中考数学一轮复习讲义【二次函数】参考模板范本.doc
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1、中考数学一轮复习讲义【二次函数】中考数学一轮复习讲义26 二次函数小结1 概述学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系,掌握其基本的解决方法主要内容有两大部分:一部分是二次函数及其图象的基本性质,另一部分是二次函数模型通过解决一些实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力二次函数综合了初中所学的函数知识,它把一元二次方程、三角形等知识综合起来,是初中各种知识的总结二次函数作为一类重要的数学模型,将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用 小结2 学习重难点【重点】 通过对实际问题情境的分析,确定二次函数的表达式,体会二次函数的意义;会用描点法画二次函数的图象,能从图象中认识二次函数的性质;会根据公
2、式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴,并能解决简单的实际问题;会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 【难点】 会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴,并能解决简单的实际问题 【应注意的问题】 1在学习过程中,不要死记硬背,要运用观察、比较的方法及数形结合思想,熟练地画出抛物线的草图,然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系,由简单的二次函数yax2(a0)开始,总结、归纳其性质,然后逐步扩展,从yax2k,ya(xh)2一直到yax2bxc,最后总结出一般规律,符合从特殊到一般、从易到难的认识规律,降低了学习难度 2在研究抛物线的画法时,要特别注意抛物线
3、的轴对称性,列表时,自变量x的选取应以对称轴为界进行对称选取,要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征 3有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础,通过观察、操作、思考、交流、探索,加深对教材的理解,在学习数学的过程中学会与他人交流,同时,在学习本章时,要深刻理解两种思想和两种方法,两种思想指的是函数思想和数形结合思想,两种方法指的是待定系数法和配方法,在学习过程中,对数学思想和方法要认真总结并积累经验小结3 中考透视近几年来,各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题,尤其是全国各地中考试题中的压轴题,有三分之一以上是这一类
4、题,试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法,还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查,特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题,主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力,同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.知识网络结构图一元二次方程的近似解一元二次不等式的解集二次函数的最大(小)值在实际问题中的应用二次函数的概念二次函数的图象二次函数的应用二次函数开口方向二次函数的性质对称轴顶点坐标增减性专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次函数yax2bxc的图象和性质
5、【专题解读】 对二次函数yax2bxc的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一,一般以填空题、选择题为主,同时也是综合性解答题的基础,需牢固掌握 例1 二次函数yax2bxc(a0)的图象如图2684所示,则下列结论:a0;c0;b24ac0其中正确的个数是 ( ) A0个 B1个 C2个 D3个 分析 抛物线的开口向下,a0;抛物线与y轴交于正半铀,c0;抛物线与x轴有两个交点,b24ac0故正确故选C 【解题策略】 解此类题时,要注意观察图象的开口方向、与y轴交点的位置以及与x轴交点的个数 例2 若yax2bxc,则由表格中的信息可知y与x之间的函数关系式是 ( )x-101a
6、x21ax2+bx+c83Ayx24x3 Byx23x4Cyx23x3 Dyx24x8分析 由表格中的信息可知,当x1时,ax21,所以a1当x=1时,ax2bxc8,当x0时,ax2bxc3,所以c3,所以1(1)2b(1)38,所以b4故选A【解题策略】 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式,解决此题的突破口是x1时,ax21,x0时,ax2bxc3和x1时,ax2bxc8例3 已知二次函数yax2bx1的大致图象如图2685所示,则函数yaxb的图象不经过 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 分析 由图象可知a0,0,则b0,所以yaxb的图象不经过第一象限故选A
