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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆一学问清单1. 椭圆的两种定义:平面内与两定点F1,F2 的距离的和等于定长2 a2 aF 1F 2的动点P 的轨迹,即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a , 2a|F1F2| ;(2 aF 1F 2时为线段F1F2,2 aF 1F 2无轨迹);其中两定点 F1,F2叫焦点,定点间的距离叫焦距;平面内一动点到一个定点和肯定直线的距离的比是小于1 的正常数的点的轨迹,即点集M=P| PFe,0 e1 的常数;(e1 为抛物线;e1为双曲线)d(利用其次定义, 可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化,定点为焦点,定直
2、线为准线). 2 标准方程:(1)焦点在 x 轴上,中心在原点:x2y21(ab0);a2b2焦点 F1( c,0), F2(c,0);其中ca2b2(一个 Rt 三角形)(2)焦点在 y 轴上,中心在原点:y2x21(ab0);a2b2焦点 F1(0, c),F2(0,c);其中ca2b2留意: 在两种标准方程中,总有a b0,ca2b2并且椭圆的焦点总在长轴上;两种标准方程可用一般形式表示:Ax 2+By 2=1 (A0,B 0,A B),当 AB 时,椭圆的焦点在 x 轴上, AB 时焦点在 y 轴上;3 参数方程: 焦点在 x 轴,xacos(x2为参数)(a b0)有以下性质:ybs
3、in4 一般方程:Ax2By21 A0 ,B0y215. 性质: 对于焦点在x 轴上,中心在原点:a2b2坐标系下的性质: 范畴: |x| a, |y| b; 对称性: 对称轴方程为 x=0,y=0,对称中心为 O(0,0); 顶点: A1(-a ,0), A2( a,0), B1(0,-b ),B2(0,b),长轴 |A 1A2|=2a ,短轴 |B 1B2|=2b ;( a 半长轴长, b 半短轴长); 椭圆的准线方程:对于x22y221,左准线l1:xya2;右准线l2:xya2a2b2cc1,下准线l1:a2;上准线l2:a2对于y ax2b2cc1 名师归纳总结 - - - - -
4、- -第 1 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 焦点到准线的距离pa2ca2cc2b2(焦参数)cc椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称 焦半径公式: P( x0,y0)为椭圆上任一点; |PF1|=r左=a+ex0,|PF2|=r右=a-ex0;|PF1|=r 下=a+ey0,|PF 2|=r上=a-ey0 PFmaxac ,PFminac,左加右减,上减下加 通径: 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径,通径最短=2b2a平面几何性质: 离心率: e=cc21b2(焦距与长轴长之比)01,; e
5、越大越扁,e0是圆;aa2a2 焦准距pb2;准线间距2accB2F2,A 1PA2maxA 1B2A2 两个最大角F 1PF2maxF 1焦点在 y 轴上,中心在原点:y2x21(a b0)的性质可类似的给出;a2b26焦点三角形 应留意以下关系:1 定义: r 1r 22a2 余弦定理:1r 22r 2r 1r 2cos2 c 23 面积:S PF 1F 21 r 1r 2 sin1 2 c| y0 |= c | y0 |= b 2 tan2 2 2 其中 P x 0, y 0 为椭圆上一点,|PF1| r1,|PF2| r2,F1PF22 2 2 27. 共焦点的椭圆系设法:把椭圆 x2
6、 y2 1(a b0)的共焦点椭圆设为2 x2 y 1 b 2a b a b8. 特殊留意:椭圆方程中的 a,b,c,e 与坐标系无关 , 而焦点坐标 , 准线方程 , 顶点坐标 , 与坐标系有关 . 因此确定椭圆方程需要三个条件 : 两个定形条件 a,b, 一个定位条件焦点坐标或准线方程 . 9. 弦长公式:AB1k2x 1x 211y 1y 21k2ax 1x 2cb(a,b,c为ak2x x 2a方程的系数考点 1 椭圆定义及标准方程题型 1: 椭圆定义的运用 例 1 湖北部分重点中学 2022 届高三联考 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点动身的光2 名师归纳总结 - - - -
7、- - -第 2 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为 2c,静放在点A的小球(小球的半径不计),从点 A沿直线动身,B D 经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时,小球经过的路程是yA4a B 2a c C2a+c D以上答案均有可能P 解析 按小球的运行路径分三种情形: C 1ACA, 此时小球经过的路程为2a c; A Ox2ABDBA, 此时小球经过的路程为2a+c; Q 3APBQA此时小球经过的路程为4a, 应选 D 【名师指引】考虑小球
