2022届高三数学一轮复习(原卷版)第7讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布.doc
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1、 第 7 讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 一、知识梳理 1离散型随机变量的均值与方差 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn (1)均值 称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平 (2)方差 称 D(X)i1n (xiE(X)2pi为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度,并称其算术平方根 D(X)为随机变量 X 的标准差 2均值与方差的性质 (1)E(aXb)aE(X)b (2)D(aXb)a2D(X)(a,b 为常
2、数) 3两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量 X 服从两点分布,则 E(X)p,D(X)p(1p) (2)若 XB(n,p),则 E(X)np,D(X)np(1p) 4正态曲线的特点 (1)曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交 (2)曲线是单峰的,它关于直线 x 对称 (3)曲线在 x 处达到峰值1 2 . (4)曲线与 x 轴之间的面积为 1 (5)当 一定时,曲线的位置由 确定,曲线随着 的变化而沿 x 轴平移 (6)当 一定时,曲线的形状由 确定 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中; 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散 常用结论 均值与方差的七个常用性质 若
3、 YaXb,其中 a,b 是常数,X 是随机变量,则 (1)E(k)k,D(k)0,其中 k 为常数 (2)E(aXb)aE(X)b,D(aXb)a2D(X) (3)E(X1X2)E(X1)E(X2) (4)D(X)E(X2)(E(X)2. (5)若 X1,X2相互独立,则 E(X1X2)E(X1) E(X2) (6)若 X 服从两点分布,则 E(X)p,D(X)p(1p) (7)若 X 服从二项分布,即 XB(n,p),则 E(X)np,D(X)np(1p) 二、教材衍化 1已知 X 的分布列为 X 1 0 1 P 12 13 16 设 Y2X3,则 E(Y)_ 解析:E(X)121613,
4、 E(Y)E(2X3)2E(X)323373. 答案:73 2甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量 X,Y,其分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是_ 解析:E(X)00.410.320.230.11.E(Y)00.310.520.20.9, 因为 E(Y)E(X)所以乙技术好 答案:乙 3已知随机变量 X 服从正态分布 XN(3,1),且 P(X2c1)P(Xc3),则 c_ 解析:因为 XN(3,1),所以正态曲线关于 x3 对称, 且 P(X2
5、c1)P(Xc3), 所以 2c1c332,所以 c43. 答案:43 一、思考辨析 判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)随机变量的均值是常数,样本的平均数是随机变量,它不确定( ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量的平均程度越小( ) (3)正态分布中的参数 和 完全确定了正态分布,参数 是正态分布的均值, 是正态分布的标准差( ) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布( ) (5)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关( ) 答案:(1) (2) (3
6、) (4) (5) 二、易错纠偏 常见误区| (1)期望、方差的性质不熟导致错误; (2)二项分布的数学期望公式用法不当; (3)求错分布列,导致 E()出错 1 已知两个随机变量 X, Y 满足 X2Y4, 且 XN(1, 22), 则 E(Y), D(Y)依次是_ 解析:由 XN(1,22)得 E(X)1,D(X)4.又 X2Y4,所以 Y2X2,所以 E(Y)212E(X)32,D(Y)14D(X)1. 答案:32,1 2在一次招聘中,主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题,并独立完成所抽取的 3 道题乙能正确完成每道题的概率为23,且每道题完成与否互不影响记乙能答对
7、的题数为 Y,则 Y 的数学期望为_ 解析:由题意知 Y 的可能取值为 0,1,2,3,且 YB3,23,则 E(Y)3232. 答案:2 3一个人将编号为 1,2,3,4 的四个小球随机放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子,每个盒子放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时就放对了,否则就放错了设放对个数记为 ,则 的期望值为_ 解析:将四个不同小球放入四个不同盒子,每个盒子放一个小球,共有 A44种不同放法, 放对的个数 可取的值有 0,1,2,4,其中 P(0)9A4438, P(1)C142A4413,P(2)C24A4414,P(4)1A44124,E()03811321441241.
