2022届高三数学一轮复习(原卷版)第二节 平面向量基本定理及坐标表示 教案.doc
《2022届高三数学一轮复习(原卷版)第二节 平面向量基本定理及坐标表示 教案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022届高三数学一轮复习(原卷版)第二节 平面向量基本定理及坐标表示 教案.doc(19页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、 1 第二节第二节 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向 1.与向量线性运算相结合,考查平面向量基本定理及其应用,凸显数学建模的核心素养与向量线性运算相结合,考查平面向量基本定理及其应用,凸显数学建模的核心素养 2与向量的坐标表示相结合,考查向量的线性运算,凸显数学抽象的核心素养与向量的坐标表示相结合,考查向量的线性运算,凸显数学抽象的核心素养 3与向量的坐标表示相结合,考查向量共线,凸显数学运算的核心素养与向量的坐标表示相结合,考查向量共线,凸显数学运算的核心素养 理清主干知识理清主干知识 1平面向量基本定理平面向量基本定理
2、如果如果 e e1,e e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量向量,那么对于这一平面内的任意向量 a a,有且只有且只有有一对实数一对实数 1,2,使,使 a a1e e12e e2. 其中,不共线的向量其中,不共线的向量 e e1,e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底 2平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模向量加法、减法、数乘及向量的模 设设 a a(x1,y1),b b(x2,y2),则,则 a ab b(x1x2,y1y2),a ab b(x1x2,y1y2)
3、, a a(x1,y1),|a a| x21y21. (2)向量坐标的求法向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标 设设 A(x1,y1),B(x2,y2),则,则 AB (x2x1,y2y1),| AB | x2x1 2 y2y1 2. 3平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 设设 a a(x1,y1),b b(x2,y2),则,则 a ab bx1y2x2y10. 澄清盲点误点澄清盲点误点 一、关键点练明一、关键点练明 1(基底的判断基底的判断)下列各组向量中,可以作为基底的是下列各组向量中,可以作为基底的是(
4、 ) Ae e1(0,0),e e2(1,2) Be e1(1,2),e e2(5,7) Ce e1(3,5),e e2(6,10) De e1(2,3),e e2 12,34 2 答案:答案:B 2(数乘运算数乘运算)已知向量已知向量 a a(1,3),b b(2,1),则,则 3a a2b b( ) A(7,7) B(3,2) C(6,2) D(4,3) 答案:答案:A 3(向量共线的应用向量共线的应用)已知向量已知向量 a a(m,4),b b(3,2),且,且 a ab b,则,则 m_. 答案:答案:6 二、易错点练清二、易错点练清 1.(混淆基底的选择混淆基底的选择)如图, 在正方
5、形如图, 在正方形ABCD中,中, E为为DC的中点, 若的中点, 若AE AB AC ,则,则 的值为的值为( ) A.12 B12 C1 D1 解析:解析: 选选 A 因为因为 E 为为 DC 的中点, 所以的中点, 所以AC AB AD 12AB 12AB AD 12AB DE AD 12AB AE ,即,即AE 12AB AC ,所以,所以 12,1,所以,所以 12. 2(混淆单位向量的方向混淆单位向量的方向)已知已知 A(5,8),B(7,3),则与向量,则与向量 AB 反向的单位向量为反向的单位向量为_ 解析:解析:由已知得由已知得AB (12,5),所以,所以| AB |13,
