第二章《有理数及其运算》例题复习.doc
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1、第二章 有理数及其运算-掌门1对1下列给出的各数,哪些是正数?哪些是负数?哪些是整数?哪些是分数?哪些是有理数?-8.4,22,+,0.33,0,-,-9由于实际生活中存在着许多具有相反意义的量,因此产生了正数与负数正数是大于0的数,负数就是在正数前面加上“-”号的数0既不是正数,也不是负数,0可以表示没有,也可以表示一个实际存在的数量,如0在小学里我们已经学过自然数0,1,3,4,5自然数是人类历史上最早出现的数。自然数在计数和测量中有着广泛的应用,如5年后建成通车,日通车量为8万辆,全长36千米等。人们还常常用自然数来给事物标号和排序,如城市的公共汽车路线,门牌号码,邮政编码,上述报道中的
2、2003年,第一座跨海大桥等。计数简单的理解,可以看成用来统计的结果的自然数。而测量的结果的自然数是用工具测量。让学生举出一些实际生活的例子,并说明这些自然数起的作用。练习:请学生回答做一做:下列语句中用到的数,哪些属于计数?哪些表示测量结果?哪些属于标号和排序?(1)2002年全国共有高等学校2003所;(2)小明哥哥乘1425次列车从北京到天津;(3)香港特别行政区的中国银行大厦高368米,地上70层,至1993年为止,是世界第5高楼。数轴在此基础上,给出数轴的定义,即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示进而提问学生:在数轴上,已知一点P表示
3、数-5,如果数轴上的原点不选在原来位置,而改选在另一位置,那么P对应的数是否还是-5?如果单位长度改变呢?如果直线的正方向改变呢?通过上述提问,向学生指出:数轴的三要素原点、正方向和单位长度,缺一不可(四)运用举例,变式练习例1、指出数轴上A,B,C,D,E各点分别表示什么数 A D E C B-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5例2、画一个数轴,并在数轴上画出表示下列各数的点:(1)0.5,-,0,-0.5,-4,1.4;(2)200,-150,-50,100,-100.想一想:-4与4有什么相同和不同之处?它们在数轴上的位置有什么关系?-与,-0.5与0.5呢?(五)介绍相反数的
4、概念和性质。如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。比如,-的相反数是,4是-4的相反数。注意,零的相反数是零。观察归纳得到相反数性质:在数轴上,表示互为相反数(零除外)的两个点,位于原点的两侧,并且到原点的距离相等。例如,表示-100和100的点分别位于原点的左侧和右侧,到原点的距离都是100个单位长度。例:求5,0,-的相反数,并把这些数及其相反数表示在数轴。问题:大于0的数在数轴上位于原点的哪一侧?小于0的数呢?1、在温度计上显示的两个温度,上边的温度总比下边的温度高,例如,5在-2上边,5高于-2;-1在-4上边,-1高于-4下面的结论引
5、导学生把温度计与数轴类比,自己归纳出来:(1)在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大(2)正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数。2、运用举例,变式练习。例1、观察数轴,能否找出符合下列要求的数,如果能,请写出符合要求的数:(1)最大的正整数和最小的正整数;(2)最大的负整数和最小的负整数;(3)最大的整数和最小的整数;(4)最小的正分数和最大的负分数在解本题时应适时提醒学生,直线是向两边无限延伸的3、课堂练习。例2在数轴上画出表示下列各数的点,并用“”把它们连接起来。4.5,6,-3,0,-2.5,-4通过此例引导学生总结出“正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数”的规律要提醒
