新课改地区2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.7正弦定理余弦定理的应用举例练习新人教B版.doc
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1、4.7 正弦定理、余弦定理的应用举例核心考点精准研析考点一测量距离问题1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC=()A.240(-1) mB.180(-1) mC.120(-1) mD.30(+1) m2.一船以每小时15 km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔的距离为()A.60 kmB.60 km C.30 kmD.30 km3.(2019衡阳模拟)如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单
2、位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且B与D互补,则AC的长为()A.7 kmB.8 kmC.9 kmD.6 km4.如图,海中有一小岛C,一小船从A地出发由西向东航行,望见小岛C在北偏东60,航行8海里到达B处,望见小岛C在北偏东15,若此小船不改变航行的方向继续前行2(-1)海里,则离小岛C的距离为()A.8(+2)海里 B.2(-1)海里C.2(+1)海里D.4(+1)海里【解析】1.选C.记气球在地面的投影为D,在RtABD中,cos 15=,又cos 15=cos (60-45)=,所以AB=.在ABC中,由正弦定理得=,所以BC=AB=120(-1)(m).2.选A
3、.画出图形如图所示,在ABC中,BAC=30,AC=415=60,B=45,由正弦定理得=,所以BC=60,所以船与灯塔的距离为60 km.3.选A.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即AC2=25+64-258cos B=89-80cos B.在ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2ADDCcos D,即AC2=25+9-253cos D=34-30cos D.因为B与D互补,所以cos B=-cos D,所以-=,解得AC=7(km).4.选C.BC=4所以离小岛C的距离为=2(+1)(海里).距离问题的常见类型及解法1.类型:测量距离问题常分
4、为三种类型:山两侧、河两岸、河对岸.2.解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.【秒杀绝招】直角三角形解T1,记气球在地面的投影为D,在RtACD中,tan 60=,所以CD=60,在RtABD中,因为tan 15=,tan 15=tan(60-45)=2-,所以BD=120-60,所以BC=CD-BD=120(-1)(m).考点二测量高度问题【典例】1.一架直升飞机在200 m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60,则塔高为()A. mB. mC. mD. m2.如图,在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔
5、AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为_;塔BB1的高为_m.【解题导思】序号联想解题1由“测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60”,想到作图,建立数学模型2由“60 m”“从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍”“从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角”,想到A1ACCBB1【解析】1.选A.如图所示.在RtACD中,CD=BE,在ABE中,由正弦定理得=,所以AB=,DE=BC=
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