2020年中考数学二轮冲刺核心重点第08讲 三角形的存在性-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版(免费下载).doc
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1、硬核:狙击2020中考数学重点/难点/热点1、 两点间距离公式2、 等腰三角形“三线合一”3、 勾股定理4、 锐角三角函数5、 全等三角形的判定6、 相似三角形的性质与判定一、等腰三角形与直角三角形的存在性(1)“两圆一中垂”满足等腰三角形的点的存在性的作图方法探究1: 如图,在坐标轴上找出所有的点C,使ABC 为等腰三角形。方法:分类讨论:当A为顶点时,即AB=AC时,以A为圆心,AB为半径画圆,得目标点C1,C2,C3,C4当B为顶点时,即BA=BC时,以B为圆心,BA为半径画圆,得目标点C5,C6,C7,C8当C为顶点时,即CA=CB时,作线段AB的垂直平分线,得目标点C9,C10故,满
2、足条件的点C共有10个.(2)“一圆两垂直”满足直角三角形的点的存在性的作图方法探究2: 如图,在坐标轴上找出所有的点C,使ABC 为直角三角形。方法:分类讨论:当A=90°时,过点A作线段AB的垂线,得目标点C1,C2当B=90°时,过点B作线段AB的垂线,得目标点C3,C4当C=90°时,以AB为直径作圆,得目标点C5,C6,C7,C8故,满足条件的点C共有8个.(3)“代数求值解法”满足等腰/直角三角形的点的坐标计算方法写出或设出三角形三个顶点的坐标;利用两点间距离公式,计算三角形三条边长的平方;若是等腰三角形,则由等腰三角形的三边长(的平方)可以两两相等,
3、需分三类,列方程求解;若是直角三角形,则表示出三边的平方,利用勾股定理列出方程即可求解.检验求出的点是否符合题意,即能否构成三角形。二、相似三角形的存在性(1)导边法,(“SAS”法)先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽;以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程如图,在ABC和DEF中,若已确定A=D, 则要使ABC与DEF相似,需要分两种情形讨论:或,再列方程求解即可.(1)导角法,(AA”法)先找到一组关键的等角;另两个内角分两类对应相如图,在ABC和DEF中,若已确定A=D, 则要使ABC与DEF相似,需要分两种情形讨论:B=E或B=F,再进行分析处理即可.【例题1】在平面直
4、角坐标系中,点A坐标为(2,1),点B坐标为(2,3),点C为x轴上的一个动点,记作(a,0)(1)求AC+BC的最小值,并求AC+BC的最小值时点C的坐标(2)若ABC为等腰三角形,求点C坐标(3)若ABC为直角三角形,求点C坐标(4)若点D坐标为(a+1,0),求四边形ACDB的周长的最小值,并求出C点坐标【解析】(1)点A坐标为(2,1)点A坐标关于x轴的对称点为A'(2,1)根据两点之间,线段最短可得:当点C,点A',点B三点共线时,AC+BC值最小AC+BC最小值为为A'B的长度,即A'B4设直线A'B解析式ykx+b,解得:k1,b1解析式y
5、x+1当y0时,a1点C(1,0)(2)ABC为等腰三角形,ABAC或ACBC或ABBC若ABAC时,点A坐标为(2,1),点B坐标为(2,3),点C(a,0)(2+2)2+(31)2(a+2)2+(10)2a±2点C坐标为(,2),(,2)若ABBC时,(2+2)2+(31)2(a2)2+(30)2a2±点C坐标为(2+,0),(2,0)若BCAC时,(a2)2+(30)2(a+2)2+(10)2a1点C(1,0)(3)若ABC为直角三角形,ABC90°或ACB90°或BAC90°,若ABC90°,则ABBC点A坐标为(2,1),点
6、B坐标为(2,3),直线AB的解析式yx+2设直线BC解析式y2x+b过点B34+bb7解析式y2x+7当y0时,x点C(,0)若BAC90°,则ACAB设直线AC解析式y2x+m过点A14+mm3解析式y2x3当y0时,x,点C(,0)当ACB90°时,AB2AC2+BC220(a+2)2+1+(a2)2+9a±1点C(1,0),(1,0)(4)点D坐标为(a+1,0),点C(a,0)CD1,CD1,AB2,四边形ACDB的周长AB+AC+CD+DB1+2+AC+DB要使四边形ACDB的周长最小即AC+DB的值最小将点B向左平移1个单位得B'(1,3),
