2022届高三数学一轮复习(原卷版)第7节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 教案.doc
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1、1 第七节第七节 离散型随机变量的均值与方离散型随机变量的均值与方差、正态分布差、正态分布 最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 1离散型随机变量的分布列、均值与方差 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn (1)均值:称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平 (2)方差:称 D(
2、X)ni1xiE(X)2pi为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量X 与其均值 E(X)的平均偏离程度,其算术平方根 D(X)为随机变量 X 的标准差 2均值与方差的性质 (1)E(aXb)aE(X)b (2)D(aXb)a2D(X)(a,b 为常数) 3两点分布与二项分布的均值、方差 均值 方差 变量 X 服从两点分布 E(X)p D(X)p(1p) XB(n,p) E(X)np D(X)np(1p) 4.正态分布 (1)正态曲线的特点: 曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; 2 曲线是单峰的,它关于直线 x 对称; 曲线在 x 处达到峰值1 2; 曲线与 x 轴之间的面积为 1; 当
3、 一定时,曲线的位置由 确定,曲线随着 的变化而沿 x 轴平移; 当 一定时,曲线的形状由 确定, 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中; 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散 (2)正态分布的三个常用数据 P(X)0.682_6; P(2X2)0.954_4; P(3X3)0.997_4 常用结论 1均值与方差的关系:D(X)E(X2)E2(X) 2超几何分布的均值:若 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布,则 E(X)nMN. 一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”) (1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的( ) (2)若 XN(,2),则 ,2分别表示正
4、态分布的均值和方差( ) (3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量( ) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材改编 1已知 X 的分布列为 X 1 0 1 P 12 13 a 设 Y2X3,则 E(Y)的值为( ) 3 A.73 B4 C1 D1 A 由概率分布列的性质可知:1213a1, a16. E(X)(1)1201311613. E(Y)32E(X)32373. 2 若随机变量 X 满足 P(Xc)1, 其中 c 为常数, 则 D(X)的值为_
5、0 P(Xc)1,E(X)c1c, D(X)(cc)210. 3已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(X2c1)P(X2c1)P(Xc3), 2c1c332,c43. 4甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量 X,Y,其分布列分别为: X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是_ 乙 E(X)00.410.320.230.11.E(Y)00.310.520.20.9,因为 E(Y)E(X),所以乙技术好 考点 1 求离散型随机变量的均值、方差 4 求离散
6、型随机变量 X 的均值与方差的步骤 (1)理解 X 的意义,写出 X 可能取的全部值 (2)求 X 取每个值时的概率 (3)写出 X 的分布列 (4)由均值的定义求 E(X) (5)由方差的定义求 D(X) 为迎接 2022 年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过 1 小时免费,超过 1 小时的部分每小时收费标准为 40 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为14,16;1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为12,23;两人滑雪时间都不会超过 3 小时 (
7、1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 (单位:元),求 的分布列与数学期望 E(),方差 D() 解 (1)两人所付费用相同,相同的费用可能为 0,40,80 元,两人都付 0元的概率为 p11416124, 两人都付 40 元的概率为 p2122313, 两人都付 80 元的概率为 p311412116231416124, 则两人所付费用相同的概率为 pp1p2p312413124512. (2)由题设甲、乙所付费用之和为 , 可能取值为 0,40,80,120,160,则: P(0)1416124; P(40)1423121614; P(
8、80)141612231416512; 5 P(120)1216142314; P(160)1416124. 的分布列为 0 40 80 120 160 P 124 14 512 14 124 E()01244014805121201416012480. D()(080)2124(4080)214(8080)2512(12080)214(16080)21244 0003. (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算 (2)注意 E(aXb)aE(X)b,D(aXb)a2D(X)的应用 教师备选例题 1(2019 杭州模
9、拟)已知 0a12,随机变量 的分布列如下: 1 0 1 P a 12a 12 当 a 增大时,( ) AE()增大,D()增大 BE()减小,D()增大 CE()增大,D()减小 DE()减小,D()减小 B 由题意得,E()a12,D()a1212aa12212a a121212a22a14, 又0a12,当 a 增大时,E()减小,D()增大 6 2设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分 (1)当 a3,b2,c1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 为取出此 2
10、球所得分数之和,求 的分布列; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 为取出此球所得分数若 E()53,D()59,求 abc. 解 (1)由题意得 2,3,4,5,6, 故 P(2)336614, P(3)2326613, P(4)2312266518, P(5)2216619, P(6)1166136. 所以 的分布列为 2 3 4 5 6 P 14 13 518 19 136 (2)由题意知 的分布列为 1 2 3 P aabc babc cabc 所以 E()aabc2babc3cabc53, D()1532aabc2532babc3532cabc59, 化简
11、得2ab4c0,a4b11c0. 解得 a3c,b2c,故 abc321. 7 1.(2018 全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p,各成员的支付方式相互独立 设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,D(X)2.4,P(X4)P(X6),则 p( ) A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 B 由题意知, 该群体的 10 位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布,所以D(X)10p(1p)2.4, 所以p0.6或p0.4.由P(X4)P(X6), 得C410p4(1p)6C610p6(1p)4,即(1p)20.5,所以 p0.6. 2大豆是我国主要的农作物之一,因
12、此,大豆在农业发展中占有重要的地位,随着农业技术的不断发展,为了使大豆得到更好的种植,就要进行超级种培育研究某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试:选择一块营养均衡的可种植 4 株的实验田地, 每株放入三粒“超级豆”种子, 且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活, 每株豆成活苗可以收成大豆 2.205 kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为12(假设种子之间及外部条件一致,发芽相互没有影响) (1)求恰好有 3 株成活的概率; (2)记成活的豆苗株数为 ,收成为 (kg),求随机变量 分布列及 的数学期望 E. 解 (1)设每株豆子成活的概率为 P0,则 P01(112)378.所以 4
13、株中恰好有 3 株成活的概率 PC34(78)3(178)13431024. (2)记成活的豆苗株数为 ,收成为 2.205, 则 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 B(4,78),所以 的分布列如下表: 0 1 2 3 4 P C04(178)4 C14(78)1(178)3 C24(78)2 (178)2 C34(78)3 (178)1 C44(78)4 E4783.5, EE(2.205)2.205 E7.717 5(kg) 考点 2 均值与方差在决策中的应用 8 利用均值、方差进行决策的 2 个方略 (1)当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分歧,可对问题作出判断 (2)若两随
14、机变量均值相同或相差不大则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,进而进行决策 某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳” 项目上,现有两个项目供选择: 项目一: 新能源汽车 据市场调研, 投资到该项目上, 到年底可能获利 30%,也可能亏损 15%,且这两种情况发生的概率分别为79和29; 项目二:通信设备据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 50%,可能损失 30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35,13和115. 针对以上两个投资项目, 请你为投资公司选择一个合理的项目, 并说明理由 解 若按“项目一”投资,设获利为 X
15、1万元,则 X1的分布列为 X1 300 150 P 79 29 E(X1)30079(150)29200. 若按“项目二”投资,设获利为 X2万元,则 X2的分布列为 X2 500 300 0 P 35 13 115 E(X2)50035(300)130115200. D(X1)(300200)279(150200)22935 000, D(X2)(500200)235(300200)213(0200)2115140 000. E(X1)E(X2),D(X1)D(X2), 这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥 综上所述,建议该投资公司选择项目一投资 9 随机变量的均值反映了随机变
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