实变函数试题集锦.doc
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1、实变函数测试题集锦一、填空题设, , 则.,因为存在两个集合之间的一一映射为.设是中函数的图形上的点所组成的 集合,则,.若集合满足, 则为集.若是直线上开集的一个构成区间, 则满足:, .设使闭区间中的全体无理数集, 则.若, 则说在上.设, ,若,则称是的聚点.设是上几乎处处有限的可测函数列, 是上 几乎处处有限的可测函数, 若, 有, 则称在上依测度收敛于.设, 则的子列, 使得.11. = . 12.= . 13. 到的双射是 . 14. 的全体聚点所组成的集合包含于的充要条件是 .15. 中无理数集的外测度为 .16. 中所有开集生成的代数记为B,称B中的集合为 .17. 若,则对任
2、意的点集,必有 . 18. 当为闭区间时, . 19. 设函数在可测集上几乎处处有限,若对任意给定的,存在中的一个闭集,使,且在上连续,则是可测集上的 . 20. 是否存在开集使其余集仍为开集(是或不是选其一填写) .21如果 则称是自密集,如果 则称是开集,如 果则称是 .22设表示为一列开集之交集:,则称为 . 23. 若表示为一列闭集之并集:,则称为 . 24. (),在上可测,则= . 25. Cantor集的外测度为 .26(Fatou引理)设是可测集上一列非负可测函数,则 .二、判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 若可测, 且,则.设为点集, , 则是的外点. 点集的闭集.任意
3、多个闭集的并集是闭集.若,满足, 则为无限集合.6. 若与它的真子集对等,则一定是有限集 7. 凡非负可测函数都是可积的 8.设为空间中一非空集,若则 9.设为可测集,则存在型集,使得,且 10.在上可积,则在可积且 三、 计算证明题1. 证明:2. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明为可数集. 3. 设,且为可测集, .根据题意, 若有 , 证明是可测集.设是集, .求.设函数在集中点上取值为, 而在的余集中长为的构成区间上取值为, , 求.求极限: .7.开集减闭集后的差集为开集,闭集减开集后的差集为闭集8.上全体有理数点集的外测度为零9.设函数
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