概率论与数理统计期末考试复习资料15647.pdf
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1、 1 第1章 随机事件及其概率(1)排列组合公式)!(!nmmPnm 从m个人中挑出个人进行排列的可能数。)!(!nmnmCnm 从m个人中挑出个人进行组合的可能数。(2)加法和乘法原理 加法原理(两种方法均能完成此事):m 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m 种方法来完成。()一些常见排列 重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验和随机事件
2、 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事件、样本空间和事件 在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A,B,表示事件,它们是的子集。为必然事件,为不可能事件。不可能事件(
3、)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件()的概率为,而概率为的事件也不一定是必然事件。()事件的关系与运算 关系:如果事件的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件发生):BA 如果同时有BA,AB,则称事件与事件等价,或称A等于B:A=。A、B中至少有一个发生的事件:A,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与的差,记为-B,也可表示为-AB或者BA,它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生:B,或者。A=,则表示A与不可能同时发生,称事件与事件互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。A称为事件A的逆事件,或称的对立事件,记为A。它表示A不
4、发生的事件。互斥未必对立。运算:结合率:A(BC)(AB)C A(BC)=(AB)2 分配率:(A)C(C)(C)(B)C=(AC)(BC)德摩根率:11iiiiAA BABA,BABA(7)概率的公理化定义 设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数(A),若满足下列三个条件:1 0P(A)1,2 P()=1 3 对于两两互不相容的事件1A,2A,有 11)(iiiiAPAP 常称为可列(完全)可加性。则称P()为事件A的概率。(8)古典概型 1 n21,,2 nPPPn1)()()(21。设任一事件A,它是由m21,组成的,则有 P()()()(21m)()()(21mPPP nm
5、基本事件总数所包含的基本事件数A(9)几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。对任一事件,)()()(LALAP。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。(10)加法公式 P(A+)=P(A)+P(B)-(AB)当P(AB)0时,P(A+B)=P(A)+P(B)(1)减法公式 P(-B)P(A)()当BA时,P(A-)P(A)-P(B)当A时,P(B)=1 P()(12)条件概率 定义 设、B是两个事件,且P()0,则称)()(APABP为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为)
6、/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(B)1P(BA)=1-P(A)(13)乘法公式 乘法公式:)/()()(ABPAPABP 更一般地,对事件1,A2,An,若P(A1AAn-1)0,则有 21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。(1)独立性 两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP,则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立,且0)(AP,则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP 若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也
7、都相 3 互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性 设B是三个事件,如果满足两两独立的条件,(AB)=()P(B);P(BC)=(B)(C);P(CA)(C)(A)并且同时满足(BC)=(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。()全概公式 设事件nBBB,21满足 1nBBB,21两两互不相容,),2,1(0)(niBPi,2niiBA1,则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。(16)贝叶斯公式 设事件1B,2B,,nB及A满足 1 1B,2B,,nB两两互不相容,)(BiP0,
8、i1,2,n,2 niiBA1,0)(AP,则 njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(,i=1,n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP,(1i,2,,n),通常叫先验概率。)/(ABPi,(1i,2,,n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。(1)伯努利概型 我们作了n次试验,且满足 每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概
9、率,则A发生的概率为qp 1,用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率,knkknnqpkPC)(,nk,2,1,0。第二章 随机变量及其分布 4()离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k1,,)且取各个值的概率,即事件(Xk)的概率为 P(X=xk)=pk,k=,,则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件:(1)0kp,2,1k,(2)11kkp。(2)连续型随机变量的分布密度 设)(xF是随机变量X的分布函数,若存在非负函数)(xf,对任意实数x,有
10、 xdxxfxF)()(,则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。密度函数具有下面4个性质:0)(xf。2 1)(dxxf。(3)离散与连续型随机变量的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数 设X为随机变量,x是任意实数,则函数)()(xXPxF 称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP 可以得到落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间(,x内的概率。分布函数具有如下性质:1
11、 ,1)(0 xF x;2 )(xF是单调不减的函数,即21xx 时,有)(1xF)(2xF;0)(lim)(xFFx,1)(lim)(xFFx;4 )()0(xFxF,即)(xF是右连续的;)0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量,xxkkpxF)(;对于连续型随机变量,xdxxfxF)()(。()八大分布 01分布(X=1)=,P(X=0)=q 5 二项分布 在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为n,2,1,0。knkknnqpCkPkXP)()(,其中nkppq,2,1,0,10,1,则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布
