矩阵的相似对角化.ppt
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1、线性代数下页结束返回矩阵的相似对角化 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望线性代数下页结束返回2.1 2.1 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质 定义定义2 设设A,B为为n阶矩阵阶矩阵,如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵P,使得使得 P-1AP B成立成立,则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似,记为记为AB.例如例如,5-1 3 1A=0-2 4 0B=,1-5 1 1P=,因为因为 1-5 1 1-1 1-5-116=-P-1AP 5-1 3 1 1-5 1
2、 1 2-2-20-416=-0 12-24 0=-16 0-2 4 0=,所以所以AB.相似关系是矩阵间的一种等价关系,满足相似关系是矩阵间的一种等价关系,满足 自反性:自反性:A A 对称性:对称性:若若AB,则则BA 传递性传递性:若若AB,BC,则则 AC下页线性代数下页结束返回 定理定理1 如果矩阵如果矩阵A与与B相似相似,则它们有相同的特征多项则它们有相同的特征多项式式,从而有相同的特征值从而有相同的特征值.证明:证明:因为因为P-1AP B,A与与B有相同的特征多项式有相同的特征多项式,|l lE-B|P-1(l lE)P-P-1AP|l lE-P-1AP|P-1(l lE-A)
3、P|P-1|l lE-A|P|l lE-A|,所以它们有相同的特征值所以它们有相同的特征值.下页 定义定义2 设设A,B为为n阶矩阵阶矩阵,如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵P,使得使得 P-1AP B成立成立,则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似,记为记为AB.2.1 2.1 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质 线性代数下页结束返回 相似矩阵还具有下述性质:相似矩阵还具有下述性质:(1)相似矩阵有相同的秩;相似矩阵有相同的秩;(r(A)=r(B)(2)相似矩阵的行列式相等;相似矩阵的行列式相等;(|A|=|B|)(3)相似矩阵的迹相等;相似矩阵的迹相等;(tr(A)=tr(B)(4)相似矩阵或都可逆
4、或都不可逆相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时,它们当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似的逆矩阵也相似.下页 定理定理1 如果矩阵如果矩阵A与与B相似相似,则它们有相同的特征多项则它们有相同的特征多项式式,从而有相同的特征值从而有相同的特征值.易见,|A|=|B|,且B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P.线性代数下页结束返回注意:有相同特征值的同阶矩阵未必相似注意:有相同特征值的同阶矩阵未必相似反例反例注意:单位矩阵只能和它自己相似注意:单位矩阵只能和它自己相似线性代数下页结束返回解解:由于由于A和和B相似,所以相似,所以Tr(A)=Tr(B),|A|=|B|
5、,即即 解解:由于矩阵由于矩阵A和和D相似相似,所以所以|A|=|D|,即即|A|=|D|12.下页 例例1.若矩阵若矩阵相似,求相似,求x,y.解得解得例例2.设设3阶方阵阶方阵A相似于相似于,求求|A|.线性代数下页结束返回 定理定理2 n阶矩阵阶矩阵A与与n阶对角矩阵阶对角矩阵 LLdiag(l l1 1,l l2 2,l ln)相似的充分必要条件为矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.必要性必要性.设存在可逆矩阵设存在可逆矩阵P(x x1,x x2,x xn)使使 P-1APLL,则有则有可得可得 Ax xi l lix xi (i 1,2,n)
6、.因为因为P可逆可逆,所以所以x x1,x x2,x xn 都是非零向量都是非零向量,因而都是因而都是A的特征向量的特征向量,并且这并且这n个特征向量线性无关个特征向量线性无关.l l1 10 00l l2 2 000 l ln A(x x1,x x2,x xn)(x x1,x x2,x xn),证明:证明:=(l l1 1 x x1,l l2 2 x x2,l lnx xn)2.22.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件阶矩阵与对角矩阵相似的条件下页(Ax x1,Ax x2,Ax xn)引理:引理:n阶方阵阶方阵Adiag(l l1 1,l l2 2,l ln)则)则l l1 1,l l2 2,
7、l ln是是A的特征值的特征值线性代数下页结束返回 充分性充分性.设设x x1,x x2,x xn为为A的的n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,它们所对应的特征值依次为它们所对应的特征值依次为l l1,l l2,l ln,则有则有 Ax xi l lix xi (i=1,2,n).令令 P(x x1,x x2,x xn),则则(l l1x x1,l l2x x2,l ln x xn)A(x x1,x x2,x xn)(Ax x1,Ax x2,Ax xn)AP (x x1,x x2,x xn)l l1 10 00l l2 2 000 l ln PL L.因为因为x x1,x x2,x x
8、n线性无关线性无关,所以所以P可逆可逆.用用P-1左乘上式两端得左乘上式两端得 P-1APLL,即矩阵即矩阵A与对角矩阵与对角矩阵L L相似相似.下页线性代数下页结束返回 定理定理2 n阶矩阵阶矩阵A与与n阶对角矩阵阶对角矩阵 LLdiag(l l1 1,l l2 2,l ln)相似的充分必要条件为矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.讨论:讨论:根据定理证明,怎样取可逆矩阵根据定理证明,怎样取可逆矩阵 P及对角矩阵及对角矩阵L L?提示:提示:设设 1,2,n为为A 的的 n个线性无关特征向量,它们所个线性无关特征向量,它们所对应的特征值依次为对应的特
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- 矩阵 相似 角化
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