8、的运行路径要全面【新题导练】1. 短轴长为 5 ,离心率 e 2的椭圆两焦点为 F1,F2,过 F1作直线交椭圆于 A、B 两点,就ABF23的周长为()A.3 B.6 C.12 D.24 解析 C. 长半轴 a=3, ABF2 的周长为 4a=12 2 22. 已知 P 为椭圆 x y1 上的一点,M , N 分别为圆 x 3 2y 21 和圆 x 3 2y 24 上的25 16点,就 PM PN 的最小值为()A 5 B 7 C 13 D 15 解析 B. 两圆心 C、D恰为椭圆的焦点,| PC | | PD | 10, PM PN 的最小值为 10-1-2=7 题型 2 求椭圆的标准方程
9、 例 2 设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为424,求此椭圆方程. y21. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“ 描述” 出来 解析 设椭圆的方程为x2y21或x2y21 ab0,a2b2b2a2bc就ac421,a2b2c2解之得:a42,b=c 4. 就所求的椭圆的方程为x2y21或x232161632【名师指引】精确把握图形特点,正确转化出参数a,b ,c的数量关系警示易漏焦点在y 轴上的情形【新题导练】3. 假如方程 x 2+ky2=2 表示焦点在y 轴的椭圆,那么实数k 的取值范畴是 _. 3
10、名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 0,1. 椭圆方程化为x2+y2=1. 焦点在 y 轴上,就2 2,即 k0, 0k0 (* )x1x22km k 22 , x1x2m 2122x1x2 2x2 AP3 PB x1 3x2 2x1x2 3x 2消去 x2,得 3(x1x2)24x1x20,3(2kmk 22 )2 4m k 21220 整理得 4k 2m 22m 2 k 2 20 2m 214时,上式不成立;m 214时, k 222m4m 21,22 2m 1 1因 3 k 0 k 24m 2 10, 1
11、m2或 2m2m 22 成立,所以( * )成立1 1即所求 m的取值范畴为(1,2)(2,1)【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一,应充分重视向量的功能例 7椭圆x2y21 ab0上一点 P 向 x 轴引垂线 , 垂足恰为椭圆的左焦点F , A为椭圆的右a2b2顶点, B 是椭圆的上顶点, 且uuuv ABuuuv OP0. 、求该椭圆的离心率. 、如该椭圆的准线方程是x2 5,求椭圆方程 . 解析 、 Quuuv ABuuuv OP,AB OP ,PF O BOA, PF 1FO 1cPF 1bc,BOOAaa又Pc y , c2PF 11PF 1b2,bc , a2b
12、2a2而a2b2c2a22 c2e2. 2、Qx2 5为准线方程,a22 5a22 5 c, c由a2c2 5 c2a210所求椭圆方程为x2y21b22 bc2 b5105a【新题导练】7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 14. 设过点Px ,y的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点,点 Q 与点 P 关于 y轴对称, O 为坐标原点,如BP02 PA,且OQAB1,就 P 点的轨迹方程是() B. 3x23y21x0 ,y0 A. 3x23y21x0,y22C. 3x23y21x0 ,y
13、0 D. 3x23y21x0 ,y022x,y 3x2 解析 AB3x3,y,OQ3y21,选 A. 2215. 如图,在 Rt ABC中, CAB=90 ,AB=2,AC=2 ;一曲线 E过点 C,动点 P 在曲线 E 上运动,2且保持 | PA|+| PB| 的值不变,直线 l 经过 A与曲线 E交于 M、N两点;(1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程;(2)设直线 l 的斜率为 k,如 MBN为钝角,求 k 的取值范畴;解:(1)以 AB所在直线为 x 轴, AB的中点 O为原点建立直角坐标系,就 A( 1,0),B(1,0)由题设可得|PA|PB|CA|CB|22 222232N2
14、,222222动点 P 的轨迹方程为x2y21 ab0,a2b2x 1Mx 1,y1,x2y就a2,c1 . ba2c21曲线 E 方程为x2y2,y1,设12kx1 ,设M( 2)直线 MN的方程为y由yk x21得 0 12 k2x24 k2x2 k210x22y28k280方程有两个不等的实数根x1x2x 124k22,x 1x22k2k1x 21 k2x 11 x 11 2k122BM,1y 1,BNx2,1y2BMBNx 1x 11 x 21 y 1y2x 11 1k2x 2k21 x 1x21k28 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 -
15、- - - - - - - - 1k22k2k1 k21 14k221k27k2k11222k122 MBN是钝角BMBN007即7k2112 k2k解得:7 77又 M、B、N三点不共线k070,0 ,7综上所述, k 的取值范畴是77二典型例题考点 1 椭圆定义及标准方程题型 1: 椭圆定义的运用例 2. 点 P 为为椭圆x2y21 ab0上一点, F1、F2是椭圆的两个焦点,试求:PF 1PF 2取2b2a得最值时的P 点坐标;题型 2 求椭圆的标准方程例 3. 设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为424,求此椭圆方程.
