常微分方程作业.doc
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1、单选题第1题 (2) 分 设有四个常微分方程:(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A、非线性方程有一个;B、非线性方程有两个;C、非线性方程有三个;D、非线性方程有四个.第2题 (2) 分 是某个初值问题的唯一解,其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. , B. ,C. ,D. .A、.B、.C、.D、.第3题 (2) 分 是某个初值问题的唯一解,其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. , B. ,C. ,D. .A、AB、BC、CD、D第4题 (2) 分 设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中; C.
2、 存在某个常数方阵C使得, 其中;D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.A、.B、.C、.D、.第5题 (2) 分 设有四个常微分方程:(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A、线性方程有一个;B、线性方程有两个;C、线性方程有三个;D、线性方程有四个.第6题 (2) 分 微分方程 是( ).A、n阶变系数非齐次线性常微分方程; B、n阶变系数齐次线性常微分方程; C、n阶常系数非齐次线性常微分方程;D、n阶常系数齐次线性常微分方程.第7题 (2) 分 微分方程的一个解是( ). A. , B. , C. , D. . A、.B、.C、.D、.第8题 (2) 分 设是n 阶齐次线
3、性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定是正的; B. 的朗斯基行列式一定是负的; C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式恒不为零.A、AB、BC、CD、D第9题 (2) 分 满足初始条件和方程组的解为( ). A. ; B. ; C. ; D. .A、.B、.C、.D、.第10题 (2) 分 已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ). A. ; B. ; C. ; D. . A、AB、BC、CD、D第11题 (2) 分 初值问题, 的第二次近似解可以写为( ). A. 6; B. ; C. ; D. +.A、.B、.C
4、、.D、.第12题 (2) 分 下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个. (i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A、1B、2C、3D、4第13题 (2) 分 可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A. ; B. ; C. ; D. .A、.B、.C、.D、.第14题 (2) 分 可将六阶方程 化为二阶方程的变换是( ). A.; B. ; C.; D.A、.B、.C、.D、.第15题 (2) 分 设,及是连续函数,和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B. C. D. A、.B、.C、.D、.多选题第16题 (5) 分
5、 以下利用参数法求解一阶隐方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是不能省略的: 解答:引入参数(A),则原方程可以写为, 将此方程两边对x求导 (B), 可得: , 或(C). 这是一个关于p和x的方程, 且是未知函数p的导数可以解出的一阶常微分方程, 进而还是变量分离型方程. 因此我们将这个方程分离变量: .(D) 两边积分并求出积分可以得到(C是任意常数): , 因此, 将此式和参数的表达式联立, 即得原方程的参数形式解: (E).A、.B、.C、.D、.E、.第17题 (5) 分 以下是一阶微分方程的求解过程, 请说明下划线所指出那些步骤中, 哪些是可以省略的: 解答:记, 则
6、(A), 注意到(B),因此方程不是恰当方程(C). 可以计算, 因而方程有只与 x 有关的积分因子,并且该积分因子可以求出为:. 将该积分因子乘在原方程的两端:(D), 分项组合为, 或可整理为(E), 最后得到原方程的通解. A、AB、BC、CD、DE、E第18题 (5) 分 如下求解三阶常系数线性方程的过程中, 下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误: 解答:(i) 先求对应齐方程的通解:对应齐方程的特征方程及特征根分别为(A), , , .故对应齐方程的通解为(B).(ii) 因为有特征根非零(C), 故应设原方程的特解有形如, 这里a,b是待定常数. 代入原方程可得. 利用对应
7、系数相等便得到代数方程组: .由此可解得(D), 故.(iii) 原方程的通解可以表示为(E).A、.B、.C、.D、.E、.第19题 (5) 分 求解方程时, 以下的解题步骤中不能省略的有哪几步: A. 因为, B. 所以原方程是恰当方程; C. 将方程中的重新分项组合, D. 凑出全微分:, E. 得到通解:. A、AB、BC、CD、DE、E第20题 (5) 分 利用降阶法求解二阶方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是关键性的: 解答:这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以用第二种降阶法。令(A), 则. 代入到原方程中可将原方程化为如下的一阶方程:(B).这是一个变量分离型的
8、方程. 如果, 可得是原方程的解, 故不妨假设(C), 因此可以约掉一个z, 分离变量后有: ,两边积分可得: , 又由, 代入上述方程, 再次分离变量(D),在等式两边积分可得原方程的通解(E): . A、.B、.C、.D、.E、.第21题 (5) 分 以下各个步骤中的哪些能够证明方程的任何两个解之差当 x 趋向于正无穷大时趋向于零: A. 原方程的任何两个解的差是对应齐次方程的解, B. 对应齐次方程的特征根是, C. 对应齐次方程的基本解组是, D. =0, =0, E. 原方程的任何两个解的差 当 x 趋向于正无穷大时趋向于零. A、.B、.C、.D、.E、.第22题 (5) 分 设为
9、方程( A 为常数矩阵)的一个基解矩阵,试指出如下的断言中哪些是错误的: A. 可以是也可以不是原方程组的解矩阵, B. 因为不知道是否有, 故无法判断是否是原方程组的基解矩阵,C. 存在奇异的常数矩阵C, 使得, D. 取, 可得到. E. . A、.B、.C、.D、.E、.第23题 (5) 分 请查出求解一阶线性微分方程的过程中有错误的步骤: A. 先求解对应齐方程:,分离变量可得, B. 两边积分求出积分可以得到(C是任意常数):, C. 再将常数C 变易为函数:. D. 代入到原方程中可以得到:, E. 原方程的通解(C 是任意常数):. A、AB、BC、CD、DE、E第24题 (5)
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