多元函数微分法PPT课件.ppt
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1、关于多元函数微分法第一张,PPT共七十六页,创作于2022年6月2(1)区域区域 邻域邻域:区域区域连通的开集连通的开集 (2)多元函数概念多元函数概念n 元函数元函数常用常用二元函数二元函数(图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面)三元函数三元函数一、基本概念一、基本概念1.多元函数多元函数定义域及对应规律定义域及对应规律定义域及对应规律定义域及对应规律(无几何直观无几何直观)第二张,PPT共七十六页,创作于2022年6月3解解:例例1.求求的定义域的定义域xoy所求定义域为所求定义域为:例例2.设设解解:第三张,PPT共七十六页,创作于2022年6月4则称则称常数常数A为函数为函数描述性定义
2、描述性定义对于二元函数对于二元函数是定义域是定义域D的聚点的聚点对应的函数值对应的函数值 无限接近无限接近于一个确定的常数于一个确定的常数A,则称则称A为为的极限的极限 记为:记为:2.多元函数的极限多元函数的极限(1)定义:定义:设函数设函数的定义域为的定义域为D,是是D的的聚点聚点.如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数总存在正数总存在正数使使得对于适合不等式得对于适合不等式的一切点的一切点都有都有成立,成立,当当时的时的极限极限.记为:记为:或或或记为或记为这里这里第四张,PPT共七十六页,创作于2022年6月5(2)二元函数的极限与一元函数的极限的区别与联系二元函数的极限与一元函
3、数的极限的区别与联系不同点:不同点:二元函数极限二元函数极限 的方式(路径)不同的方式(路径)不同一元函数一元函数 的方式有两种,故有的方式有两种,故有 的方式是任意的,有无数个的方式是任意的,有无数个.沿沿任何路径任何路径 时极限存在且相等时极限存在且相等确定二元函数极限不存在的方法:确定二元函数极限不存在的方法:令令P(x,y)沿沿y=kx趋向于趋向于若极限值与若极限值与k有关,有关,则可断言极限不存在;则可断言极限不存在;找两种不同趋近方式,找两种不同趋近方式,使使存在,存在,但但两者两者不相等,不相等,此时也此时也可断言可断言f(x,y)或有的极限不存在,或有的极限不存在,处处极限不存
4、在极限不存在.在点在点第五张,PPT共七十六页,创作于2022年6月6共同点:共同点:即有定义即有定义与有极限不能互相推出与有极限不能互相推出.定义方式相同定义方式相同.故一元函数中凡是用定义证明的结论均可推广到故一元函数中凡是用定义证明的结论均可推广到多元函数中多元函数中.用定义只能证明极限用定义只能证明极限.在点在点 是否有定义并不影响极限是否存在,是否有定义并不影响极限是否存在,联系:联系:由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同.所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有界性及极所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有界性及极限的四则运
5、算法则,夹逼准则;无穷小的概限的四则运算法则,夹逼准则;无穷小的概念与性质,两个重要极限及求极限的变量代换法,等价念与性质,两个重要极限及求极限的变量代换法,等价无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来.但一元函数极限的充要条件及洛必达法则不能用但一元函数极限的充要条件及洛必达法则不能用于多元函数极限上于多元函数极限上.第六张,PPT共七十六页,创作于2022年6月7例例3.考察函数考察函数在原点的二重极限在原点的二重极限.解解:第七张,PPT共七十六页,创作于2022年6月8例例4.求极限求极限 解解:其中其中(或用等价无穷小代换或用等价无穷小
6、代换)第八张,PPT共七十六页,创作于2022年6月93.多元函数的连续多元函数的连续若令若令记记则则设函数设函数z=f(x,y)的定义域为的定义域为D,聚点聚点若若则称函数则称函数z=f(x,y)在在处处连续连续.(1)定义:定义:(2)间断点:间断点:点连续点连续第九张,PPT共七十六页,创作于2022年6月10例如例如,函数函数在点在点(0,0)极限不存在极限不存在,又如又如,函数函数上间断上间断.故故(0,0)为其间断点为其间断点.在圆周在圆周(3)多元初等函数:多元初等函数:如:如:所表示的多元函数,所表示的多元函数,有限次有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用的四则运算和复合步骤所