8、 答案:1 考点一 均值与方差的计算(基础型) 复习指导| 理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念 核心素养:数学运算 1已知某离散型随机变量 X 服从的分布列如表,则随机变量 X 的方差 D(X)等于( ) X 0 1 P m 2m A19 B29 C13 D23 解析:选 B法一:由 m2m1 得 m13, 所以 E(X)01312323, D(X)02321312322329. 法二:由 m2m1 得 m13, 根据两点分布的期望和方差公式可得 E(X)23,D(X)2312329. 2有 10 张卡片,其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5,从中任意抽出 3 张卡片,设 3
9、张卡片上的数字之和为 X,则 X 的数学期望是( ) A7.8 B8 C16 D15.6 解析:选 AX 的取值为 6,9,12,相应的概率 P(X6)C38C310715,P(X9)C28C12C310715, P(X12)C18C22C310115. E(X)67159715121157.8. 3某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给 A 组的某个同学, 这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学 若小组内同学甲猜对成语的概率是 0.4,同学乙猜对成语的概率是 0.5,且规定猜对得 1 分,猜不对得 0 分,这两个同学各猜 1 次,则他们的得分之和 X 的
10、数学期望为( ) A0.9 B0.8 C1.2 D1.1 解析:选 A由题意,X0,1,2,则 P(X0)0.60.50.3,P(X1)0.40.50.60.50.5,P(X2)0.40.50.2, 所以 E(X)00.310.520.20.9. 求均值与方差的方法技巧 技巧 方法 适用题型 巧用特殊分布列 利用相应公式直接求解 两点分布、二项分布 巧借性质 利用 E(aXb)aE(X)b D(aXb)a2D(X) 两随机变量有明确的线性关系 利用公式 D(X)E(X2)E(X)2 计算复杂的方差 考点二 二项分布的均值与方差(应用型) 复习指导| 能计算二项分布的均值与方差 核心素养:数学建
11、模 雾霾天气对人体健康有伤害,应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM 2.5,要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措,聚焦重点领域,严格考核指标某省环保部门为加强环境执法监管,派遣四个不同的专家组对 A、B、C 三个城市进行治霾落实情况抽查 (1)若每个专家组随机选取一个城市,四个专家组选取的城市可以相同,也可以不同,求恰有一个城市没有专家组选取的概率; (2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价,并对所选取的城市进行评价,每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12,若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检,否则需进行复检设需进行
12、复检的城市的个数为 X,求 X 的分布列和期望 【解】 (1)随机选取,共有 3481 种不同方法, 恰有一个城市没有专家组选取的有 C13(C14A22C24)42 种不同方法, 故恰有一个城市没有专家组选取的概率为42811427. (2)设事件 A:“一个城市需复检”,则 P(A)11241516,X 的所有可能取值为 0,1, 2,3, P(X0)C03116314 096, P(X1)C13116215161454 096, P(X2)C231161151626754 096,P(X3)C33151633 3754 096. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 14 096
13、 454 096 6754 096 3 3754 096 XB3,1516,E(X)315164516. (1)求离散型随机变量 的均值与方差的步骤 理解 的意义,写出 可能的全部取值; 求 取每个值的概率; 写出 的分布列; 由均值的定义求 E(); 由方差的定义求 D() (2)二项分布的期望与方差 如果 B(n,p),则用公式 E()np;D()np(1p)求解,可大大减少计算量 提醒 均值 E(X)由 X 的分布列唯一确定,即 X 作为随机变量是可变的,而 E(X)是不变的,它描述 X 取值的平均水平 电子商务在我国发展迅猛,网上购物成为很多人的选择某购物网站组织了一次促销活动,在网页
