初等数论论文.docx
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1、初等数论数学思想对高中数学竞赛的指导学号:班级:姓名:摘要:初等数论是研究数的规律,及整数性质的数学分支,它是数论的一个最古老的分支。在高中数学中引入初等数论,有利于拓展学生的数学视野,有利于提高学生对数学的科学价值,应用价值,文化价值的认识。初等数论中的数学思想对高中数学竞赛也具有很强的指导作用。关键词:初等数论数学竞赛 数学思想应用数论,这门古老而又常新的学科既是典型的纯粹数学,又是日益得到广泛应用的新“应用数学”.在数论中,初等数论是以整除理论为基础,研究整数性质和方程(组)整数解的一门数学学科,是一门古老的数学分支.它展示着近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧.目前,初等数
2、论在计算机科学、代数编码、密码学、组合数学、计算方法等领域内得到了广泛的应用,成为计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础.数论的魅力在于它可以适合小孩到老人,只要有算术基础的人均可以研究数论.初等数论貌似简单,但真正掌握并非易事,它的内容严谨简洁,方法奇巧多变,其中蕴含了丰富的数学思想方法1 转化思想方法转化是一种常用的数学思想方法.转化是指问题之间的相互转化,或者将问题的一种形式转化为另一种形式,或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已解决或熟悉的问题1.通过恰当的化归转化不仅能够顺利地解决原问题,而且有助于培养学生科学的思维习惯.整除是数论中的基本概念,此问题是数论中比较简单的一
3、种类型.有时我们需要判断几个分式的和是一个整数,这样直接求其是整数比较困难,因而常常化为整除问题解决.例 2(第 35 届美国中学数学竞赛题)满足联立方程ac + bc23=ab + bc = 44 的正整数(a, b, c)的组数是()(A)0(B )1(C )2(D)3(E)4解(质因数分解法)由方程 ac + bc = 23 得(a + b)c = 23 = 1 23 .a , b , c 为整数, c = 1且a + b = 23 .将c 和 a = 23 - b 代入方程ab + bc = 44得1(23 - b)b + b = 44 ,即(b - 2)(b - 22 )= 0 ,b
4、2= 2 ,b= 22 .从而得a= 21 ,a2= 1.1故满足联立方程是正整数组(a, b, c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C ).这说明数学问题上的许多问题,都可以转化为整除问题.另外,整除问题也可以转化为其它问题.我们知道同余理论是初等数论的核心,有时整除问题转化为同余问题解决,思路更清晰、自然、计算更简洁.例 3试判断197126 +197227 +197328 能被 3 整除吗?解1971 0(mod 3),1972 1(mod 3),1973 2(mod 3),1971 26 + 1972 27 + 1973 28 026 + 127 + 228 (mo
5、d 3)1971 26 +1972 27 +1973 28 1+ 228 (mod 3)228 = 414 1(mod 3),1 + 228 2(mod 3)197126 +197227 +197328 不能被 3 整除.2 整体化思想方法Euler定理2m 1, (a, m)= 1 ,则af(m) 1(mod m).这是初等数论的一个基本定理,有着广泛的应用.其证明如下:若r1, r ,L, r m 是模m 的一个简化剩余系,则ar , ar ,L, ar m 也是模m 的一个简化剩2f( )12f( )1 2余系,于是r r Lr (ar )(ar)L(ar) af(m)r r Lr(mo
6、d m),即证.f(m)12f(m)1 2f(m)Euler 定理的证明虽然十分简单,但其中包含了初等数论中常用的一个解题方法,即“整体思想”. 整体化思想方法,就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考虑,通过系统对象之间的整体联系或整体特征,寻求原问题的解决途径3.在解题过程中,常常运用这一种思路:以完全剩余系为例,即a , a ,L, am 及1,2 ,L,12nm -1 为模m 的两个完全剩余系,则 ai 恰与1,2 ,L ,m -1 中的某一数同余,于是 aii=1m-1与i 同余,由此找到证明的途径.i=13 配对思想方法配对思想方法,就是将整体对象中的满足某种特性的对象进行