6、学生,用“”连接两个以上数时,小数在前,大数在后,不能出现504这样的式子绝对值(一)复习提问:1、下列各数中:+7,-2,-8.3,0,+0.01,-,1,哪些是正数?哪些是负数?哪些是非负数?2、什么叫做数轴?画一条数轴,并在数轴上标出下列各数:-3,4,0,3,-1.5,-4,23、问题2中有哪些数互为相反数?从数轴上看,互为相反数的一对有理数有什么特点?4、怎样表示一个数的相反数?(二)绝对值概念+5的绝对值是5,在数轴上表示+5的点到原点的距离是5;-4的绝对值是4,在数轴上表示-4的点到原点的距离是4;+0.01的绝对值是0.01,在数轴上表示+0.01的点到原点的距离是0.01;
7、-0.02的绝对值是0.02,在数轴上表示-0.02的点它到原点的距离是0.02;0的绝对值是0,表明它到原点的距离是0.一般地,一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离.为了方便,我们用一种符号来表示一个数的绝对值,约定在一个数的两旁各画一条竖线来表示这个数的绝对值。如+5的绝对值记作+5,显然有+5=5;-0.02的绝对值记作-0.02,显然有-0.02=0.02;0的绝对值记作0,也就是0=0.a的绝对值记作a,(提醒学生a可以是正数,也可以是负数或0)例2:求下列各数的绝对值:-1.6,0,-10,+10.由例2学生自己归纳出:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相
8、反数;0的绝对值是0.这也是绝对值的代数定义,把绝对值的代数定义用数学符号语言如何表达?把文字叙述语言变换成数学符号语言,这是一个比较困难的问题,教师应帮助学生完成这一步。1、用a表示一个数,如何表示a是正数,a是负数,a是0?由有理数大小比较可以知道:a是正数:a0;a是负数:a0;a是0:a=02、怎样表示a的本身,a的相反数?a的本身是自然数还是a,a的相反数为-a.现在可以把绝对值的代数定义表示成.如果a0,那么=a;如果a0,那么=-a;如果a=0,那么=0由绝对值的代数定义,我们可以很方便地求已知数的绝对值了.练习:求8,-8,-,0,6,-,-5的绝对值.例3:求绝对值等于4的数
9、。分析:因为数轴到原点的距离等于4个单位长度的点有两个,即表示+4的点和表示-4的点,所以绝对值等于4的数是+4和-4.(三)课堂练习1、下列哪些数是正数?-2,-,-(-2),-2、计算下列各题:|-3|+|+5|; |-3|+|-5|; |+2|-|-2|; |-3|-|-2|;|-|-|; |-|-2|; |-|。(四)师生共同探索利用绝对值比较负数大小的法则。1、利用数轴我们已经会比较有理数的大小。由上面数轴,我们可以知道-4-30.43,其中-4,-3都是负数,它们的绝对值哪个大?显然|3|引导学生得出结论:两个正数比较,绝对值大的数大;两个负数比较,绝对值大的反而小。这样以后在比较
10、负数大小时就不必每次再画数轴了.2、运用举例,变式练习:、比较-4与-|3|的大小.、已知ab0,比较a,-a,b,-b的大小.、比较-与-的大小.(五)课堂练习(1)比较下列每对数的大小:与;|2|与;-与;与.(2)比较下列每对数的大小:-与-;-与-;-与-;-与-.1、填空:(1)+3的符号是_,绝对值是_;(2)-3的符号是_,绝对值是_;(3)-的符号是_,绝对值是_;(4)10-5的符号是_,绝对值是_ _.2、填空:(1)符号是+号,绝对值是7的数是_;(2)符号是-号,绝对值是7的数是_;(3)符号是“-”号,绝对值是0.35的数是_;(4)符号是+号,绝对值是1的数是_;3
11、、(1)绝对值是的数有几个?各是什么?(2)绝对值是0的数有几个?各是什么?(3)有没有绝对值是-2的数?数轴及绝对值作业讲评提纲1、 画数轴时不能忘记正方向,单位长度要取成一致,负数的排列要正确,数轴的三要素缺一不可。2、 相反数的表示不正确,如:3的相反数是-3错误的表示为:3=-3.3、 相反数与倒数混淆了。4、 错误地认为,推出。5、 对绝对值的定义和求法以及用字母表示数掌握不好。如误认为:若,则0(为正数);事实上0(为正数或0)。若,则0(为负数);事实上0(为负数或0)。表示正数,-表示负数。事实上、-都可表示任意有理数,即:可以是正数、0、负数。练一练 1、计算下列各式:(1)
