2022届高三数学一轮复习(原卷版)课后限时集训58 圆锥曲线中的证明与存在性问题 作业.doc
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1、圆锥曲线中的证明与存在性问题建议用时:45分钟1(2018·全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C:1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0)(1)证明:k;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且0.证明:2|.证明(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则1,1.两式相减,并由k得·k0.由题设知1,m,于是k.由题设得0m,故k.(2)由题意得F(1,0)设P(x3,y3),则(x31,y3)(x11,y1)(x21,y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1,y3(y1y2)2m0.又点P在C上,所以m,从而P,|.于是|2.同理|2.所以|
2、4(x1x2)3.故2|.2(2019·福州模拟)设抛物线E:y22px(p>0)的焦点为F,直线xp与E交于A,B两点,ABF的面积为8.(1)求E的方程;(2)若M,N是E上的两个动点,|MF|NF|8,试问:是否存在定点S,使得|SM|SN|?若存在,求出S的坐标;若不存在,请说明理由解(1)依题意得F.由得y±p,不妨设A(p,p),B(p,p),则|AB|2p .又F到直线AB的距离为,所以SABF×2p×p2.依题意得,p28,解得p4,所以E的方程为y28x.(2)法一:设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为C(x0,y0
3、),则x0,y0.由抛物线的定义,得|MF|NF|x12x22,因为|MF|NF|8,所以x1x24,所以x02.当x1x2时,y1y20,kMN,线段MN的垂直平分线为yy0(x2),即y(x6),所以线段MN的垂直平分线恒过定点S(6,0);当x1x2时,线段MN的垂直平分线为x轴,它也过点S(6,0)综上,存在定点S(6,0),使得|SM|SN|.法二:假设存在定点S,使得对E上满足条件的动点M,N恒有|SM|SN|,由对称性可知,点S必在x轴上,故可设S(t,0),M(x1,y1),N(x2,y2)由抛物线的定义,得|MF|NF|x12x22,因为|MF|NF|8,所以x1x24,由|
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