2017年中考专题复习讲义三角形和全等三角形(共50页).docx
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1、精选优质文档-倾情为你奉上【中考考点梳理】考点一 全等三角形的概念与性质1概念:能够重合的两个三角形叫做全等三角形温馨提示:记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.如右图,ABC和DBC全等,点A和点D,点B和点B,点C和点C是对应顶点,记作ABCDBC2全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等,对应角相等;(2)全等三角形的对应线段(包括角平分线、中线、高线)相等、周长相等、面积相等3常见全等三角形的基本图形(1)平移全等型(2)翻折全等型(3)旋转全等型考点二 全等三角形的判定1全等三角形的判定方法方法内容符号适用范围方法1三边对应相等的两个三角形全等SSS所有三
2、角形方法2两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS所有三角形方法3两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等ASA所有三角形方法4两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等AAS所有三角形方法5斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL直角三角形温馨提示:1方法2是两边和它们的夹角,如果说“两边及其中一边的对角对应相等”,则不能判定两个三角形全等2三个角对应相等的两个三角形不一定全等2全等三角形的判定思路说明两个三角形全等时要认真分析已知条件,仔细观察图形,弄清已具备了哪些条件,从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系,从而选择最适当的方法,一般可按下面的思路进行考点三 角平分线的性
3、质定理及其逆定理)1性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等即如图,点P在AOB的平分线上,PDOA于点D,PEOB于点E,PDPE.2性质定理的逆定理:角的内部,到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上即如上图,PDOA,PEOB,PDPE,OP是AOB的平分线温馨提示:应用角平分线的性质定理就可以省去证明三角形全等的步骤,使问题简单化,所以若遇到有关角平分线,又要证线段相等的问题,我们可以直接利用角平分线的性质定理解决问题考点四 线段垂直平分线的性质与判定1定义:垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线2性质定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相
4、等3性质定理的逆定理:与一条线段两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上【例1】(2015·温州)如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,ABCD,AEDF,AD(1)求证:ABCD;(2)若ABCF,B30°,求D的度数【思路点拨】(1)由ABCD,可得BC,再有AEDF,AD,可得ABEDCF,由全等三角形的性质可证;(2)通过等量代换得到DCF为等腰三角形,且CB30°,再通过三角形内角和求得D的度数【自主解答】(1)证明:ABCD, BCAEDF,AD, ABEDCF(AAS)ABCD(2)解:ABCF,ABCD,CDCF,DCFD
5、BC30°,D75°.方法总结:判定两个三角形全等时,常用下面的思路:有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等;有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等【变式训练】 1、如图,点M,N分别是正五边形ABCDE的边BC,CD上的点,且BMCN,AM交BN于点P.(1)求证:ABMBCN;(2)求APN的度数(1)证明:五边形ABCDE是正五边形,ABBC,ABMBCN.又BMCN,ABMBCN.(2)解:APN是ABP的一个外角,APNBAMABNCBNABNABC108°.2、如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、N
6、O,并分别延长交边BC于两点M、N,则图中的全等三角形共有()A2对 B3对 C4对 D5对【考点】正方形的性质;全等三角形的判定【分析】可以判断ABDBCD,MDOMBO,NODNOB,MONMON由此即可对称结论【解答】解:四边形ABCD是正方形,AB=CD=CB=AD,A=C=ABC=ADC=90°,ADBC,在ABD和BCD中,ABDBCD,ADBC,MDO=MBO,在MOD和MOB中,MDOMBO,同理可证NODNOB,MONMON,全等三角形一共有4对故选C3、如图,在矩形ABCD中(ADAB),点E是BC上一点,且DE=DA,AFDE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正