7、点A关于x轴的对称点为A'(2,1)连接A'B'交x轴为点C此时AC+DB的最小值为A'B'的长度A'(2,1),B'(1,3)A'B'5四边形ACDB的周长最小值1+2+56+2A'(2,1),B'(1,3)直线A'B'解析式yx+,当y0时,x点C(,0)【例题2】如图,在菱形ABCD中,ABC60°,AB2,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为【解析】若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱
8、形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“,即当点P与点A重合时,PD值最小,为2;若以边PC为底,PBC为顶角时,以点B为圆心,BC长为半径作圆,与BD相交于一点,则弧AC(除点C外)上的所有点都满足PBC是等腰三角形,当点P在BD上时,PD最小,最小值为232;若以边PB为底,PCB为顶角,以点C为圆心,BC为半径作圆,则弧BD上的点A与点D均满足PBC为等腰三角形,当点P与点D重合时,PD最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;综上所述,PD的最小值为22【例题3】已知:在矩形ABCD中,AB6,点E为边AB上一点,满足AE2,连接DE
9、,在矩形内部作DEF45°,交边BC于点F(不与端点重合),交边DC的延长线于点G(1)如果DFEG,求DEG的面积;(2)设ADx,BFy,请用含有x,y的式子表示线段DG的长;求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;(3)如果DEF是等腰三角形,试求此时AD的长【解析】(1)如图1,DFEF,DEF45°,DEF是等腰直角三角形,EFDF,四边形ABCD是矩形,BFCD90°,BEF+BFEBFE+DFC90°,BEFDFC,EBFFCD(AAS),CFBE624,BFCD6,由勾股定理得:EFDF2,BECG,EBFGCF,FG,EGEF+FG
10、2+,SDEG;(2)BFy,ADBCx,CFxy,BECG,EBFGCF,CG4,DGDC+CG6+42+;如图2,过D作DMDE,交EG的延长线于M,过E作EHEG,交AD于H,HEG90°,AEH+BEF90°,BEF+BFE90°,AEHBFE,AB90°,HAEEBF,AH,DHx,DEF45°,HEGEDM90°,HED45°,EDM是等腰直角三角形,DEDM,M45°,MHED45°,ADE+EDCEDC+GDM,ADEGDM,DHEDGM(ASA),DHDG,x2+,y4+,yx,4+x,
11、4(x2)+16x(x2),x26x80,设mx26x8,当m0时,x26x80,x13,x23+,如图3所示,当m0时,x3+,则y关于x的函数关系式为:y4+,定义域是x3+;(3)DEF是等腰三角形时,存在三种情况,当EFDF时,由勾股定理得:BE2+BF2CF2+DC2,42+y262+(xy)2,1636+x22xy,把y4+代入得:020+x22x(4+),x310x2+4x400,x2(x10)+4(x10)0,(x10)(x2+4)0,x10,AD10;当EDDF时,DEFDFE45°EDF90°不符合题意;当DEEF时,由勾股定理得:BE2+BF2AE2+
12、AD2,42+y2x2+22,把y4+代入得:16+(4+)2x2+4,x44x324x216x1120,x424x21124x(x2+4)0,(x2+4)(x228)4x(x2+4)0,(x2+4)(x24x28)0,x24x280,x124(舍),x22+4,即AD2+4,综上,此时AD的长为10或2+4【例题4】(2020沈阳一模)如图,抛物线yax2+bx+2交x轴于点A(3,0)和点B(1,0),交y轴于点C已知点D的坐标为(1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点,连接AP、PC、CD(1)求这个抛物线的表达式(2)当四边形ADCP面积等于4时,求点P的坐标(3)点M在平面内,
13、当CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时,直接写出满足条件的所有点M的坐标;在的条件下,点N在抛物线对称轴上,当MNC45°时,直接写出满足条件的所有点N的坐标【解析】(1)抛物线yax2+bx+2交x轴于点A(3,0)和点B(1,0),抛物线的表达式为:ya(x+3)(x1)a(x2+2x3)ax2+2ax3a,即3a2,解得:a,故抛物线的表达式为:yx2x+2;(2)连接OP,设点P(x,x2x+2),抛物线yx2x+2交y轴于点C,点C(0,2),SS四边形ADCPSAPO+SCPOSODC×AO×yP+×OC×|xP|×CO
