2022年成人高考专升本高等数学二复习教程 .docx
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1、精品_精品资料_高等数学二复习教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1. 函数概念与性质函数的基本性质单调、有界、奇偶、周期几类常见函数复合、分段、反、隐、初等函数2. 极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法就求极限3. 连续函数连续左、右连续与间断懂得并会应用闭区间上连续函数的性质最值、有界、介值二、题型与解法A. 极限的求法 1用定义求 2代入法对连续函数,可用因式分解或有理化排除零因子 3变量替换法 4两个重要极限法 5用夹逼定理和单调有界定理求 6等价无穷小量替换法 7洛必达法就与 Taylor 级数法 8其他微积分性质,数列与级数的性质可编
2、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. limarctan xxlimarctan xx1 等价小量与洛必达 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 ln12 x3 x02 x36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知limsin 6xxf x0,求lim 6f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x3x0x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limsin 6xxf xlim6 cos6xf xxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: x0x 3x03x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
3、lim36 sin 6 x2 yxy lim216 cos 6x3 yxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x02166 x3 y 006x06y 072可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim 6f xlimylimy 7236洛必达可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x2x0 2 xx0 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. lim 2 x x 1重要极限 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 x1a xb x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
4、4. 已知 a、b 为正常数,求 lim x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:令 taxb x2x3 x , ln t023 ln a xxb x ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim ln tlim3ax ln abx ln b3 ln ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0 a xbx2变量替换 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tab3 / 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. lim cos x1ln 1x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下
5、载精品_精品资料_x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:令 t12cos x ln1 x , ln t1ln1x 2 lncos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limln tlimtan x1te1 / 2 变量替换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 设x0f xx连续,02 xf 020, f 00 ,求limx 2f tdt01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 洛必达与微积分性质 lncos x x2 , x0x0 x2xf t dt0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
6、_精品资料_7. 已知f xa, x0在 x=0 连续,求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:令 alimlncosx / x21 / 2连续性的概念 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、补充习题作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. limex1x3洛必达 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x01xcosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. lim ctgx11 洛必达或 Taylor x0sin xxxt
7、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xedt3. lim01洛必达与微积分性质 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x21e其次讲 导数、微分及其应用一、理论要求1. 导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导基本公式、四就、复合、高阶、隐、反、参数方程求导会求平面曲线的切线与法线方程2. 微分中值定理懂得 Roll 、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理睬用定理证明相关问题3. 应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图会运算曲率半径二、题型与解法A. 导数微分的运算基本公式、四就、复合、高阶、隐函数、参数方程求导xarc
8、tan tdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. yy x由 2 yty 2et5 打算,求 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. yy x由ln xyx ysin x 打算,求dy| x 01dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23解:两边微分得x=0 时 yy cos xy ,将 x=0 代入等式得 y=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. yy x由2 xyxy 打算,就dy
9、 |x 0ln 21) dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B. 曲线切法线问题4. 求对数螺线e 在( ,)( e/ 2 ,/ 2处切线的直角坐标方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x e解:y eye / 2cos sin, x, y |x/ 20, e/ 2 ,y|/ 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.fx 为周期为5 的连续函数,它在x=1 可导,在x=0 的某邻域内满意f1+sinx-3f1-sinx=8x+ox.求 fx 在 6,f
10、6 处的切线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:需求f 6,f 6或f1,f 1,等式取 x-0 的极限有: f1=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf 1sin x3 f 1sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin xtlim f 1tf 13 f 1t f 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t04 f 18tf 12t2y2x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. 导数应用问题6.
11、 已知 yf x对一切x满意xf x2x f x1e x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如f x00x00 ,求 x0 , y0 点的性质.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:令 xx 代入, f x ex 0 10, x00,故为微小值点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000ex0 xx30, x00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. yx1 2,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
12、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:定义域x,11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y0y0驻点x拐点x0及x 0.x31:铅垂. yx2:斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 求函数 y x1e/ 2 arctan x 的单调性与极值、渐进线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:yx2x1x2 e/ 2 arctan x驻点 x0与x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
13、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_渐: ye x2与yx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D. 幂级数绽开问题dx9.dx 0sin xt 2 dtsin x21xt 2 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinxt 2 xt 21 xt 63.1 1 n2n1. xt 4n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinxxsinxt 2 dtt 2x31 x3t 31 x7 x3.7t) 71) nx 4n1 n 114n12n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
14、品资料_033.74n12n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxdx 0sinxt 2 dtx21 x63. 1 nx2 2n2n11.sinx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或: xtud0 sin u 2 dx xdudxdx 0sin u2dusin x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 求f xx 2 ln1x在x0处的n阶导数 f n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: x 2 ln1xx2 xxx2323
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