2022年概率论与数理统计期末考试复习资料.docx
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1、第 1 章(1)排 列组合 公式精选学习资料 随机大事及其概率- - - - - - - - - n P mm .n .从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数;mCn mn .m .n.从 m个人中挑出n 个人进行组合的可能数;m加法原理(两种方法均能完成此事):m+n (2)加 法和乘 法原理某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,其次种方 法可由n 种方法来完成,就这件事可由m+n 种方法来完成;乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,其次个步骤可由n 种方法来完成,就这件事可由m n 种方法来完成;(3)一 些常
2、见 排列(4)随 机试验 和随机 大事重复排列和非重复排列(有序)对立大事(至少有一个)次序问题 假如一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不 止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果,就称这 种试验为随机试验;试验的可能结果称为随机大事;在一个试验下,不管大事有多少个,总可以从其中找出这样一组大事,它具有如下性质:每进行一次试验,必需发生且只能发生这一组中的一个大事;(5)基 本领 件、样 本空间 和大事任何大事,都是由这一组中的部分大事组成的;这样一组大事中的每一个大事称为基本领件,用 来表示;基本领件的全体,称为试验的样本空间,用 表示;一个大事就是由中的部分
3、点(基本领件 )组成的集合;通常用大写字母A,B,C, 表示大事,它们是的子集;为必定大事,. 为不行能大事;不行能大事(.)的概率为零,而概率为零的大事不肯定是不行能大事;同理,必定大事( )的概率为 1,而概率为 1 的大事也不肯定是必定 大事;关系:假如大事 A的组成部分也是大事B的组成部分,(A发生必有大事 B(6)事 件的关 系与运 算发生):AB假如同时有AB,BA,就称大事 A与大事 B等价,或称 A等于B:A=B;A、B中至少有一个发生的大事:A B,或者A+B;属于 A而不属于B的部分所构成的大事,称为A与 B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者A ,它表示 A发生而 B
4、不发生的大事;A、B同时发生:A B,或者AB;A B=.,就表示A与 B不行能同时发生,称大事A与大事 B互不相容或者互斥;基本领件是互不相容的;-A 称为大事 A的逆大事,或称A的对立大事,记为A;它表示 A不 发生的大事;互斥未必对立;运算:结合率:ABC=ABC ABC=ABC 名师归纳总结 1 - - - - - - -第 1 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 安排率:ABC=ACBC A BC=ACBC (7)概 率的公 理化定 义(8)古 典概型德摩根率:AiAiABAB,ABABi 1 i 1设 为样本空间,A 为大事,对每一个大事A 都有一个实
5、数PA,如满意以下三个条件:1 0 PA1,2 P =1 3对于两两互不相容的大事 1 A,A, 有PA iP A ii1i1常称为可列(完全)可加性;就称 PA为大事 A 的概率;11, 2 n,2 P1P2Pn1;n设任一大事A ,它是由PA= 1 2 1,2Pm组成的,就有Pmm =1P2mA所包含的基本领件数n基本领件总数如随机试验的结果为无限不行数并且每个结果显现的可能性匀称,同(9)几 何概型(10)加法公时样本空间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域来描述,就称 此随机试验为几何概型;对任一大事A,PA LA;其中 L 为几何度量(长度、面积、体积);LPA+B=PA+PB-P
6、AB 当 PAB0 时,PA+B=PA+PB 式(11)PA-B=PA-PAB 第 2 页,共 22 页减法公当 B A时,PA-B=PA-PB 式当 A= 时,P B =1- PB 定义 设 A、B是两个大事,且PA0,就称PAB为大事A发生条件(12)PA下,大事 B发生的条件概率,记为 PB/A PAB;条件概PA 率条件概率是概率的一种,全部概率的性质都适合于条件概率;(13)例如 P /B=1PB /A=1-PB/A 乘法公式:PABPA PB/A 乘法公更一般地,对大事A1,A2, An,如 PA1A2 An-10,就有式PA 1A2AnPA 1PA2|A 1 PA3|A 1A2
7、PAn|A 1A2An1 ;两个大事的独立性(14)设大事 A 、 B 满意 的;PABPAPB,就称大事A 、 B 是相互独立独立性如大事 A 、 B 相互独立,且PA0,就有PB|APABPA PBPB 名师归纳总结 2 PAPA- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如大事 A 、 B 相互独立,就可得到A 与 B 、 A 与B 、 A 与 B 也都相 互独立;必定大事 和不行能大事 . 与任何大事都相互独立;. 与任何大事都互斥;多个大事的独立性 设 ABC是三个大事,假如满意两两独立的条件,PAB=PAPB;PBC=PBPC;PCA=PCPA 并且