7、【解题策略】 抛物线的开口方向决定了a的符号,b的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定 例4 已知二次函数yax2bxc(其中a0,b0,c0),关于这个二次函数的图象有如下说法:图象的开口一定向上;图象的顶点一定在第四象限;图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧其中正确的个数为 ( ) A0个 B1个 C2个 D3个 分析 由a0,得抛物线开口向上,由0,得对称轴在y轴左侧,由c0可知抛物线与y轴交于负半轴上,可得其大致图象如图2686所示,因此顶点在第三象限,故正确故选C. 【解题策略】 此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质,解题时运用了数形结合思想 例5 若A,B,C为二次
8、函数yx24x5的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是 ( ) Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y3y2 分析 因为yx24x5的图象的对称轴为直线x2,所以x=与x的函数值相同,因为抛物线开口向上,所以当时,y2y1y3故选B 【解题策略】 此题考查了抛物线的增减性和对称轴,讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑,因此将x=的函数值转化为x的函数值例6 在平面直角坐标系中,函数yx1与y(x1)2的图象大致是(如图2687所示) ( ) 分析 直线yx1与y轴交于正半轴,抛物线y(x1)2的顶点为(1,0),且开口向下故选D专题2 抛物线的平移规律【专题解读】
9、当二次函数的二次项系数a相同时,图象的形状相同,即开口方向、大小相同,只是位置不同,所以它们之间可以进行平行移动,移动时,其一,把解析式yax2bxc化成ya(xh)2k的形式;其二,对称轴左、右变化,即沿x轴左、右平移,此时与k的值无关;顶点上、下变化,即沿y轴上、下平移,此时与h的值无关其口诀是“左加右减,上加下减” 例7 把抛物线y2x2向上平移1个单位,得到的抛物线是 ( ) Ay2(x1)2 By2(x1)2 Cy2x21 Dy2x21 分析 原抛物线的顶点为(0,0),向上平移一个单位后,顶点为(0,1)故选C 【解题策略】 解决此题时,可以用“左加右减,上加下减”的口诀来求解,也
10、可以根据顶点坐标的变化来求解 例8 把抛物线yx2bxc向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式为yx23x5,则 ( ) Ab3,c7 Bb6,c3 Cb9,c5 Db9,c21 分析 yx23x5变形为y5,即y,将其向左平移3个单位,再向上平移2个单位,可得抛物线y2,即yx23x7,所以b3,c7故选A 【解题策略】 此题运用逆向思维解决了平移问题,即抛物线yx2bxc向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到yx23x5,那么抛物线yx23x5则向左平移3个单位,再向上平移2个单位,可得到抛物线yx2bxc专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用【专题解读】若抛物线经
11、过原点,则c0,若抛物线的顶点坐标已知,则和的值也被确定等等,这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a,b,c以及与之有关的代数式的值 例9 如图2688所示的抛物线是二次函数yax23axa21的图象,则a的值是 . 分析 因为图象经过原点,所以当x0时,y0,所以a21=0,a1,因为抛物线开口向下,所以a1.故填1:专题4 求二次函数的最值【专题解读】 在自变量x的取值范围内,函数yax2bxc在顶点处取得最值当a0时,抛物线yax2bxc开口向上,顶点最低,当x时,y有最小值为;当a0时,抛物线yax2bxc开口向下,顶点最高,当x时,y有最大值为 例10 已知实数x,y满足x22
12、x4y5,则x2y的最大值为 . 分析 x22x4y5,4y5x22x,2y(5x22x),x2y(5x22x)x,整理得x2yx2.当x0时,x2y取得最大值,为故填专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【专题解读】 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系,可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集已知函数值,求自变量的对应值,就是解方程,已知函数值的范围,求对应的自变量的取值范围,就是解不等式 例11 已知二次函数yax2bx的图象经过点(2,0),(1,6) (1)求二次函数的解析式; (2)不用列表,画出函数的图象,观察图象,写出当y0时x的取值范围
