初等数论教案.docx
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1、厦门大学教案学年度第学期院(系) 数学科学学院任课教师课程名称授课章节:第 4.3 节一次同余方程组和孙子定理授课教材:初等数论,北京大学出版社授课对象:数学类专业一年级本科生【教学要求】1. 了解孙子定理的历史背景和起源出处,理解用孙子定理求解一次同余方程组的思想方法和公式,掌握求解一次同余方程组的计算步骤;2. 掌握一次同余方程组的模两两不互素时,应当如何转化成模两两互素时的等价一次同余方程组,再用孙子定理求解;3. 理解一次同余方程组的意义,并能用孙子定理的方法解决一些实际应用问题。【教学重点】1. 孙子定理的思想方法和计算步骤;2. 如何应用孙子定理解决实际应用问题。【教学难点】理解孙
2、子定理的思想方法。【教学内容】第三节一次同余方程组和孙子定理本节主要讨论一次同余方程组的解法。为了解决这类同余方程组,我们需要弄清楚剩余系的结构。孙子定理(又称中国剩余定理)就是解决这类实际问题的有力工具。一、“物不知其数”问题及其解法1.1 问题的提出例 1:(“物不知其数”问题)大约在公元四世纪,我国南北朝时期有一部著名的算术著作孙子算经,其中就有一个“物不知其数”问题:“今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?答曰:二十三”。1.2 问题的解法及理由明朝程大位编著的算法统宗里记载了此题的解法,他是用一首歌谣叙述出来的: 三人同行七十稀,五树梅花廿一枝。七子团
3、圆正月半,除百零五便得知。这首诗翻译成数学算式就是: 70 2 + 21 3 +15 2 = 233 , 233 -105 2 = 23 。解题步骤及理由如下:(1)先在 5 和 7 的公倍数中找除以 3 余 1 的数,进而找到除 3 余 2 的数。因为5,7 = 35 ,35 3 = 11(余 2),(35 2) 3 = 23 (余 1),而(70 2) 3 = 46 (余 2), 所以140 符合条件。(2) 在 3 和 7 的公倍数中找除以 5 余 1 的数,进而找到除 5 余 3 的数。因为3,7 = 21 , 21 5 = 4 (余 1), (21 3) 5 = 12 (余 3),所
4、以63 就是符合条件的数。(3) 在 3 和 5 的公倍数中找除以 7 余 1 的数,进而找到除 7 余 2 的数。因为3,5 = 15 ,15 7 = 2 (余 1), (15 2) 7 = 4 (余 2),所以30 就是符合条件的数。(4) 将上面得到的分别符合上面三个条件的三个数相加: 70 2 + 21 3 +15 2 = 233 。因为70 (或 140)是 5 和 7 的倍数,而 3 除余 1(或余 2)的数。21(或 63)是 3 和 7 的倍数, 而 5 除余 1(或余 3)的数。15(或 30)是 3 和 5 的倍数,而 7 除余 1(或余 2)的数。所以233 是除以 3
5、余 2、除以 5 余 3 和除以 7 余 2 的数。又因为3,5,7 = 105 , 233 - 2 105 = 23 也是它的解,而且 23 105 ,所以23 是最小解,其所有解为 x = 105k + 23 ( k = 0,1,2, )。1.3 注释“物不知其数”问题及其解答,是我国古代研究一次同余方程组并取得辉煌成果的经典例证。上面的解法中,总是先求出余 1 的数,再求出余几的数,这种解法逐渐被总结成简洁实用的“求一术”。“物不知其数”又名“鬼谷算”,“秦王暗点兵”,“剪管术”,“隔墙算”,“神奇妙算”,“大衍求一术”等等。方法总结如下:定母m1m 2mk衍母mm mm=1 2k衍数M
6、1 = mmMm 12 = mM2k = mmk乘率M1-1M2-1 Mk-1用数M M11-1M M22-1 Mk Mk-1剩数a1a 2ak各总M M -1a111M M -1a 222M M -1akkk所求率M MaM Ma-1-1111222+ +M M-1kkka所求总所求率被衍母除后的最小正剩余1例 1 中,m= 3 ,m= 5 ,m= 7 均为定母,m =105 为衍母,M1= 35 ,M 2= 21,M 3= 152311123为衍数,乘率 M -1 = 2 ,M -1 = 1,M -1 = 1 分别满足“求一术”中的 M M -1 1(mod 3) ,22331221111
7、M M -1 1(mod 5) , M M -1 1(mod 7) ,用数分别为 M M -1 = 70 , M M -1 = 21 ,33123M M -1 = 15 ,剩数为a = 2 ,a = 3 ,a= 2 ,各总分别为 M M -1a= 140 ,MM -1a2223 63 , MM -1a= 30 ,所求率为 M M -1a + MM -1a+ M M-1a= 233 ,所以33111222333+xM M -1aM111M -1a222M M -1a+333= 70 2 + 21 3 + 15 2 23(mod105) 。二、一次同余方程组和孙子定理2.1 一次同余方程组x a1
8、 (mod m1 )22x a (mod m )我们本节要讨论的是形如x ak (mod mk )的一次同余方程组的解法。前面的“物不知其数问题”,其实就是一次同余方程组(1)x 2(mod 3)x 3(mod 5) 。(2)x 2(mod 7)它的解为 x 23(mod105) 。2.2 孙子定理定理 1:设m1 , m2 , , mk 是两两互素的正整数,那么对于任意整数 a1 , a2 , ak ,一次同余x a1 (mod m1 )x a (mod m )方程组22x ak (mod mk )必定有解,其解为x M M -1a + MM -1a+ + MM -1a(mod m) 。这里
9、m = m m m= m M ,111222kkk1 2kjjjjjM M -1 1(mod m ) ,1 j k 。证明:由于m1 , m2 , , mk 两两互素,所以m = m1 , m2 , mk = m1m2 mk 。若一次同余方程组有解c1 , c2 ,则c1 c2 (mod m) 。因为m1 , m2 , , mk 两两互素, c1 c2 (mod m j ) ,1 j k ,这就证明了同余方程若有解,则其解数为 1。下面证明111x M M -1a + M-1Ma222+ + M-1Makkk(mod m) 确实是同余方程的解。显然jjjjjj(m , M ) = 1 ,根据扩
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