6、因此与,因此与AB 反向的单位向量为反向的单位向量为113AB 1213,513. 答案:答案: 1213,513 3(忽视基向量不共线忽视基向量不共线)给出下列三个向量:给出下列三个向量:a a(2,3),b b 1,32,c c(1,1),在这三,在这三个向量中任意取两个作为一组,能构成基底的组数为个向量中任意取两个作为一组,能构成基底的组数为_ 解析:解析:易知易知 a ab b,a a 与与 c c 不共线,不共线,b b 与与 c c 不共线,所以能构成基底不共线,所以能构成基底的组数为的组数为 2. 答案:答案:2 考点一考点一 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理及其应用 典
7、例典例 (1)(2021 青岛模拟青岛模拟)如图,在直角梯形如图,在直角梯形 ABCD 中,中,AB2AD2DC,E 为为 BC 边上一点,边上一点,BC 3EC ,F 为为 AE 的中点,则的中点,则BF 3 ( ) A.23AB 13AD B13AB 23AD C23AB 13AD D13AB 23AD (2)如图, 在如图, 在ABC 中, 点中, 点 D 是边是边 BC 上上任意一点,任意一点, M 是线段是线段 AD 的中点,的中点,若存在实数若存在实数 和和 ,使得,使得BM AB AC ,则,则 ( ) A.12 B12 C2 D2 解析解析 (1)如图, 取如图, 取 AB 的
8、中点的中点 G, 连接, 连接 DG, CG, 易知四边形, 易知四边形 DCBG为平行四边形, 所以为平行四边形, 所以BC GD AD AG AD 12AB , 所以, 所以AE AB BE AB 23BC AB 23 AD 12 AB 23AB 23AD ,于是,于是BF AF AB 12AE AB 12 23 AB 23 AD AB 23AB 13AD ,故选,故选 C. (2)法一:直接法法一:直接法 因为点因为点 D 在边在边 BC 上,上, 所以存在所以存在 tR R,使得,使得BD tBC t( AC AB )(0t1) 因为因为 M 是线段是线段 AD 的中点,的中点, 所以
9、所以BM 12( BA BD )12( AB tAC tAB )12(t1)AB 12tAC . 又又BM AB AC ,所以,所以 12(t1),12t, 所以所以 12.故选故选 B. 法二:特殊点法法二:特殊点法 由题意知,由题意知,D 为边为边 BC 上任意一点,不妨令点上任意一点,不妨令点 D 与点与点 B 重合,重合, 则点则点 M 就是线段就是线段 AB 的中点的中点 显然此时显然此时BM 12BA 12AB 0AC . 又又BM AB AC ,且,且 AB 与与 AC 不共线,不共线, 所以所以 12,0,故,故 12.故选故选 B. 答案答案 (1)C (2)B 方法技巧方法
10、技巧 4 平面向量基本定理的实质及解题思路平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算加、减或数乘运算 (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决 针对训练针对训练 1在梯形在梯形 ABCD 中,中,ABCD,AB2CD,M,N 分别为
11、分别为 CD,BC 的中点若的中点若 AB AM AN ,则,则 等于等于( ) A.15 B25 C.35 D45 解析:解析:选选 D 因为因为AB AN NB AN CN AN (CA AN )2AN CM MA 2AN 14AB AM ,所以,所以 AB 85AN 45AM ,所以,所以 45,85,所以,所以 45. 2在在ABC 中,点中,点 P 是是 AB 上一点,且上一点,且 CP 23CA 13CB ,Q 是是 BC 的中点,的中点,AQ 与与 CP的交点为的交点为 M,又,又CM t CP ,则,则 t 的值为的值为_ 解析:解析: CP 23CA 13CB , 3 CP
12、2CA CB , 即即 2 CP 2CA CB CP ,2 AP PB , 即即 P 为为 AB 的一个三等分点,如图所示的一个三等分点,如图所示 A,M,Q 三点共线,三点共线, CM xCQ (1x)CA x2CB (x1)AC , 而而 CB AB AC ,CM x2AB x21 AC . 又又 CP CA PA AC 13AB , 由已知由已知CM t CP ,可得,可得 x2AB x21 AC t AC 13 AB , 又又 AB , AC 不共线,不共线, 5 x2t3,x21t,解得解得 t34. 答案:答案:34 考点二考点二 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 典例典例 (
