专题05 平面解析几何-2021年高考真题和模拟题数学(文)分项汇编(全国通用)(解析版).doc
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1、专题05 平面解析几何1(2021·全国高考真题(文)设B是椭圆的上顶点,点P在C上,则的最大值为( )ABCD2【答案】A【分析】设点,由依题意可知,再根据两点间的距离公式得到,然后消元,即可利用二次函数的性质求出最大值【详解】设点,因为,所以,而,所以当时,的最大值为故选:A【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质,由两点间的距离公式,并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点,或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大,这些认识是错误的,要注意将距离的平方表示为二次函数后,自变量的取值范围是一个闭区间,而不是全体实
2、数上求最值.2(2021·全国高考真题)抛物线的焦点到直线的距离为,则( )A1B2CD4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标,然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,其到直线的距离:,解得:(舍去).故选:B.3(2021·北京高考真题)双曲线过点,且离心率为,则该双曲线的标准方程为( )ABCD【答案】A【分析】分析可得,再将点代入双曲线的方程,求出的值,即可得出双曲线的标准方程.【详解】,则,则双曲线的方程为,将点的坐标代入双曲线的方程可得,解得,故,因此,双曲线的方程为.故选:A.4(2021·北京高考真题)已知圆,直线,当变化
3、时,截得圆弦长的最小值为2,则( )ABCD【答案】C【分析】先求得圆心到直线距离,即可表示出弦长,根据弦长最小值得出【详解】由题可得圆心为,半径为2,则圆心到直线的距离,则弦长为,则当时,弦长取得最小值为,解得.故选:C.5(2021·全国高考真题)已知,是椭圆:的两个焦点,点在上,则的最大值为( )A13B12C9D6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到,借助基本不等式即可得到答案【详解】由题,则,所以(当且仅当时,等号成立)故选:C【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题,常常从椭圆的定义入手,注意基本不等式得灵活运用,或者记住定理:两正数,和一定相等时及最大,积一定,
4、相等时和最小,也可快速求解.6(2021·全国高考真题(文)点到双曲线的一条渐近线的距离为( )ABCD【答案】A【分析】首先确定渐近线方程,然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知,双曲线的渐近线方程为:,即,结合对称性,不妨考虑点到直线的距离:.故选:A.7(2021·天津高考真题)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C、D两点,若则双曲线的离心率为( )ABC2D3【答案】A【分析】设公共焦点为,进而可得准线为,代入双曲线及渐近线方程,结合线段长度比值可得,再由双曲线离心率公式即可得
5、解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为,则抛物线的准线为,令,则,解得,所以,又因为双曲线的渐近线方程为,所以,所以,即,所以,所以双曲线的离心率.故选:A.8(2021·全国高三其他模拟(文)已知双曲线的左右焦点分别为,点,则的平分线的方程为( )ABCD【答案】A【分析】先依题意判断,设的平分线交x轴于M,设,计算,求得,即得角平分线所在直线的斜率,再根据点斜式写直线方程即可.【详解】如图,依题意知,而 点在双曲线上,故,.设的平分线交x轴于M,设,则,有,即,化简解得,故的平分线所在直线的斜率,所以的平分线的方程为,即.故选:A.9(2021·全国高考真题)已知直线
6、与圆,点,则下列说法正确的是( )A若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D若点A在直线l上,则直线l与圆C相切【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系,结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心到直线l的距离,若点在圆C上,则,所以,则直线l与圆C相切,故A正确;若点在圆C内,则,所以,则直线l与圆C相离,故B正确;若点在圆C外,则,所以,则直线l与圆C相交,故C错误;若点在直线l上,则即,所以,直线l与圆C相切,故D正确.故选:ABD.10(2021·全国高考真题)已知点
7、在圆上,点、,则( )A点到直线的距离小于B点到直线的距离大于C当最小时,D当最大时,【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线的距离,可得出点到直线的距离的取值范围,可判断AB选项的正误;分析可知,当最大或最小时,与圆相切,利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆的圆心为,半径为,直线的方程为,即,圆心到直线的距离为,所以,点到直线的距离的最小值为,最大值为,A选项正确,B选项错误;如下图所示:当最大或最小时,与圆相切,连接、,可知,由勾股定理可得,CD选项正确.故选:ACD.【点睛】结论点睛:若直线与半径为的圆相离,圆心到直线的距离为,则圆上一点到直线的距离的取值范围是.11(2021