7、确的是()AAFDDCE BAF=AD CAB=AF DBE=ADDF【考点】矩形的性质;全等三角形的判定【分析】先根据已知条件判定判定AFDDCE(AAS),再根据矩形的对边相等,以及全等三角形的对应边相等进行判断即可【解答】解:(A)由矩形ABCD,AFDE可得C=AFD=90°,ADBC,ADF=DEC又DE=AD,AFDDCE(AAS),故(A)正确;(B)ADF不一定等于30°,直角三角形ADF中,AF不一定等于AD的一半,故(B)错误;(C)由AFDDCE,可得AF=CD,由矩形ABCD,可得AB=CD,AB=AF,故(C)正确;(D)由AFDDCE,可得CE=
8、DF,由矩形ABCD,可得BC=AD,又BE=BCEC,BE=ADDF,故(D)正确;故选(B)4、如图,在平面直角坐标系中,A、B两点分别在x轴、y轴上,OA=3,OB=4,连接AB点P在平面内,若以点P、A、B为顶点的三角形与AOB全等(点P与点O不重合),则点P的坐标为(3,4)或(frac9625,frac7225)或(frac2125,frac2825)【考点】全等三角形的判定;坐标与图形性质【分析】由条件可知AB为两三角形的公共边,且AOB为直角三角形,当AOB和APB全等时,则可知APB为直角三角形,再分三种情况进行讨论,可得出P点的坐标【解答】解:如图所示:OA=3,OB=4,
9、P1(3,4);连结OP2,设AB的解析式为y=kx+b,则,解得故AB的解析式为y=x+4,则OP2的解析式为y=x,联立方程组得,解得,则P2(,);连结P2P3,(3+0)÷2=1.5,(0+4)÷2=2, E(1.5,2), 1.5×2=,2×2=, P3(,)故点P的坐标为(3,4)或(,)或(,)故答案为:(3,4)或(,)或(,)【例2】如图,OC是AOB的平分线,P是OC上一点,PDOA于点D,PD6,则点P到边OB的距离为(A)A6 B5 C4 D3【思路点拨】过点P作PEOB于点E,由角平分线的性质易得PE的长方法总结:题目中若有角平
10、分线这一条件,常考虑2倍角关系或添加垂线段,利用角的平分线的性质定理求角度或证明线段相等或计算线段长度【变式训练】1、 如图,已知ABC三个内角的平分线交于点O,点D在CA的延长线上,且DCBC,ADAO,若BAC80°,则BCA的度数为 【解析】BAC80°,BAD100°,BAO40°,DAO140°.ADAO,D20°.ABC三个内角的平分线交于点O,ACOBCO.在COD和COB中,CDCB,OCDOCB,OC是公共边,CODCOB,DCBO.CBO20°,ABC40°,BCA60°.【答案】60
11、°2、已知平行四边形ABCD中,CE平分BCD且交AD于点E,AFCE,且交BC于点F(1)求证:ABFCDE;(2)如图,若1=65°,求B的大小【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质【分析】(1)由平行四边形的性质得出AB=CD,ADBC,B=D,得出1=DCE,证出AFB=1,由AAS证明ABFCDE即可;(2)由(1)得1=DCE=65°,由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果【解答】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,ADBC,B=D,1=DCE,AFCE,AFB=ECB,CE平分BCD,DCE=ECB,AFB=1,在
12、ABF和CDE中,ABFCDE(AAS);(2)解:由(1)得:1=ECB,DCE=ECB,1=DCE=65°,B=D=180°2×65°=50°【例3】如图,已知ABC中,AB=AC,把ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到ADE,连接BD,CE交于点F(1)求证:AECADB;(2)若AB=2,BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长【考点】旋转的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的性质【分析】(1)由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等,以及AB=AC,利用全等三角形对应边相等,对应角相等得到两对边相等,一对角相等
13、,利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可;(2)根据BAC=45°,四边形ADFC是菱形,得到DBA=BAC=45°,再由AB=AD,得到三角形ABD为等腰直角三角形,求出BD的长,由BDDF求出BF的长即可【解答】解:(1)由旋转的性质得:ABCADE,且AB=AC,AE=AD,AC=AB,BAC=DAE,BAC+BAE=DAE+BAE,即CAE=DAB,在AEC和ADB中,AECADB(SAS);(2)四边形ADFC是菱形,且BAC=45°,DBA=BAC=45°,由(1)得:AB=AD,DBA=BDA=45°,ABD为直角边为2
14、的等腰直角三角形,BD2=2AB2,即BD=2,AD=DF=FC=AC=AB=2,BF=BDDF=22【变式练习】1、已知:点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合),分别过点A、C向直线BP作垂线,垂足分别为点E、F,点O为AC的中点(1)当点P与点O重合时如图1,易证OE=OF(不需证明)(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当OFE=30°时,如图2、图3的位置,猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?请写出你对图2、图3的猜想,并选择一种情况给予证明【考点】四边形综合题【分析】(1)由AOECOF即可得出结论(2)图2中的结论为:CF=