7、构成的可用一个式子一个式子由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过叫叫多元初等函数多元初等函数.第十张,PPT共七十六页,创作于2022年6月11(4)多元函数连续性的应用多元函数连续性的应用-求极限求极限求求时,时,如果如果f(P)是初等函数,是初等函数,定义域的定义域的内点,内点,则则f(P)在点在点处处连续连续且且是是f(P)的的定理定理:定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域一切多元初等函数在其一切多元初等函数在其定义区域内定义区域内是连续的是连续的例例5.求求解解:函数函数是二元初等函数,是二元
8、初等函数,第十一张,PPT共七十六页,创作于2022年6月124.多元函数的偏导数多元函数的偏导数(1)定义:定义:第十二张,PPT共七十六页,创作于2022年6月13(2)多元函数的偏导数与一元函数导数的不同点:多元函数的偏导数与一元函数导数的不同点:连续连续可导可导偏导记号已不再有偏导记号已不再有“商商”的的含义含义.(3)多元函数的偏导数与一元函数导数的共同点:多元函数的偏导数与一元函数导数的共同点:故多元函数偏导的故多元函数偏导的求法与一元函数类似求法与一元函数类似.可以把一元函数的求导公式和法则拿过来用可以把一元函数的求导公式和法则拿过来用.因此因此,定义方式相同定义方式相同.(4)
9、偏导及高阶偏导的记号:偏导及高阶偏导的记号:纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导第十三张,PPT共七十六页,创作于2022年6月14例例6.解解:由定义可知:由定义可知:提示:求分界点、不连续点处的偏导数要用提示:求分界点、不连续点处的偏导数要用定义定义求求.(08数学三数学三)第十四张,PPT共七十六页,创作于2022年6月155.多元函数的全微分多元函数的全微分对于二元函数对于二元函数(1)可微的定义可微的定义:微分:微分:全微分的实质:全微分的实质:可微可微能能是是是是第十五张,PPT共七十六页,创作于2022年6月16(2)多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数连续函
10、数连续函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续极限存在极限存在连续连续可微分可微分偏导数存在偏导数存在偏导数连续偏导数连续(3)判定函数可微的方法判定函数可微的方法:不连续不连续不可微不可微.不可导不可导不可微不可微.可微可微定义法定义法:偏导连续偏导连续可微可微.是是有定义有定义第十六张,PPT共七十六页,创作于2022年6月17函数函数在在可微的充分条件是可微的充分条件是()的某邻域内存在的某邻域内存在;时是无穷小量时是无穷小量;时是无穷小量时是无穷小量.能能是是是是例例7.第十七张,PPT共七十六页,创作于2022年6月18(12数学一数学一)(12数学三数学三)第十八张,P
11、PT共七十六页,创作于2022年6月19(4)几个需要记住的重要函数几个需要记住的重要函数(反例反例):1)函数函数它在它在(0,0)处可导处可导,不可微不可微,不连续不连续.2)函数函数它在它在(0,0)处不可微、不可导、连续处不可微、不可导、连续.3)函数函数它在它在(0,0)处连续处连续,可导可导,不可微不可微.第十九张,PPT共七十六页,创作于2022年6月20例例8.讨论讨论函数函数在原点处连续、可导、不可微在原点处连续、可导、不可微.所以,所给函数在所以,所给函数在(0,0)处连续处连续.解解:(2)第二十张,PPT共七十六页,创作于2022年6月21可微可微例例8.讨论讨论函数函
12、数解解:(2)由导数的定义知由导数的定义知在原点处连续、可导、不可微在原点处连续、可导、不可微.则则第二十一张,PPT共七十六页,创作于2022年6月221.求具体显函数的偏导数求具体显函数的偏导数求求时,时,把把x看成看成变量,变量,其余变量均看成常量;其余变量均看成常量;求求时,时,把把y看成看成变量,变量,其余变量均看成常量;其余变量均看成常量;2)求一点处偏导数的方法:求一点处偏导数的方法:先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义3)求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法:逐次求导法逐次求导法 混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关1)求偏导求偏导(函函)数的方