12、 (-25)+(-7); (2)(-13)+5;(3) (-23)+0; (4)45+(-45)。判断:绝对值最小的数是0。 ( )一个数的绝对值一定是正数。 ( )一个数的绝对值不可能是负数。 ( )互为相反数的两个数,它们的绝对值一定相等。 ( )一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上离原点越近。 ( )选择:任何一个有理数的绝对值一定( ) 、大于 、小于 、小于或等于 、大于或等于一个数在数轴上对应的点到原点的距离为,则这个数为( ) 、 、 、 、3、填空:|2|= _,|-2|= _.若,则.若|a|=0, 则a= _|-(1/2)|的倒数是,的相反数是.的相反数的绝对值是.有理数
13、的加法探究有理数的加法法则并加以应用知识点一:有理数的加法法则法则:(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加 (2)异号两数相加 ,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。(3)一个数同0相加,仍得这个数解读:用数字符号表示法则:(1) 若a0,b0,则a+b=(2) 若a0,b0,b0,b0,b0,且,则a+b=0(6) 若a=0,则a+b=b知识点二 有理数的加法步骤解读:(1)确定和的符号(2)求加数的绝对值;(3)确定两个数的绝对值的和或差;例题解析:例1 计算下列各题;(1)(+2)+(+10) (2)(-2)+(+10)
14、(3)(+2)+(-10)(4)(-2)+(+10) (5)(-10)+0 (6)(-2)+(+2)(7) 180+(-10) (8)(-10)+(-1) (9)5+(-5) 例2计算:教学反思:在有理数的加法法则的探究中,对异号两数相加的算理是有理数加法的难点,在进行有理数的加法运算时,应先判断两个加数是同号还是异号,在确定用哪一条法则进行计算。 有理数加法的运算律知识点一 有理数加法的运算律运算律:(1)加法交换律:a+b=b+a(2)加法结合律:(a+b+c=a+(b+c)=(a+c)+n解读:灵活运用加法的运算律,可以使运算简便,通常有下列情形:(1) 互为相反数的两个数,可先相加得0
15、 ;(2) 几个数相加得整数时,可先相加0;(3) 同分母的分数可以先相加;(4) 符号相同的数可以先相加(5) 若有小数,能凑整的先加;(6) 两个带分数相加,可以把整数部分与分数部分分别要加。例题解析:例1 计算:(1)(-18)+12+(-15)+18+6+3(2)(-3.6)+(+2.7)+(-0.4)+(+1.3)+()例2 检修小组从A地出发,在东西路上检修线路,如果规定向东行驶为正,向西行驶为负,一天中行驶记录如下(单位:km)-4 , +7 , -9 , +8 , +6 ,-4 , -3(1)求收工时跑A地最远?(2)在哪次记录时距A地最远?(3)若每千米耗油0.3L,问从出发
16、到收工共耗油多少升?例3 计算: (-201)+75+(-100)例4计算: (+1)+(-2)+(+3)+(-4)+(+99)+(-100)例5 观察下列的排列规律,其中( 是实心球, 是空心球,)从第1个球起到第2004个球上,共有实心球多少个?有理数的减法法则法则: 减去一个数,等于加上这个数的相反数即:a-b=a+(-b)解读:(1)减法是加法的逆运算;(2)有理数的减法运算法则体现了转化的数学思想;把相减的运算转化为相加的运算,在转化中,要同时改变了两个符号:一个是运算符号中“-”变为“+”;(3)有理数的减法中其被减数不能互换,减半没有交换律;(4)0减去一个数得这个数的相反数。知
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