复变函数目标检测练习学习册-2010.doc
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1、|练习一 复数及其代数运算、复数的几何表示一、填空题1 4 i2 Arg = arg i i1i13.已知 z= ,则 = argz= i13z4.将 z=cos + isin 表示成三角形式为 表示成指数形式为 5Argz= argz= 5. i 的三角表示形式为 ,指数表示形式为 3二分别就 0 与- - 两种情形将复数 z=1 - cos + isin 化成三角形式与指数形式,并2求它的辐角主值。三利用复数表示圆的方程 a 2+y2 + bx + cy + d = 0,其中 a , b , c , d 是实常数。0x四求下列方程所表示的曲线 z + = 1i1izz z = 42五证明若
2、 z1 + z2 + z3 = 0 且 1 = 2 = 3 =1,则点 z1 , z2 , z3为一内接单位圆的等边三角形的顶点。z若 z1 + z2 + z3 + z4 = 0 且 1 = 2 = 3 = 4 ,则点 z1 , z2 , z3 , z4或者为一矩形的顶点,或者两两重合。练习二 复数的乘幂与方根、区域一、填空题1 (1i) 3(1i) 3 2 3z 11),又若封闭曲线 C 不通过每一点 z ,则积n1nij i分 能取 个不同的值。cnzfd)(4 dz 21z5 3sinzdzdz 2siz二求积分 dz 其中 C 为正向圆周:czie)( 43iz三求函数 沿正向圆周 C
3、: 的积分值,设圆周 C 的圆心分别在:12z10z(1)z =1; (2) z = ; (3) z =-1; (4) z =-i0000四设 f(z)= 213dz(1)试证 f(1)=4 i(2)当 时,试求 f(z)之值2z练习八 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系一填空题1 2)(zzde2 12sinz3如果二元实变函数 f(x,y)在区域 D 内具有二阶连续偏导数,并且满足 ,那么称 f(x,y)为区域 D 内的调和函数。4区域 D 内的解析函数的虚部 (是,不是)实部的共轭调和函数,实部 (是,不是)虚部的共轭调和函数。二设 C 是不通过 z 的简单闭曲线,试求 g(z
4、 )= 的值。0 0cz3024)(三求积分 的值,若 C 为正向圆周:dzc2)1(sin(1) (2) (3)z2z312z四已知 为调和函数,求满足 f(2)=-i 的解析函数 f(z)=u+ivyxu)1(练习九 复数项级数 幂级数一选择题1下列数列极限不存在的是( )A B. C. D.ni1nni)21(ine2inne212下列结论正确的是( )A每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛B每一个幂级数收敛于一个解析函数C每一个在 z 连续的函数一定可以在 z 的领域内展开成幂级数0 0D在收敛圆内,幂级数的和函数是解析函数3下列级数绝对收敛的是( )A B. C. D.1ni2l
5、ni08)56(nni12)(nni4.下列级数收敛半径为 的是( )e1A B. C. D.0)1(nnzi1niz0)(cosnzi1)(nz5 =( )nlimA0 B. C.1 D. 为 0 为 为 1 时不存在11二下列级数是否收敛?是否绝对收敛?(1) (2) (3) (4)1nni1)(nni12cos)(nni1ni三设级数 收敛,而 发散,证明 的收敛半径为 10nC0n nzC0练习十 泰勒级数 洛朗级数一将函数 f(z)= 展开成 z 的幂级数,写出它的收敛圆周。32z二求函数 在点 z -1 处的泰勒展开式,并指出它的收敛半径。210三 (1)求函数 f(z)= 在以
6、z0 为中心,由它的奇点互相隔开的各个不同圆环域内的洛朗展开式。21z(2)求函数 f(z)= 在以 z1 为中心的圆环域:2 内的洛朗展开式。310z练习十一 孤立奇点一选择题1Z0 是函数 的( )zsinA可去奇点 B.一级极点 C.本性奇点 D.解析点2z1 是 f(z)= 的( )32)1(zA可去奇点 B.三级极点 C.本性奇点 D.二级极点3z1 是 f(z) 的( )13zA一级零点 B.三级零点 C.一级极点 D.三级极点4z0 是函数 f(z)= 的 级极点zsinA一级 B.二级 C.三级 D.四级5 是 f(z)= 的( )1zA可去奇点 B.一级极点 C.本性奇点 D
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