13、1)(2021 福州模拟福州模拟)已知在平行四边形已知在平行四边形 ABCD 中,中,AD (3,7),AB (2,3),对角,对角线线 AC 与与 BD 交于点交于点 O,则,则CO 的坐标为的坐标为( ) A. 12,5 B 12,5 C. 12,5 D 12,5 (2)向量向量 a a,b b,c c 在正方形网格中的位置如图所示,若在正方形网格中的位置如图所示,若 c ca ab b(,R R),则,则( ) A1 B2 C3 D4 解析解析 (1)因为在平行四边形因为在平行四边形 ABCD 中,中,AD (3,7), AB (2,3),对角线,对角线 AC 与与 BD 交交于点于点
14、O,所以,所以CO AO 12(AD AB ) 12,5 .故选故选 C. (2)以向量以向量 a a 和和 b b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个设每个小正方形边长为小正方形边长为 1), 则则 A(1,1),B(6,2),C(5,1), a aAO (1,1),b bOB (6,2),c c BC (1,3) c ca ab b,(1,3)(1,1)(6,2), 则则 61,23,解得解得 2,12, 2124. 答案答案 (1)C (2)D 方法技巧方法技巧 平面向量坐标运算的技巧平面向量坐标运算的技巧 6 (1)向量的坐标运算主
15、要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标段两端点的坐标,则应先求向量的坐标 (2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组组)来进行求解来进行求解 针对训练针对训练 1(多选多选)已知点已知点 A(4,6),B 3,32,与向量,与向量AB 平行的向量的坐标可以是平行的向量的坐标可以是( ) A. 143,3 B 7,92 C. 143,3 D(7,9) 解析:解析:选选 ABC 由点由
16、点 A(4,6),B 3,32,则,则 AB 7,92,73 921430,所以所以 A 选项正确;选项正确;792 9270,所以,所以 B 选项正确;选项正确;7(3) 92 1430,所以,所以 C 选项正确;选项正确;79 9270,所以,所以 D 选项不正确选项不正确 2如图所示的平面直角坐标系中,网格中小正方形的边长为如图所示的平面直角坐标系中,网格中小正方形的边长为 1,若向量,若向量 a a,b b,c c 满足满足 c cxa ayb b,且,且(ka ab b) c c0,则,则xyk_. 解析:解析:结合图形得结合图形得 a a(1,2),b b(3,1),c c(4,4
17、),由,由 c cxa ayb b 得得 x3y4,2xy4,解得解得 x85,y45,所以所以 xy125.由由(ka ab b) c c0 得得 ka a c cb b c c0,即,即 12k160,所以,所以 k43,所以所以xyk95. 答案:答案:95 考点三考点三 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 典例典例 (1)已知已知 O 为坐标原点,点为坐标原点,点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),则,则 AC 与与 OB 的交点的交点 P 的坐标的坐标为为_ (2)已知向量已知向量 a a(2,1),b b(x,1),且,且 a ab b 与与 b b 共线,则共线
18、,则 x 的值为的值为_ 7 解析解析 (1)法一:法一:由由 O,P,B 三点共线,三点共线, 可设可设 OP OB (4,4), 则则 AP OP OA (44,4) 又又 AC OC OA (2,6), 由由 AP 与与 AC 共线,得共线,得(44)64(2)0, 解得解得 34,所以,所以 OP 34OB (3,3), 所以点所以点 P 的坐标为的坐标为(3,3) 法二:法二:设点设点 P(x,y),则,则 OP (x,y), 因为因为OB (4,4),且,且 OP 与与OB 共线,所以共线,所以x4y4,即,即 xy. 又又 AP (x4,y), AC (2,6),且,且 AP 与
