大. (2012年高考(重庆文)不等式 的解集是为()ABC(-2,1)D【解析】: 【考点定位】本题考查解分式不等式时,利用等价变形转化为整式不等式解. (2012年高考(重庆理)设平面点集,则所表示的平面图形的面积为()ABCD【解析】则满足上述条件的区域为如图所示的圆内部分和,
8、因为的图象都关于直线y=x对称,所以和区域的面积相等,和区域的面积相等,即圆内部分和的面积之和为单位圆面积的一半,即点评考查线性规划中可行域的画法,突破常规,难度较大,需要考生有扎实的基础储备和灵活的转化能力;而另一难点是要有敏锐的观察力,能看到图象的对称性,否则问题的求解会落入定积分的复杂运算中.所以在复习中既要重视双基,又要善于创新,在变化中寻找不变.【考点定位】本小题主要考查二元一次不等式(组)与平面区域,圆的方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,属于基础题. (2012年高考(重庆理)不等式的解集为()ABCD 【解析】 【考点定位】本题主要考查了分式不等
9、式的解法,解题的关键是灵活运用不等式的性质,属于基础试题,属基本题. (2012年高考(浙江文)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()ABC5D6 (2012年高考(天津文)设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为()ABCD3【解析】做出不等式对应的可行域如图,由得,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,而此时最小为,选B. (2012年高考(四川文)若变量满足约束条件,则的最大值是()A12B26C28D33【解析】目标函数可以变形为 ,做函数的平行线, 当其经过点B(4,4)时截距最大时, 即z有最大值为=.点评解决线性规划题目的常规步骤: 一列(列出约束条件)
10、、 二画(画出可行域)、 三作(作目标函数变形式的平行线)、 四求(求出最优解). (2012年高考(四川理)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是()A1800元B2400元C2800元D3100元解方程组 即A(4,4) 点评解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式
11、的平行线)、四求(求出最优解). (2012年高考(陕西文)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则()AavBv=Cvb1, ,给出下列三个结论: ; b1知,又,所以,正确;由指数函数的图像与性质知正确;由ab1,知,由对数函数的图像与性质知正确. 【点评】本题考查函数概念与基本初等函数中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质,不等关系,考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数是常考知识点.(2012年高考(广东文)(线性规划)已知变量、满足约束条件,则的最小值为A3B1CD解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点时,取到最小值.联立,解得,所以的最小
12、值为.(2012年高考(福建文)若直线上存在点满足约束条件,则实数的最大值为()A-1B1CD2(2012年高考(安徽文)若满足约束条件:;则的最小值是()ABCD【解析】的取值范围为 约束条件对应边际及内的区域: 则 (2012年高考(江西理)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为()A50,0B30.0C20,30D0,50【
13、解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元,则目标函数为.线性约束条件为即作出不等式组表示的可行域,易求得点. 平移直线,可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且(万元).故选B. 【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为: (1)审题仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化设元.写出约束条件和目标函数; (3)求解关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答就应用题提出的问题作出回答. 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意
14、简单的线性规划求最值问题. (2012年高考(湖北理)设是正数,且,则()ABCD (2012年高考(广东理)已知变量、满足约束条件,则的最大值为()A12B11C3D解析:B.画出可行域,可知当代表直线过点时,取到最大值.联立,解得,所以的最大值为11. (2012年高考(福建理)若函数图像上存在点满足约束条件,则实数的最大值为()AB1CD2【解析】与的交点为,所以只有才能符合条件,B正确. 【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力(2012年高考(福建理)下列不等式一定成立的是()AB CD二、填空题(2012年高考(浙江文)设z
15、=x+2y,其中实数x,y满足, 则z的取值范围是_.(2012年高考(四川文)设为正实数,现有下列命题:若,则;若,则;若,则;若,则.其中的真命题有_.(写出所有真命题的编号)解析若a,b都小于1,则a-b1, 由a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ,所以,a-b1,则|a-b|1 若a,b都小于1,则|a-b|0时均有(a-1)x-1( x 2-ax-1)0,则a=_.【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况: (A), 无解; (B), 无解. 因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区
16、间内恒正或恒负.(如下答图) 我们知道:函数y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1都过定点P(0,1). 考查函数y1=(a-1)x-1:令y=0,得M(,0),还可分析得:a1; 考查函数y2=x 2-ax-1:显然过点M(,0),代入得:,解之得:,舍去,得答案:. 【答案】 (2012年高考(上海春)若不等式对恒成立,则实数的取值范围是_.【答案】(2012年高考(陕西理)xy1-1设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为_.解析:,曲线及该曲线在点处的切线方程为,围成的封闭区域为三角形,在点处取得最大值2.(2012年高考(江苏)已知正数满足:
17、则的取值范围是. 设,则题目转化为: 已知满足,求的取值范围. 作出()所在平面区域(如图).求出的切 线的斜率,设过切点的切线为, 则,要使它最小,须. 的最小值在处,为.此时,点在上之间. 当()对应点时, , 的最大值在处,为7. 的取值范围为,即的取值范围是. (2012年高考(江苏)已知函数的值域为,若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为_.【解析】由值域为,当时有,即, . 解得,. 不等式的解集为,解得. (2012年高考(大纲理)若满足约束条件,则的最小值为_.【解析】做出不等式所表示的区域如图,由得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最 大,此时最小,最小值为.
18、 (2012年高考(安徽理)若满足约束条件:;则的取值范围为【解析】约束条件对应边际及内的区域: 则 11年高考试题及解析1、(陕西文3).设,则下列不等式中正确的是 (A) (B)(C ) (D) 【答案】B【解析】:,又所以故选B2、(陕西理).若关于x的不等式存在实数解,则实数的取值范围是 3、(广东文5)不等式的解集是( )A BC D 【解析】D.由题得所以选D.4、(广东理9).不等式的解集是_.【解析】由题得 所以不等式的解集为。5、(山东理4).不等式的解集为( )A B。 C. D。6、(江西文15)对于,不等式的解集为_【解析】两种方法,方法一:分三段,当x2时, x+10
19、-x+2,x2,方法二:用绝对值的几何意义,可以看成到两点-10和2的距离差大于等于8的所有点的集合,画出数轴线,找到0到-10的距离为10,到2的距离为2,并当x往右移动,距离差会大于8,所以满足条件的x的范围是.7、(湖南理).设,且,则的最小值为 .8、(重庆文7)若函数=在处取最小值,则A B C3 D4【命题意图】本题考查利用均值不等式求最值,考查学生转化与化归能力、运运算求解能力,是中档题.【解析】2,=4,当且仅当即=3时,即=3,=4,故选C.9、(重庆文15)若实数的最大值是 【命题意图】本题考查基本不等式的应用,指数、对数等相关知识,考查了转化与化归思想,是难题.【解析】=
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