【质量管理精品文档】中心极限定理.pptx
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1、及 定理一 设随机变量X1 , X2 , Xn , 相互独立,且 具有相同的数学期望和方差: E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,) 作前 n 个随机变量的算术平均nkknXnY11|limnnYP(1.1) . 1|1|lim1nknnXnP 频率具有稳定性,大量测量值的算术平均值也具有稳定性,这种稳定性就是大数定律的客观背景。则对于任意正数有:当n很大时X1,X2 , Xn的算术平均值.)()()(1211knkkXEXEXEXn接近于这种接近是在概率意义下的接近. 通俗地讲, 在定理的条件下, n个随机变量的算术平均,当n无限增大时将几乎变成一个常数。 设Y1 , Y2 , , Y
2、n是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任意0有, 1|limaYPnn则称序列Y1 , Y2 , , Yn依概率收敛于依概率收敛于a,记为aYPn则连续在点又设函数设,),(),(,bayxgbYaXPnPn).,(),(bagYXgPnn故上述定理一又可叙述为: 定理一定理一 设随机变量 X1,X2 , Xn,相互独立,且具有相同的数学期望和方差: E(Xk) =, D(Xk)=2 (k=1,2,)则序列.11依概率收敛于nkknXnY 定理二定理二 (贝努利定理)设nA是n次独立重复试验中事事件A发生的次数 , p是事件A在每次试验中发生的概率,依概率收敛的序列还有以下的性质则对于任意
3、正数 0,有1| limpnnPAn或(1.2)证证 引入随机变量. 0| limpnnPAn.1,2,k 1 , 0,发生次试验中若在第,不发生,次试验中若在第AkAkXk显然 nA=X1+X2+Xn .由于Xk只依赖于第k次试验,而各次试验是独立的.于是X1 , X2 ,是相互独立的;又由于Xk服从(0-1)分布,故有 E(Xk)=p , D(Xk ) = p(1-p), k=1, 2, , n , . 由定理一有, 1|)(1| lim21pXXXnPnn. 1|limpnnPAn即贝努利定理表明事件A发生的频率nA/n依概率收敛于事件的概率p,且以严格的数学形式表达了频率的稳定性。n很
4、大时,事件发生的频率与概率的偏差很小, 故可用频率代替概率。 定理一中要求X1 ,X2 的方差存在。 但服从相同分布的场合,并不需要这一要求,故有以下定理。(辛钦定理) 设随机变量 X1,X2 , Xn,相互独立, 服从同一分布,且具有相同的数学期望 E(Xk)= (k=1,2,),则对于任意正数,有. 1|1| lim1nkknXnP(1.3) 有些随机变量,它们是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成的,而其中每一个别因素在总的影响中所起作用都是很微小的。这种随机变量往往近似服从正态分布。证略。易见贝努利定理是辛钦定理的特殊情况 定理四定理四(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量X1,
5、X2 , Xn,相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望和方差:E(Xk), D(Xk)20(k1, 2,),则随机变量)()(111nkknkknkknXDXEXY的分布函数Fn(x)对于任意x满足lim)(lim1xnnXPxFnkknnnxtdte2221nnXnkk1(2.1)证略。)(xYPxFnn1xnnXPnkk 例例1 1:据以往经验,某种电子元件的寿命服从均值为:据以往经验,某种电子元件的寿命服从均值为100100小时的指数分布,现随机的取小时的指数分布,现随机的取1616只,设它们的寿命是只,设它们的寿命是相互独立的,求这相互独立的,求这16 16 只元件的寿命的总和大于只
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