【质量管理精品文档】中心极限定理.ppt
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1、PPT PPT 文档演模板 文档演模板 Office Office PPT PPT18 五月 2023【质量管理精品文档】中心极限定理PPT PPT 文档演模板 文档演模板 Office Office PPT PPT 定理一 设随机变量X1,X2,Xn,相互独立,且 具有相同的数学期望和方差:E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,)作前 n 个随机变量的算术平均一一 大数定律大数定律 频率具有稳定性,大量测量值的算术平均值也具有稳定性,这种稳定性就是大数定律的客观背景。则对于任意正数 有PPT PPT 文档演模板 文档演模板 Office Office PPT PPT 定理的意义定理的意义
2、:当n很大时X1,X2,Xn的算术平均值这种接近是在概率意义下的接近.通俗地讲,在定理的条件下,n个随机变量的算术平均,当n无限增大时将几乎变成一个常数。设Y1,Y2,Yn是一个随机变量序列,a 是一个常数,若对于任意e0 有则称序列Y1,Y2,Yn依概率收敛于a,记为PPT PPT 文档演模板 文档演模板 Office Office PPT PPT故上述定理一又可叙述为:定理一 设随机变量 X1,X2,Xn,相互独立,且具有相同的数学期望和方差:E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,)则序列 定理二(贝努利定理)设nA是n次独立重复试验中事事件A 发生的次数,p是事件A 在每次试验中发生
3、的概率,依概率收敛的序列还有以下的性质PPT PPT 文档演模板 文档演模板 Office Office PPT PPT则对于任意正数e 0,有或(1.2)证 引入随机变量显然 nA=X1+X2+Xn.由于Xk只依赖于第k次试验,而各次试验是独立的.于是X1,X2,是相互独立的;又由于Xk服从(0-1)分布,故有 E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p),k=1,2,n,.PPT PPT 文档演模板 文档演模板 Office Office PPT PPT 由定理一有即贝努利定理表明事件A 发生的频率nA/n 依概率收敛于事件的概率p,且以严格的数学形式表达了频率的稳定性。n很大时,事件发生的频
4、率与概率的偏差很小,故可用频率代替概率。定理一中要求X1,X2 的方差存在。但服从相同分布的场合,并不需要这一要求,故有以下定理。PPT PPT 文档演模板 文档演模板 Office Office PPT PPT 定理三定理三(辛钦定理)设随机变量 X1,X2,Xn,相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望 E(Xk)=(k=1,2,),则对于任意正数e,有(1.3)二二 中心极限定理中心极限定理 有些随机变量,它们是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成的,而其中每一个别因素在总的影响中所起作用都是很微小的。这种随机变量往往近似服从正态分布。证略。易见贝努利定理是辛钦定理的特殊情况PPT
5、 PPT 文档演模板 文档演模板 Office Office PPT PPT 定理四(独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1,X2,Xn,相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差:E(Xk)=,D(Xk)=20(k=1,2,),则随机变量的分布函数Fn(x)对于任意x满足(2.1)证略。PPT PPT 文档演模板 文档演模板 Office Office PPT PPT 例1:据以往经验,某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机的取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16 只元件的寿命的总和大于1920小时的概率?解:设 Xk 表示第k只元件的寿命(k=1,2,3,.16
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