13、 分析 (1)列出关于a,b的方程组,求a,b的值即可(2)观察图象求出y0的解集解:(1)由题意可知,当x2时,y0,当x1时,y6,则解得 二次函数的解析式为y2x24x(2)图象如图2689所示,由图象可知,当y0时,x0或x2 【解题策略】 求二次函数的解析式,其实质就是先根据题意寻求方程组,并解方程组,从而使问题得到解决二、规律方法专题专题6 二次函数解析式的求法【专题解读】 用待定系数法可求出二次函数的解析式,确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件,根据不同的条件,选择不同的设法 (1)设一般式:yax2bxc(a0) 若已知条件是图象经过三个点,则可设所求的二次函数解析式为y
14、ax2bxc,将已知条件代入,即可求出a,b,c的值 (2)设交点式:ya(xx1)(xx2)(a0) 若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1,0),(x2,0),则可设所求的二次函数解析式为ya(xx1)(xx2),将第三点(m,n)的坐标(其中m,n为已知数)代入,求出待定系数a,最后将解析式化为一般式 (3)设顶点式:ya(xh)2k(a0) 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),则可设所求的二次函数解析式为ya(xh)2k,将已知条件代入,求出待定系数a,最后将解析式化为一般式 (4)设对称点式:ya(xx1)(xx2)m(a0) 若已知二次函数
15、图象上的对称点(x1,m),(x2,m),则可设所求的二次函数解析式为ya(xx1)(xx2)m(a0),将已知条件代入,求得待定系数a,m,最后将解析式化为一般式 例12 根据下列条件求函数解析式 (1)已知二次函数的图象经过点(1,6),(1,2)和(2,3),求这个二次函数的解析式; (2)已知抛物线的顶点为(1,3),与y轴的交点为(0,5),求此抛物线的解析式; (3)已知抛物线与x轴交于A(1,0),B(1,0)两点,且经过点M(0,1),求此抛物线的解析式; (4)已知抛物线经过(3,4),(1,4)和(0,7)三点,求此抛物线的解析式 分析 (1)已知图象上任意三点的坐标,可选
16、用一般式,从而得到关于a,b,c的方程组,求出a,b,c的值,即可得到二次函数的解析式(2)已知抛物线的顶点坐标,应选用顶点式(3)由于A(l,0),B(1,0)是抛物线与x轴的两个交点,因此应选用交点式(4)显然已知条件是抛物线经过三点,故可用一般式,但由于(3,4),(1,4)是抛物线上两个对称点,因此选用对称点式更简便 解:(1)设二次函数的解析式为yax2bxc 将(1,6),(1,2)和(2,3)分别代入, 得解得 所求的二次函数的解析式为yx22x5 (2)抛物线的顶点为(1,3), 设其解析式为ya(x1)23,将点(0,5)代入 ,得5a3,a2,所求抛物线的解析式为y2(x1
17、)23 即y2x24x5 (3)点A(1,0),B(1,0)是抛物线与x轴的两个交点, 设抛物线的解析式为ya(x1)(x1), 将点M(0,1)代入,得1a,a1, 所求抛物线的解析式为y(x1)(x1), 即y=x21 (4)抛物线经过(3,4),(1,4)两点, 设抛物线的解析式为ya(x3)(x1)4, 将点(0,7)代入,得7a3(1)4,a1, 所求抛物线的解析式为y(x3)(x1)4, 即yx22x7【解题策略】 (1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法,它们之间是相互联系的,不是孤立的. (2)在选用不同的设法时,应具体问题具体分析,特别是
18、当已知条件不是上述所列举的4种情形时,应灵活地运用不同的方法来求解,以达到事半功倍的效果 (3)求,函数解析式的问题,如果采用交点式、顶点式或对称点式,最后要将解析式化为一般形式 三、思想方法专题专题7 数形结合思想【专题解读】 把问题的数量关系和空间形式结合起来考查,根据解决问题的需要,可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论,也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究 例13 二次函数yax2bxc的图象如图2690所示,则点A(a,b)在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 分析 由图象开口方向向下可知a0,由对称轴的位置可知x0,所以b0,故点A在第二象
19、限故选B【解题策略】 解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置专题8 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论,从而求得满足题意的结果 例14 已知抛物线yax2bxc与y轴交于点A(0,3),与x轴交于B(1,0),C(5,0)两点 (1)求此抛物线的解析式; (2)若点D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析式; (3)若一个动点P自OA的中点M出发,先到达x轴上某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A,求使点P运动的总路径最短的点E,F的坐标,并求出这个最短总路径的长 分析 (1)用待定系数法求a,b,c的值(2)用分类讨
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