13、法:数的方法:二、多元函数微分法二、多元函数微分法第二十二张,PPT共七十六页,创作于2022年6月23第二十三张,PPT共七十六页,创作于2022年6月242.复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则:3.全微分形式不变性全微分形式不变性:不论不论 u,v 是自变量还是因变量是自变量还是因变量,都有:都有:同路相乘同路相乘,异路相加异路相加.单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导.第二十四张,PPT共七十六页,创作于2022年6月25例例1.解解:第二十五张,PPT共七十六页,创作于2022年6月26例例2.解解:第二十六张,PPT共七十六页,创作于2022年6月27(09数学一数学一)第二
14、十七张,PPT共七十六页,创作于2022年6月28法法1:公式法:公式法:法法3:微分法:微分法:谁看成变量谁看成变量.时把谁看成常量,时把谁看成常量,注意求注意求法法2:直接法:直接法:两边求导,这时若对两边求导,这时若对 求导,把求导,把 数数谁是自变量,谁是自变量,把把 均看成变量用一阶微分形式不变性及微分法则均看成变量用一阶微分形式不变性及微分法则.谁是函数,谁是函数,两边微分,不用区分两边微分,不用区分 求隐函数求隐函数 的偏导数也有类似的方法的偏导数也有类似的方法.请选用恰当的方法请选用恰当的方法.3.求隐函数求隐函数 的偏导数的三个方法的偏导数的三个方法第二十八张,PPT共七十六
15、页,创作于2022年6月29隐函数的求导公式:隐函数的求导公式:对对两边对两边对 x 求导得求导得解这个关于解这个关于 的方程组即可的方程组即可.即即第二十九张,PPT共七十六页,创作于2022年6月30定理定理1.设函数设函数则方程则方程单值连续函数单值连续函数 y=f(x),并有连续并有连续(隐函数求导公式隐函数求导公式)具有连续的偏导数具有连续的偏导数;的的某邻域内某邻域内可唯一确定一个可唯一确定一个在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足满足条件满足条件导数导数第三十张,PPT共七十六页,创作于2022年6月31定理定理2.若函数若函数 的某邻域内具有的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数
16、,则方程则方程在点在点并有连续偏导数并有连续偏导数定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z=f(x,y),满足满足 在点在点满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确第三十一张,PPT共七十六页,创作于2022年6月32根据隐函数存在定理,根据隐函数存在定理,存在存在点点 的一个邻域,在此邻域内,该方程的一个邻域,在此邻域内,该方程(A)只能确立一个具有连续偏导的隐函数只能确立一个具有连续偏导的隐函数(B)可以确立具有连续性偏导的隐函数可以确立具有连续性偏导的隐函数(C)可以确立具有连续性偏导的隐函数可以确立具有连续性偏导的隐函数(D)可以确立具有连续性偏导的隐函数可以确立具有连续性偏导的
17、隐函数设设则则例例3.提示提示:第三十二张,PPT共七十六页,创作于2022年6月33例例4.设设解法解法1:直接求导法直接求导法再对再对 x 求导求导注意:注意:对对x求导时求导时,应把应把y看成常量看成常量,把把z看成看成x,y的函数的函数.第三十三张,PPT共七十六页,创作于2022年6月34例例4.设设解法解法2:利用公式利用公式设设则则解法解法3:利用微分法求导利用微分法求导第三十四张,PPT共七十六页,创作于2022年6月35(10数学一数学一,二二)(13数三数三)第三十五张,PPT共七十六页,创作于2022年6月36解解:方程两边求微分方程两边求微分,得得即即例例5.设设是由方
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