16、 考点 2 椭圆的几何性质题型 1: 求椭圆的离心率(或范畴)例 4. 在ABC中,A300|,AB|2 ,SABC3如以A,B为焦点的椭圆经过点C ,就该椭圆的离心率e题型 2: 椭圆的其他几何性质的运用(范畴、对称性等)9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5. 已知实数x,y满意x2y21, 求x2y2x的最大值与最小值42考点 3 椭圆的最值问题题型 1: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值例 6. 椭圆x2y21上的点到直线l:xy90的距离的最小值为_169题型 2. 一、的最值,P 是 C
17、上的一个动点,F 是 C的一个焦点, e 是 C的离心率,求如 A 为椭圆内肯定点(异于焦点)的最小值;例 7. 已知椭圆的最小值;内有一点 A( 2,1), F 是椭圆 C的左焦点, P 为椭圆 C上的动点,求二、的最值如 A 为椭圆 C内肯定点(异于焦点) ,P 为 C上的一个动点,F 是 C的一个焦点,求的最值;例 8 已知椭圆 内有一点 A( 2,1),F 为椭圆的左焦点, P 是椭圆上动点, 求的最大值与最小值;10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、的最值如 A 为椭圆 C外肯定点,为 C的一条准
18、线, P 为 C上的一个动点, P 到的距离为 d,求的最小值;例 9. 已知椭圆外一点 A(5,6),为椭圆的左准线,P 为椭圆上动点,点P 到 的距离为 d,求的最小值;四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例 10. 定长为的线段 AB的两个端点分别在椭圆上移动,求AB的中点 M到椭圆右准线 的最短距离;考点 4 直线与椭圆相交问题 题型 1 直线与椭圆相交求弦长 1 常用分析一元二次方程解的情形,仅有 仍不够,且用数形结合的思想;2 弦的中点,弦长等,利用根与系数的关系式,但0 这一制约条件不同意;AB1k2x 1x 28x112y 1y 21k2ax 1x 2cb(a,b,c为方程的
19、系数)ak2x x 2例 11. 已知直线 l 过椭圆2a9y72的一个焦点, 斜率为 2,l 与椭圆相交于M、N两点,求弦 MN的长;11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题型 2“ 点差法” 解题; “ 设而不求” 的思想;当涉及至平行法的中点轨迹,过定点弦的中点轨迹,过定点且被定点平分的弦所在直线方程,用“ 点差法” 来求解;步骤: 1. 设 Ax1,y1 Bx2,y 2 分别代入椭圆方程;x 1x 22b2x 02. 设px0y0为 AB的中点;两式相减,y 1y 2b 2x 1x 2a2y 1y 2a
20、2y03. 得出ky 1y2x 1x2KOMb注:一般的,对椭圆x2y21 上弦 AB 及中点, M ,有KABa2b2a2例 12. 已知椭圆x2y21, 求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程2考点五 . 轨迹问题这一问题难,但是解决法特别多,有如下几种;1. 直接法:依据条件,建立坐标系,设动点x ,y ,直接列出动点所应满意的方程;2. 代入法:一个是动点Qx0,y 0 在已知曲线Fx,y=0 ,上运动,而动点Px,y 与 Q点满意某种关系,要求P 点的轨迹;其关键是列出P、Q两点的关系式x0fx ,yyoyx ,y3. 定义法:通过对轨迹点的分析,发觉与某个圆锥曲线的定义相符,就通过这
21、个定义求出方程;4. 参数法:在x,y 间的方程 Fx,y=0难以直接求得时,往往用xftt 为参数 来反映yy tx,y 之间的关系;常用的参数有斜率k 与角等;4 9,求顶点 A的轨迹方例 13:ABC 的一边的的顶点是B0,6 和 C0,-6,另两边斜率的乘积是程:基础训练 A 组1椭圆2x23y26的焦距是()32A2 B2 32C25D22F1、F2是定点, |F 1F2|=6 ,动点 M满意 |MF1|+|MF 2|=6 ,就点 M的轨迹是()12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - A椭圆B直线C线段
22、D圆3P 是椭圆x2y21上一点, P 到右焦点 F2 的距离为 1,就 P 到相应左焦点的准线距离为()4A3B233C3D23624如椭圆经过原点,且焦点为F1(1,0),F2(3,0),就其离心率为()A3B2C1D143244如椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短是距离为 3 ,这个椭圆方程为()2 2 2 2Ax y 1 Bx y 112 9 9 122 2 2 2Cx y 1 或 x y 1 D以上都不对12 9 9 126离心率 e 1,一个焦点是 F 0 , 3 的椭圆标准方程为 _ . 27与椭圆 4 x 2 + 9 y 2
23、= 36 有相同的焦点 , 且过点 3, 的椭圆方程为 _2 28. 设双曲线 x2 y2 1(a0,b 0)的渐近线与抛物线 y=x 2 +1 相切,就该双曲线的离心率等于a b_ 29. 已知椭圆 C : xy 21 的右焦点为 F , 右准线为 l ,点 A l ,线段 AF 交 C 于点 B ,如2uuur uuur uuuurFA 3 FB , 就 | AF | =_ 10已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e 2,短轴长为 8 5,求椭圆的方程32 211已知 A、B 为椭圆 x2 + 25 y2 =1 上两点, F2 为椭圆的右焦点,如 |AF2|+|BF2|= 8 a,AB中点到椭a 9 a 5圆左准线的距离为 3 ,求该椭圆方程22 212. 求椭圆 x2 y2 1 a b 0 的内接矩形面积的最大值a b13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13. 已知圆x2y2,从这个圆上任意一点P 向 y 轴作垂线段 ,求线段 的中点 M的轨迹 . 14. (2022 全国卷文)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: x2y21ab0的离心率为3 3,过右焦点F 的直线 l 与 C 相交于 A
限制150内