12、。记为),(pnBX。当1n时,kkqpkXP1)(,1.0k,这就是(01)分布,所以(01)分布是二项分布的特例。泊松分布 设随机变量X的分布律为 ekkXPk!)(,0,2,1,0k,则称随机变量X服从参数为的泊松分布,记为)(X或者()。泊松分布为二项分布的极限分布(p=,n)。超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM 随机变量服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,,M)。几何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk,其中p0,q1-p。随机变量X服从参数为的几何分布,记为G(p)。均匀分布 设随机变量X的值只落在a,b内,其密度函数)(xf
13、在a,b上为常数ab 1,即 ,0,1)(abxf 其他,则称随机变量X在a,上服从均匀分布,记为XU(a,b)。分布函数为 xdxxfxF)()(当ax1b时,X落在区间(21,xx)内的概率为 abxxxXxP1221)(。0,xb。axb 6 指数分布 其中0,则称随机变量服从参数为的指数分布。X的分布函数为 记住积分公式:!0ndxexxn 正态分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(xexf,x,其中、0为常数,则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯(Gaus)分布,记为),(2NX。)(xf具有如下性质:1 )(xf的图形是关于x对称的;2 当x时,21)(f为最大值
14、;若),(2NX,则X的分布函数为 dtexFxt222)(21)(。参数0、1时的正态分布称为标准正态分布,记为)1,0(NX,其密度函数记为 2221)(xex,x,分布函数为 xtdtex2221)(。)(x是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。(-x)=1-(x)且()=21。如果X),(2N,则X)1,0(N。1221)(xxxXxP。)(xf,xe 0 x,0,0 x,)(xF,1xe 0 x,0 x0。7(6)分位数 下分位表:)(XP;上分位表:)(XP。(7)函数分布 离散型 已知X的分布列为 ,)(2121nnipppxxxxXPX,)(XgY 的分布列()(iix
15、gy 互不相等)如下:,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY,若有某些)(ixg相等,则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。连续型 先利用X的概率密度fX()写出的分布函数F(y)=(g()y),再利用变上下限积分的求导公式求出()。第三章 二维随机变量及其分布(1)联合分布 离散型 如果二维随机向量(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(,),则称为离散型随机量。设=(X,)的所有可能取值为),2,1,)(,(jiyxji,且事件=),(jiyx的概率为pj,,称),2,1,(),(),(jipyxYXPijji 为=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分
16、布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示:X y1 y2 yj x1 p p 2 p x2 p21 p22 p j x pi1 ijp 这里p j具有下面两个性质:(1)p j(i,1,2,);(2).1ijijp 8 连续型 对于二维随机向量),(YX,如果存在非负函数),)(,(yxyxf,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|b,cyx1时,有F(2,y)F(x1,y);当y1时,有F(x,y2)F(x,y);(3)F(,y)分别对x和是右连续的,即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF(4).1),(,0),(),(),(FxFyFF(5
17、)对于,2121yyxx 0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF,()离散型与连续型的关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(,(5)边缘分布 离散型 的边缘分布为),2,1,()(jipxXPPijjii;Y的边缘分布为),2,1,()(jipyYPPijijj。连续型 的边缘分布密度为;dyyxfxfX),()(的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY 9(6)条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为;iijijppxXyYP)|(在已知y的条件下,X取值的条件分布为,)|(jijjippyYxXP 连续型 在已知Y=的条
18、件下,的条件分布密度为)(),()|(yfyxfyxfY;在已知Xx的条件下,Y的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX(7)独立性 一般型 F(X,Y)FX(x)F(y)离散型 jiijppp 有零不独立 连续型 f(x,)=f(x)fY(y)直接判断,充要条件:可分离变量 正概率密度区间为矩形 二维正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf 0 随机变量的函数 若X,X2,X,Xm1,Xn相互独立,h,g为连续函数,则:h(X1,X2,Xm)和g(Xm+,Xn)相互独立。特例:若X与独立,则:(X)和g()独立。例如:若X与Y独立,则:3+
19、和5Y-2独立。10(8)二维均匀分布 设随机向量(,Y)的分布密度函数为 其他,0),(1),(DyxSyxfD 其中S为区域D的面积,则称(,Y)服从D上的均匀分布,记为(X,Y)(D)。例如图3.1、图3和图3.3。y 1 D1 x 图31 y O x 图.2 y O a b x 图33 D2 1 D3 11(9)二维正态分布 设随机向量(,Y)的分布密度函数为,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf 其中1|,0,0,21,21是5个参数,则称(X,Y)服从二维正态分布,记为(X,Y)N().,2221,21 由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布
20、的两个边缘分布仍为正态分布,即XN().(),22,2211NY 但是若X()(),22,2211NY,(,Y)未必是二维正态分布。(1)函数分布 Z=X 根据定义计算:)()()(zYXPzZPzFZ 对于连续型,f()=dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布(222121,)。n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。iiiC,iiiC222 Z=max,min(X1,2,n)若nXXX21,相互独立,其分布函数分别为)()()(21xFxFxFnxxx,则=mx,mn(1,2,X)的分布函数为:)()()()(21maxxFxFxFxFnxxx)(1)(1)(1 1
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