19、与 AC 共线,共线, 所以所以(x4)6y(2)0,解得,解得 xy3, 所以点所以点 P 的坐标为的坐标为(3,3) (2)向量向量 a a(2,1),b b(x,1),a ab b(2x,2) 又又a ab b 与与 b b 共线,共线,2x2x,解得,解得 x2. 答案答案 (1)(3,3) (2)2 方法技巧方法技巧 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:两平面向量共线的充要条件有两种形式:若若 a a(x1,y1),b b(x2,y2),则,则 a ab b 的充要的充要条件是条件是 x1y2x2y10;若若 a ab b(b b0),则,则 a ab b. (2)向量共线的坐
20、标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数当两向量的坐标均向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解应成比例来求解 针对训练针对训练 1设向量设向量OA (1,2),OB (2m,1),OC (2n,0),m,nR R,O 为坐标原点,为坐标原点,若若 A,B,C 三点共线,则三点共线,则 mn 的最大值为的最大值为( ) A3 B2 C2 D3 解析:解析:选选 A 由题意易知,由题意易知,AB AC ,其中,其中 AB OB OA (2m1,1),AC OC OA (2n1,2), 所以所以(
21、2m1)21(2n1),解得,解得 2m12n1. 8 又又 2m12n2 2mn1,当且仅当,当且仅当 2m12n,即,即 m1n 时取等号,所以时取等号,所以 2mn1 22,即,即 mn3. 2(2021 济宁模拟济宁模拟)平面内给定三个向量平面内给定三个向量 a a(3,2),b b(1,2),c c(4,1) (1)若若(a akc c)(2b ba a),求实数,求实数 k; (2)若若 d d 满足满足(d dc c)(a ab b),且,且|d dc c| 5,求,求 d d 的坐标的坐标 解:解:(1)a akc c(34k,2k),2b ba a(5,2), 由题意得由题意
22、得 2(34k)(5)(2k)0,解得,解得 k1613. (2)设设 d d(x,y),则,则 d dc c(x4,y1), 又又 a ab b(2,4),|d dc c| 5, 4 x4 2 y1 0, x4 2 y1 25,解得解得 x3,y1或或 x5,y3. d d 的坐标为的坐标为(3,1)或或(5,3) 一、创新思维角度一、创新思维角度融会贯通学妙法融会贯通学妙法 数形结合数形结合建立平面直角坐标系,将几何图形问题转化成坐标运算,根据需要选建立平面直角坐标系,将几何图形问题转化成坐标运算,根据需要选择一个择一个点作为坐标原点,两条互相垂直的直线为点作为坐标原点,两条互相垂直的直线
23、为 x 轴、轴、y 轴,使题目中的其他点都便于表达,这样轴,使题目中的其他点都便于表达,这样将向量运算坐标化,转化为代数运算将向量运算坐标化,转化为代数运算 典例典例 在矩形在矩形 ABCD 中,中,AB1,AD2,动点,动点 P 在以点在以点 C 为圆心且与为圆心且与 BD 相切的圆上,相切的圆上,若若 AP AB AD ,则,则 的最大值为的最大值为( ) A3 B2 2 C. 5 D2 思路点拨思路点拨 先建立直角坐标系,利用向量先建立直角坐标系,利用向量 AP 与与 AB ,AD 的关系表示出的关系表示出 , 与与 P 点坐标点坐标的关系,再利用三角函数关系求解的关系,再利用三角函数关
24、系求解 解析解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则建立如图所示的平面直角坐标系,则 C 点坐标为点坐标为(2,1) 设设 BD 与圆与圆 C 切于点切于点 E,连接,连接 CE,则,则 CEBD. CD1,BC2,BD 1222 5, CEBC CDBD25255, 即圆即圆 C 的半径为的半径为255, 9 P 点的轨迹方程为点的轨迹方程为(x2)2(y1)245. 设设 P(x0,y0), AB (0,1),AD (2,0) AP AB AD (0,1)(2,0)(2,), 12x0,y0. 又由又由 P 点的轨迹方程得点的轨迹方程得 x02255cos ,y01255sin ( 为参数为
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2022届高三数学一轮复习(原卷版)第二节平面向量基本定理及坐标表示教案
限制150内