常微分公式方程.doc
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1、|常微分方程第一二章考测验试卷(8)班级: 学号: 姓名: 得分:一填空题(10 分)1 称为一阶线性方程,它有积分因子 ,其通解为 。2当 时,方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程。3.方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含 x的积分因子的充要条件是 ,有只含 y的积分因子的充要条件是 。4 称为伯努利方程,它有积分因子 。5 称为黎卡提方程,若它有一个特解 ,则经换 ,可化为伯努利方程。二.求一曲线,是其切线在纵轴之截距等于切点的横坐标。 (10 分)三.出伯努利方程的积分因子。 (15 分)四求下列方程的通解。 (45 分)1 3()0yx2. = d12
2、3x(4ydx+2xdy)+y (3ydx+5xdy)=034 (y-1-xy)dx+xdy=05 =y+sinxdxy6(x y +xy)y =1237(x -1)y +y -2xy+1=028. dx+ dy=03yx4x五证明题。 (20 分)(1) 一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程的解(2) 齐线性方程的任一解的常数倍或任两解之和仍为其解。参考答案|一 填空题。1 =P(x)y+Q(x) e e ( )dydxP)(dxP) cdxeQP)(2 yNM),(),(3 Xyx)(MXNy)(4 enxQPd)(dxPn)(15 y(x)= +z(2Ryxy y二解:设曲线
3、的切点为(x,y) ,设切线的方程为 Y-y=y (X-x), 与坐标轴的交点为(0,y-xy ) , (x- ) y由题意得:y-xy =x, 即 = -1 dx令 =u 得 y=ux 则 =u-1 u=-ln +c 即 =-ln +cxyuxyx方程的通解为 y=cx-xln三解:伯努利方程为: =P (x)y+Q(x)ydxyn两边同乘以 y 得:y = p(x)y +Q(x)nn1则 p(x)y +Q(x)dx- y dy=01= =(n-1)P(x)NxyMnP)(则积分因子为 =e)()(1xP则 y dy= p(x)y +Q(x)dx)(xnn令 (x) =y = y e )()
4、(1xP则 (x)即为伯努利方程的积分因子。四 1解:令 y =tx 则方程化为 t x -x (1-tx)=0 3t -1+tx=0 x= -t y =t( -t )=1- t 3t212|dy=(1- t )d( -t )312dy=(1- t )(- -2t) dt=(2t -t- )dt 2421ty= t - t + +c5则方程的通解为 cttytx12522 解:方程可化为xdy+ ydx+ y dy+3dy-xdx-dx=0 2两边积分即得方程的通解为 xy+ +3y- -x=c 3y2x3解:用 x y 乘以方程两边得 24x y dx+2x yd y +3x y dx+5x
5、 y dy=042534y d x + x dy + y dx +x dy =03d(x y +x y )=0 4235两边积分即得方程的通解为 x y +x y =c42354解:因为 = =-1NM1则 =e =e )(xdx分别乘方程两边得:e (y-1-xy)dx+e xdy=0xx=e x u=xe y+yux)(=e y-xye + (x)= e (y-1-xy) (x)= -e (x)=e xxxxx得 u= e +xye 即方程的通解为 e +xye =c5 解:因为方程为线性方程,所以y=e ( )dxcdx)sin=e ( )e=e (c- )xx2osi方程的通解为 y=
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