14、的界面上打出广告:高级口香糖,10 元钱三瓶,有 8 种口味供您选择(其中有 1 种为草莓口味)小王点击进入网页一看,只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起,看不见具体口味,由购买者随机点击进行选择(各种口味的高级口香糖均超过三瓶,且各种口味的瓶数相同,每点击选择一瓶后,网页自动补充相应的口香糖) (1)小王花 10 元钱买三瓶,请问小王收到货的组合方式共有多少种? (2)小王花 10 元钱买三瓶,由小王随机点击三瓶,请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的瓶数 的分布列,并计算其数学期望和方差 解:(1)若三瓶口味均不一样,有 C3856(种); 若其中两瓶口味一样,有 C18C1756(种);
15、 若三瓶口味一样,有 8 种 故小王收到货的组合方式共有 56568120(种) (2) 所有可能的取值为 0,1,2,3. 因为各种口味的高级口香糖均超过 3 瓶,且各种口味的瓶数相同,有 8 种不同口味,所 以小王随机点击一次是草莓味口香糖的概率为18, 即随机变量 服从二项分布,即 B3,18. P(0)C031801183343512, P(1)C131811182147512, P(2)C23182118121512, P(3)C3318311801512. 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 343512 147512 21512 1512 数学期望 E()np31838, 方差
16、 D()np(1p)318782164. 考点三 均值与方差的实际应用(应用型) 复习指导| 能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题 核心素养:数学建模 某种产品的质量以其质量指标值衡量,并按照质量指标值划分等级如下: 质量指标值 m m85 85m105 m105 等级 三等品 二等品 一等品 现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了 200 件作为样本, 检验其质量指标值, 得到了如下频率分布直方图 现给出三个条件: y0.02. 质量指标值不超过 95 的有 65 件 质量指标值的中位数是6056. 从中选一个填入下面的横线上,并回答问题若_ (1)在样品中,按照产品等
17、级用分层抽样的方法抽取 8 件,再从这 8 件产品中任取 4 件,求 4 件产品中三等品、二等品、一等品都有的概率; (2)若将频率视为概率,已知该企业每销售一件此产品中的一等品的利润为 10 元,销售一件二等品和三等品的利润都是 6 元, 那么销售 600 件此种产品, 所获利润的期望值是多少元? 【解】 若选y0.02.则有(0.002 50.0090.010.020.0260.002 5x)101,解得 x0.03. (1)由频率分布直方图可知,样品中三等品、二等品、一等品的频率分别为(0.002 50.01)100.125,(0.020.03)100.5,(0.0260.0090.00
18、2 5)100.375, 所以样品中三等品、二等品、一等品的件数分别为 25,100,75.若按照产品等级用分层抽样的方法抽取 8 件产品,那么应抽取的三等品、二等品、一等品的件数分别为 1,4,3. 从这 8 件产品中任取 4 件,共有 C48种等可能的取法,其中三等品、二等品、一等品都有的取法有 C11(C14C23C24C13)种 故 4 件产品中三等品、二等品、一等品都有的概率 PC11(C14C23C24C13)C4837. (2)由(1)知,从该企业此产品中任取一件,其中是一等品的概率为 0.375,是二等品或三等品的概率为 0.625. 设从此产品中任取一件并销售所得的利润为 ,
19、则 的分布列为 10 6 P 0.375 0.625 因此 E()100.37560.6257.5(元) 故销售 600 件此种产品,所获利润的期望值为 600E()6007.54 500(元) 若选, 质量指标值不超过 95 的有 65 件则有(0.002 50.01y)1020065. 解得 y0.02.下与选相同 若选,质量指标值的中位数是6056,则1056056x(0.0260.0090.002 5)100.5.解得 x0.03.下与选相同 均值与方差的实际应用 (1)D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说 明 X 的取值越分散;反
20、之,D(X)越小,X 的取值越集中在 E(X)附近,统计中常用 D(X)来描述 X 的分散程度 (2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量, 是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定 (2020 湖北武汉模拟)某保险公司对一个拥有 20 000 人的企业推出一款意外险产品,每年每位职工只要交少量保费,发生意外后可一次性获得若干赔偿金,保险公司把企业的所有岗位共分为 A, B, C 三类工种, 从事这三类工种的人数分别为 12 000, 6 000,2 000,由历史数据
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