15、OE+AE,延长EO交CF于点G,只要证明EOAGOC,OFG是等边三角形,即可解决问题图3中的结论为:CF=OEAE,延长EO交FC的延长线于点G,证明方法类似【解答】解:(1)AEPB,CFBP,AEO=CFO=90°,在AEO和CFO中,AOECOF,OE=OF(2)图2中的结论为:CF=OE+AE图3中的结论为:CF=OEAE选图2中的结论证明如下:延长EO交CF于点G,AEBP,CFBP,AECF,EAO=GCO,在EOA和GOC中,EOAGOC,EO=GO,AE=CG,在RTEFG中,EO=OG,OE=OF=GO,OFE=30°,OFG=90°30
16、176;=60°,OFG是等边三角形,OF=GF,OE=OF,OE=FG,CF=FG+CG,CF=OE+AE选图3的结论证明如下:延长EO交FC的延长线于点G,AEBP,CFBP,AECF,AEO=G,在AOE和COG中,AOECOG,OE=OG,AE=CG,在RTEFG中,OE=OG,OE=OF=OG,OFE=30°,OFG=90°30°=60°,OFG是等边三角形,OF=FG,OE=OF,OE=FG,CF=FGCG,CF=OEAE3、如图,在RtABC中,ACB=90°,点D,E分别在AB,AC上,CE=BC,连接CD,将线段CD
17、绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF,连接EF(1)补充完成图形;(2)若EFCD,求证:BDC=90°【考点】旋转的性质【分析】(1)根据题意补全图形,如图所示;(2)由旋转的性质得到DCF为直角,由EF与CD平行,得到EFC为直角,利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等,利用全等三角形对应角相等即可得证【解答】解:(1)补全图形,如图所示;(2)由旋转的性质得:DCF=90°,DCE+ECF=90°,ACB=90°,DCE+BCD=90°,ECF=BCD,EFDC,EFC+DCF=180°,EFC=90°
18、,在BDC和EFC中,BDCEFC(SAS),BDC=EFC=90°【例3】如图,已知点A,F,E,C在同一直线上,ABCD,ABECDF,AFCE.(1)从图中任找两组全等三角形;(2)从(1)中任选一组进行证明【思路点拨】(1)根据题目所给条件可分析出ABECDF,AFDCEB;(2)根据ABCD可得BACDCA,根据AFCE可得AEFC,然后再证明ABECDF即可【自主解答】(1)解:ABECDF,AFDCEB(2)证明:ABECDF.ABCD,BACDCAAFCE,AFEFCEEF,即AEFC在ABE和CDF中,ABECDF(AAS)方法总结:根据题目给出的条件和图形中隐含的
19、条件,分析哪些三角形全等,再根据三角形全等的判定方法证明即可【变式练习】1、 如图,在四边形ABCD中,ABCD,连结BD请添加一个适当的条件ABCD或AC或ADBCBD,使ABDCDB(只需写一个)2、如图,ABC中,ADBC,CEAB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件:AH=CB等(只要符合要求即可),使AEHCEB【考点】全等三角形的判定【分析】开放型题型,根据垂直关系,可以判断AEH与CEB有两对对应角相等,就只需要找它们的一对对应边相等就可以了【解答】解:ADBC,CEAB,垂足分别为D、E,BEC=AEC=90°,在RtAEH中,EAH=90&
20、#176;AHE,又EAH=BAD,BAD=90°AHE,在RtAEH和RtCDH中,CHD=AHE,EAH=DCH,EAH=90°CHD=BCE,所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB;根据ASA添加AE=CE可证AEHCEB故填空答案:AH=CB或EH=EB或AE=CE3、如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点,连接BE,DF(1)根据题意,补全原形;(2)求证:BE=DF【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质【分析】(1)如图所示;(2)由全等三角形的判定定理SAS证得BEODFO,得出全等三角形的对应边相等即可
21、【解答】(1)解:如图所示:(2)证明:四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD交于点O,OB=OD,OA=OC又E,F分别是OA、OC的中点,OE=OA,OF=OC,OE=OF在BEO与DFO中,BEODFO(SAS),BE=DF4、已知:如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQBE于点Q,DPAQ于点P(1)求证:AP=BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质【分析】(1)根据正方形的性质得出AD=BA,BAQ=ADP,再根据已知条件得到AQB=DPA,判定AQBDP
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- 2017 年中 专题 复习 讲义 三角形 全等 50
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