8、183;天津高考真题)若斜率为的直线与轴交于点,与圆相切于点,则_【答案】【分析】设直线的方程为,则点,利用直线与圆相切求出的值,求出,利用勾股定理可求得.【详解】设直线的方程为,则点,由于直线与圆相切,且圆心为,半径为,则,解得或,所以,因为,故.故答案为:.12(2021·全国高考真题)已知函数,函数的图象在点和点的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则取值范围是_【答案】【分析】结合导数的几何意义可得,结合直线方程及两点间距离公式可得,化简即可得解.【详解】由题意,则,所以点和点,,所以,所以,所以,同理,所以.故答案为:【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是利用导数的几
9、何意义转化条件,消去一个变量后,运算即可得解.13(2021·北京高考真题)已知抛物线,焦点为,点为抛物线上的点,且,则的横坐标是_;作轴于,则_【答案】5 【分析】根据焦半径公式可求的横坐标,求出纵坐标后可求.【详解】因为抛物线的方程为,故且.因为,解得,故,所以,故答案为:5,.14(2021·全国高考真题)已知为坐标原点,抛物线:()的焦点为,为上一点,与轴垂直,为轴上一点,且,若,则的准线方程为_.【答案】【分析】先用坐标表示,再根据向量垂直坐标表示列方程,解得,即得结果.【详解】抛物线: ()的焦点,P为上一点,与轴垂直,所以P的横坐标为,代入抛物线方程求得P的纵
10、坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点,且,所以Q在F的右侧,又,因为,所以,,所以的准线方程为故答案为:.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15(2021·全国高考真题(文)已知为椭圆C:的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为_【答案】【分析】根据已知可得,设,利用勾股定理结合,求出,四边形面积等于,即可求解.【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点,且,所以四边形为矩形,设,则,所以, ,即四边形面积等于.故答案为:.16(2021·全国高考真题(文)双曲线的右焦点到直线的距离为_【答案】【分析】先求出右焦点坐标,再利用点到直线的距离公
11、式求解.【详解】由已知,所以双曲线的右焦点为,所以右焦点到直线的距离为.故答案为:17(2021·全国高考真题)已知双曲线的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为_【答案】【分析】由双曲线离心率公式可得,再由渐近线方程即可得解.【详解】因为双曲线的离心率为2,所以,所以,所以该双曲线的渐近线方程为.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解,考查了运算求解能力,属于基础题.18(2021·浙江高考真题)已知椭圆,焦点,若过的直线和圆相切,与椭圆在第一象限交于点P,且轴,则该直线的斜率是_,椭圆的离心率是_.【答案】 【分析】不妨假设,根据图形可知,再根据同
12、角三角函数基本关系即可求出;再根据椭圆的定义求出,即可求得离心率【详解】如图所示:不妨假设,设切点为,所以, 由,所以,于是,即,所以故答案为:;19(2021·天津高考真题)已知椭圆的右焦点为,上顶点为,离心率为,且(1)求椭圆的方程;(2)直线与椭圆有唯一的公共点,与轴的正半轴交于点,过与垂直的直线交轴于点若,求直线的方程【答案】(1);(2).【分析】(1)求出的值,结合的值可得出的值,进而可得出椭圆的方程;(2)设点,分析出直线的方程为,求出点的坐标,根据可得出,求出、的值,即可得出直线的方程.【详解】(1)易知点、,故,因为椭圆的离心率为,故,因此,椭圆的方程为;(2)设点
13、为椭圆上一点,先证明直线的方程为,联立,消去并整理得,因此,椭圆在点处的切线方程为.在直线的方程中,令,可得,由题意可知,即点,直线的斜率为,所以,直线的方程为,在直线的方程中,令,可得,即点,因为,则,即,整理可得,所以,因为,故,所以,直线的方程为,即.【点睛】结论点睛:在利用椭圆的切线方程时,一般利用以下方法进行直线:(1)设切线方程为与椭圆方程联立,由进行求解;(2)椭圆在其上一点的切线方程为,再应用此方程时,首先应证明直线与椭圆相切.20(2021·全国高考真题)已知椭圆C的方程为,右焦点为,且离心率为(1)求椭圆C的方程;(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线与曲线相切证明
14、:M,N,F三点共线的充要条件是【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)由离心率公式可得,进而可得,即可得解;(2)必要性:由三点共线及直线与圆相切可得直线方程,联立直线与椭圆方程可证;充分性:设直线,由直线与圆相切得,联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得,进而可得,即可得解.【详解】(1)由题意,椭圆半焦距且,所以,又,所以椭圆方程为;(2)由(1)得,曲线为,当直线的斜率不存在时,直线,不合题意;当直线的斜率存在时,设,必要性:若M,N,F三点共线,可设直线即,由直线与曲线相切可得,解得,联立可得,所以,所以,所以必要性成立;充分性:设直线即,由直线与曲线相切可得,所以,联立可得,所
15、以,所以,化简得,所以,所以或,所以直线或,所以直线过点,M,N,F三点共线,充分性成立;所以M,N,F三点共线的充要条件是【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用,注意运算的准确性是解题的重中之重.21(2021·北京高考真题)已知椭圆过点,以四个顶点围成的四边形面积为(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交y=-3于点M、N,直线AC交y=-3于点N,若|PM|+|PN|15,求k的取值范围【答案】(1);(2)【分析】(1)根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,