14、×OD4,×3×(x2x+2)+×2×(x)×1×24,x11,x22,点P(1,)或(2,2);(3)如图2,若点M在CD左侧,连接AM,MDC90°,MDA+CDO90°,且CDO+DCO90°,MDACDO,且ADCO2,MDCD,MADDOC(SAS)AMDO,MADDOC90°,点M坐标(3,1),若点M在CD右侧,同理可求点M'(1,1);如图3,抛物线的表达式为:yx2x+2(x+1)2+;对称轴为:直线x1,点D在对称轴上,MDCDM'D,MDCM
15、9;DC90°,点D是MM'的中点,MCDM'CD45°,MCM'90°,点M,点C,点M'在以MM'为直径的圆上,当点N在以MM'为直径的圆上时,M'NCM'MC45°,符合题意,点C(0,2),点D(1,0)DC,DNDN',且点N在抛物线对称轴上,点N(1,),点N'(1,)延长M'C交对称轴与N'',点M'(1,1),点C(0,2),直线M'C解析式为:y3x+2,当x1时,y5,点N''的坐标(1,5),点N&
16、#39;'的坐标(1,5),点M'(1,1),点C(0,2),N''CM'C,且MCM'90°,MM'MN'',MM'CMN''C45°点N''(1,5)符合题意,综上所述:点N的坐标为:(1,)或(1,)或(1,5)【例题5】如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+c的图象与x轴交于A(4,0),B两点,与y轴交于点C(0,2),对称轴x1,与x轴交于点H(1)求抛物线的函数表达式;(2)直线ykx+1(k0)与y轴交于点E,与抛物线交于点P,Q(点P在
17、y轴左侧,点Q在y轴右侧),连接CP,CQ,若CPQ的面积为,求点P,Q的坐标;(3)在(2)的条件下,连接AC交PQ于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,将线段GK绕点G顺时针旋转90°,使点K恰好落在抛物线上?若存在,请直接写出点K的坐标;若不存在,请说明理由【解析】(1)对称轴x1,则点B(2,0),则抛物线的表达式为:ya(x+2)(x4)a(x22x8),即8a2,解得:a故抛物线的表达式为:y;(2)设直线PQ交y轴于点E(0,1),点P、Q横坐标分别为m,n,CPQ的面积×CE×(nm),即nm2,联立抛物线与直线PQ的表达式得:kx+1,整理得
18、:,m+n24k,mn4,nm2,解得:k0(舍去)或1;将k1代入式并解得:x,故点P、Q的坐标分别为:(,、(,);(3)设点K(1,m),A(4,0),C(0,2),AC的表达式为yx+2,联立PQ和AC的表达式得x+1x+2,解得:x,故点G(,),过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M,交过点R与y轴的平行线于点N,则KMGGNR(AAS),GM1NR,MK,故点R的纵坐标为:,则点R(m1,)将该坐标代入抛物线表达式解得:x,故m,故点K(1,)【例题6】如图,直线yx+3交x轴于点A,交y轴于点C,抛物线yax2+bx+c经过A、C,与x轴交于另一点B(1,0),顶点为D(1)求
19、抛物线的解析式;(2)过A点作射线AE交直线AC下方的抛物线上于点E,使DAE45°,求点E的坐标;(3)若(2)中AE交y轴于点F,N是线段AC上一点,在抛物线上是否存在点M,使AMN与ACF相似?若存在,请直接写出点M及相应的N点的坐标;若不存在,请说明理由【解析】(1)直线yx+3交x轴于点A,交y轴于点C,点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3)将A(3,0)、B(1,0)、C(0,3)代入yax2+bx+c,得:,解得:,抛物线的解析式为yx22x+3(2)yx22x+3(x+1)2+4,点D的坐标为(1,4)A(3,0),C(0,3),OACOCA45°,
20、AD2,CD,AC3AD2CD2+AC2,ACD90°,tanDAC在y轴上取点F(0,1),连接AF交抛物线与点E,如图1所示OF1,OA3,tanOAFtanDAC,OAFDACCAF+OAF45°,DAFDAC+CAF45°设直线AE的解析式为ykx+d(k0),将A(3,0)、F(0,1)代入ykx+d,得:,解得:,直线AE的解析式为yx+1联立直线AE、抛物线的解析式成方程组,得:,解得:,点E的坐标为(,)(3)A(3,0),C(0,3),F(0,1),CF2,AC3,AF分MANACF、MANCAF及MANAFC三种情况考虑当MANACF时,点M与
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