7、组合配对,再利用配对后的特性解决原问题1.定义2欧拉函数j(a)是定义在正整数集上的函数,j(a)等于序列定义2定义20,1,2,L,a -1 中与a 互素的正整数的个数.在模m 的每个互素剩余类Cr (0 r m -1, (r, m)= 1)中任取一数ar ,则所有的数ar (0 r m -1, (r, m)= 1)所组成的集,叫做模m 的一个简化剩余系.在j(m)个与模m 互素的剩余类中各取一个数,称这j(m)个数为模m的简化剩余系.4 矩阵的思想方法初等数论课本上,利用整数初等变换,仅研究了两个整数的最大公约数和最小公倍数的问题,略显不够深入.再此基础上,我们可以通过构造整数矩阵,一矩阵
8、的整数的初等变换为工具,得到了求m (m 2)个整数的最大公约数与最小公倍数的方法5.利用初等变换求整数的最大公约数mn命 题设 (a1 , a2 ,Lan )= d, 则 存 在 可 逆 矩 阵A = aij, 使 得a1 , a2 ,Lan A = d0L0(n 2).证明 (1)当n = 2 时,可设a1 a2 0 ,由辗转相除法知:a1 = q1a1 + r1 , 0 r1 a2a2 = q2 r1 + r2 , 0 r2 r1rm-2 = qm rm-1 + rm , 0 rm rm-1rm-1 = qm+1rm (m 1, rm = d )于是,令 A = 01 01 L01 01
9、1- q 1- q 1- q1- q则a1a2 A = d1 0,命题成立;2 m m+1 (2)假定n = k (k 2)时,命题成立.则当n = k +1 时,由假定知,存在k 阶可逆方阵 Akk , 使得: a2a3Lak +1 Akk = d10L0, 其中 d1 = (a2 , a3 ,Lak +1 ), 从而有aaaLa 101k = ad0L0123k +1 110A k1kk ,则又由(1)知,存在二阶可逆方阵 A22 ,使得a1其中d = (a1 , d1 )= (a1 , a2 ,Lak +1 ),d1 A22 = d0.于是令 A = 101k A2202(k -1)aa
10、La A = d0L00A0E124 k1kk (k -1)2k -1 即当n = k +1 时,命题成立;由归纳法原理知,当n 2 时,命题成立.(证毕)推 论设 a1 , a2 ,L, an , 为不全为 0 的整数,则存在 Z 上的 n 阶可逆矩阵 B,使a1 , a2 ,La B = (d ,0,L0).且d 是a1 , a2 ,L, an 的最大公因数,B 是一些初等矩阵的乘积.B 的求法如下:将(a1 , a2 ,Lan )下面写一个n 阶单位矩阵,构成一个(n +1) n 矩阵,再对a1 1即: A = 0a201LLLan d0 b 110 初等行变换 b210bb22LLL0
11、 b 1n b2n LLLLLLLL 00L1 bn1bn 2Lbnn A 施行初等变换,当 A 的第一行变成(d ,0,L,0)时,则下面的单位阵变化成了 B .12初等数论中蕴含了丰富的数学思想方法,其知识结构和数学思想方法形成一个经纬交织, 融会贯通的知识网络,需要我们去挖掘、揭示.因此在初等数论的教学过程中,应充分利用教材和习题的教育功能,注重展示解决问题的思路、思维过程,体现解决问题策略与方法的多样性,引导沟通知识间的内在联系,突出问题的背景和思想方法的阐述,注重思想方法的总结、提炼,把数学知识和相关数学思想方法有机联系起来,使学生从整体上把握初等数论的理论体系,理解数学思想方法的内
12、涵,开阔思维视野,健全认知结构. 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下:我们用(a1 , a2 ,., an ) 表示整数 a1 , a2 , an 的最大公约数.用 a1 , a2 , an 表示a1 , a2 , an 的最小公倍数.对于实数x ,用 x 表示不超过x 的最大整数,用 x = x - x 表示x 的小数部分.对于整数 a, b ,若m | (a - b) , m 1, 则称 a, b 关于模m 同余,记为 a b(modm) .对于正整数m ,用j(m) 表示1,2, m 中与m 互质的整数的个数,并称j(m) 为欧拉函数.对于正整数m ,若整数 r1 , r
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