16、从而可求椭圆的标准方程.(2)设,求出直线的方程后可得的横坐标,从而可得,联立直线的方程和椭圆的方程,结合韦达定理化简,从而可求的范围,注意判别式的要求.【详解】(1)因为椭圆过,故,因为四个顶点围成的四边形的面积为,故,即,故椭圆的标准方程为:.(2)设,因为直线的斜率存在,故,故直线,令,则,同理.直线,由可得,故,解得或.又,故,所以又故即,综上,或.22(2021·全国高考真题)在平面直角坐标系中,已知点、,点的轨迹为.(1)求的方程;(2)设点在直线上,过的两条直线分别交于、两点和,两点,且,求直线的斜率与直线的斜率之和.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用双曲线的定
17、义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支,求出、的值,即可得出轨迹的方程;(2)设点,设直线的方程为,设点、,联立直线与曲线的方程,列出韦达定理,求出的表达式,设直线的斜率为,同理可得出的表达式,由化简可得的值.【详解】因为,所以,轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支,设轨迹的方程为,则,可得,所以,轨迹的方程为;(2)设点,若过点的直线的斜率不存在,此时该直线与曲线无公共点,不妨直线的方程为,即,联立,消去并整理可得,设点、,则且.由韦达定理可得,所以,设直线的斜率为,同理可得,因为,即,整理可得,即,显然,故.因此,直线与直线的斜率之和为.【点睛】方法点睛:求定值问题常见的方法有两种:
18、(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值23(2021·全国高考真题(文)已知抛物线的焦点F到准线的距离为2(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足,求直线斜率的最大值.【答案】(1);(2)最大值为.【分析】(1)由抛物线焦点与准线的距离即可得解;(2)设,由平面向量的知识可得,进而可得,再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】(1)抛物线的焦点,准线方程为,由题意,该抛物线焦点到准线的距离为,所以该抛物线的方程为;(2)设,则,所以,由在抛物线上可得,即,所以直线的斜率,当时,;当
19、时,当时,因为,此时,当且仅当,即时,等号成立;当时,;综上,直线的斜率的最大值为.【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点坐标的关系,在求斜率的最值时要注意对取值范围的讨论.24(2021·全国高考真题(文)抛物线C的顶点为坐标原点O焦点在x轴上,直线l:交C于P,Q两点,且已知点,且与l相切(1)求C,的方程;(2)设是C上的三个点,直线,均与相切判断直线与的位置关系,并说明理由【答案】(1)抛物线,方程为;(2)相切,理由见解析【分析】(1)根据已知抛物线与相交,可得出抛物线开口向右,设出标准方程,再利用对称性设出坐标,由,即可求出;由圆与直线相切,求出半径
20、,即可得出结论;(2)先考虑斜率不存在,根据对称性,即可得出结论;若斜率存在,由三点在抛物线上,将直线斜率分别用纵坐标表示,再由与圆相切,得出与的关系,最后求出点到直线的距离,即可得出结论.【详解】(1)依题意设抛物线,所以抛物线的方程为,与相切,所以半径为,所以的方程为;(2)设若斜率不存在,则方程为或,若方程为,根据对称性不妨设,则过与圆相切的另一条直线方程为,此时该直线与抛物线只有一个交点,即不存在,不合题意;若方程为,根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为,又,此时直线关于轴对称,所以直线与圆相切;若直线斜率均存在,则,所以直线方程为,整理得,同理直线的方程为,直线的方程为,与圆相切,整
21、理得,与圆相切,同理所以为方程的两根,到直线的距离为:,所以直线与圆相切;综上若直线与圆相切,则直线与圆相切.【点睛】关键点点睛:(1)过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标(或横坐标)表示,将问题转化为只与纵坐标(或横坐标)有关;(2)要充分利用的对称性,抽象出与关系,把的关系转化为用表示.25(2021·浙江高考真题)如图,已知F是抛物线的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点,且,(1)求抛物线的方程;(2)设过点F的直线交抛物线与AB两点,斜率为2的直线l与直线,x轴依次交于点P,Q,R,N,且,求直线l在x轴上截距的范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)求出的值后可求抛物
22、线的方程.(2)设,联立直线的方程和抛物线的方程后可得,求出直线的方程,联立各直线方程可求出,根据题设条件可得,从而可求的范围.【详解】(1)因为,故,故抛物线的方程为:.(2)设,所以直线,由题设可得且.由可得,故,因为,故,故.又,由可得,同理,由可得,所以,整理得到,故,令,则且,故,故即,解得或或.故直线在轴上的截距的范围为或或.【点睛】方法点睛:直线与抛物线中的位置关系中的最值问题,往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式,从而便于代数量的计算,对于构建出的函数关系式,注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.1(2021·贵州省瓮安中学高三其他模拟
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