8、同时满意PABC=PAPBPC 那么 A、B、C相互独立;对于 n 个大事类似;(15)全概公 式(16)贝叶斯公式设大事B1 ,B2,B n满意1B1 ,B2 ,B n两两互不相容,PBi0 i,12 ,n ,2AnBi,就有i1PA PB 1 PA|B1 PB2PA|B2PBn PA|Bn;设大事 B,B, ,B及A满意1B,B, ,B两两互不相容,PBi0, i1,2, ,n ,2AnBi,PA0,就i1P B i/A nPB iP A/B ij,i=1,2,n;P BjPA/Bj1此公式即为贝叶斯公式;P iB ,(i 1,2, ,n ),通常叫先验概率;P B i / A ,(i 1
9、,2, ,n ),通常称为后验概率;贝叶斯公式反映了“ 因果” 的概率规律,并作出了“ 由果朔因” 的推断;我们作了n 次试验,且满意(17)每次试验只有两种可能结果,A发生或A 不发生;n 次试验是重复进行的,即A 发生的概率每次均一样;第 3 页,共 22 页每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发 生与否是互不影响的;伯努利这种试验称为伯努利概型,或称为n 重伯努利试验;概型用 p 表示每次试验A发生的概率,就 A 发生的概率为 1表示n 重伯努利试验中A显现 k 0 k n 次的概率,pq,用Pnk其次章P n k C kn p kq n k,随机变量及其分布k0 ,1,
10、2,n;名师归纳总结 3 - - - - - - -(1)离 散型随 机变量 的分布 律(2)连 续型随 机变量的分布 密度精选学习资料 - - - - - - - - - 设离散型随机变量X 的可能取值为Xkk=1,2, 且取各个值的概率,即大事X=Xk 的概率为PX=xk=pk,k=1,2, ,就称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律;有时也用分布列的形式给出:X | x 1 , x 2 , , x k ,;P X x k p 1 , p 2 , , p k ,明显分布律应满意以下条件:(1)pk0,k,12,(2)pk1;k1设 F x 是随机变量 X 的分布函数,如存在非负函数实
11、数 x ,有fx,对任意Fx xfx dx,就称 X 为连续型随机变量;数,简称概率密度;x 称为 X 的概率密度函数或密度函密度函数具有下面4 个性质:(3)离 散与连续型随 机变量1fx0;2fx dx1;PXxPxXxdxfx dx积分元fx dx在连续型随机变量理论中所起的作用与PXxkpk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似;的关系(4)分 设 X 为随机变量,x是任意实数,就函数布函数 F x P X x 称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数;PaXb Fb Fa可以得到 X落入区间a,b的概率;分布函数F x表示随机变量落入区间( ,x 内的概率;分布函数具有如下性质
12、:10Fx,1x;x1 Fx2;2Fx是单调不减的函数,即x1x2时,有F3Fx limFx 0,Fx limFx 1;4Fx0 Fx,即Fx是右连续的;5PXxFxFx0;对于离散型随机变量,Fx x kxpk;x(5)八对于连续型随机变量,Fx fx dx;0-1 分布PX=1=p, PX=0=q 大分布名师归纳总结 4 - - - - - - -第 4 页,共 22 页二项分布精选学习资料 - - - - - - - - - 在n重贝努里试验中,设大事A发生的概率为p;事件 A发生的次数是随机变量,设为X ,就 X 可能取泊松分布值为01, ,2 ,n;PXkPnkCkpkqnk,其中n
13、q1p,0p,1k0 ,1,2 ,n,就称随机变量X 听从参数为n,p的二项分布;记为XBn,p;当n1时,PXkpkq1k,k0 1.,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例;设随机变量X 的分布律为PXkke,0,k0,1,2,k .就称随机变量X 听从参数为 的泊松分布,记为X或者 P;泊松分布为二项分布的极限分布(np= ,n);超几何分P XkCkCnk,k,1,02,lMNM布Cn NlminMn 随机变量 X听从参数为 n,N,M的超几何分布,记为 Hn,N,M;几何分布PXkqk1p,k,12 ,3 ,其中 p0,q=1-p;随机变量 X听从参数为 p 的几何
14、分布,记为Gp;匀称分布设随机变量 X 的值只落在a,b 内,其密度函数 1 在a,b上为常数,即 b afx fxb1a,a xb其他,0,就称随机变量 X 在a,b 上听从匀称分布,记为 XUa,b;名师归纳总结 5 分布函数为0,xa,xb ;当 ax1x2b 时,X落在区间(x 1,x2)内的概率为Px1Xx2x2x 1;ba- - - - - - -指数分布f x精选学习资料 - - - - - - - - - ex,x0, 0, x0, 其中0,就称随机变量X听从参数为 的指数分布;X的分布函数为Fx1,ex,x0, 0x0 ;记住积分公式:xnexdxn .0名师归纳总结 6 正
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