5.2 矩阵的相似对角化(精品).ppt
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1、5.2 5.2 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化 5.2.1.相似矩阵的基本概念相似矩阵的基本概念 5.2.2.矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化 5.2.3.可相似对角化矩阵的应用可相似对角化矩阵的应用5.2.1 5.2.1 相似矩阵的基本概念相似矩阵的基本概念定义定义矩阵相似是一种矩阵相似是一种等价关系等价关系.定理定理相似矩阵有相似矩阵有相同的相同的特征多项式、特征多项式、相同相同特征特征值、值、相同相同的迹、的迹、相同相同的行列式、的行列式、相同相同的秩的秩.证明证明A与与B特征多项式相同特征多项式相同,因而特征值相同因而特征值相同.相似矩阵的性质:相似矩阵的性质:例例因此,因此,x=0
2、,y=-2.解解通过计算,可知通过计算,可知 2 是是 A 的一个特征值的一个特征值(1)相似矩阵或者都可逆,或者都不可逆相似矩阵或者都可逆,或者都不可逆.当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似.关于相似矩阵的一些其它性质:关于相似矩阵的一些其它性质:(2)若若A与与B相似,则相似,则kA与与kB相似相似.与与单位矩阵相似单位矩阵相似的的n阶矩阵只有单位阵阶矩阵只有单位阵I本身本身.与与数量矩阵数量矩阵kI 相似的相似的n阶方阵只有数量阵阶方阵只有数量阵kI本身本身.怎样方便地计算方阵怎样方便地计算方阵 A 的幂次的幂次?容易容易得到得到问题:问题:(1)(1)什么样
3、的矩阵可以与对角矩阵相似?什么样的矩阵可以与对角矩阵相似?(2)(2)怎样求出对角矩阵?怎样求出对角矩阵?(3)(3)怎样求可逆阵怎样求可逆阵 P P?定理定理5.2.2 5.2.2 矩阵的矩阵的相似对角化相似对角化证证定理定理 n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵相似的与对角矩阵相似的充分必要条件充分必要条件是是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.证证(1)若若 A 可可相相似似对对角角化化,则则 的的主主对对角角元元是是 A 的的全部特征值全部特征值.(2)若若 A 可可相似相似对角化,则对角化,则由由 A 的的 n 个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量 p1,p2,
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