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1、 分类号 U D C . 申请人:刘婷婷 学 号: 2131058 培养单位:数学科学学院 学科专业:数学 研究方向:复杂系统与生物网络 指导教师:张显教授 黑龙江大学硕士学位论文 中文摘要 基因调控网络是由细胞中参与基因调控的 DNA、 RNA、 蛋白质以及代谢中间 物所形成的相互作用的网络,是生物数学研究的一个重要领域 .在基因调控网络模 型中, Markov 链也作为一种转换机制被广泛的应用于模型当中 .Markov 跳跃参数 的最大优点是它能模拟系统结构上的变化,如组件的损坏或者修复,突然的环境变 化,子系统内部互相联系的变化等 .因此,带有 Markov 跳跃的动态系统的研宄己经 成
2、为了一个热点课题 .本文的主要研究内容如下: 第一,针对含时变时滞和 Markov 跳跃参数的基因调控网络,研宄这类系统 的渐近稳定性问题 .通过构造 Lyapunov-Krasovskii 泛函,以线性矩阵不等式形 式 (LMI)给出了系统渐近稳定的充分条件 .然后通过数值例子验证了本文所提出的 方法要优越于文 Math. Probl. Engineer., 2012, 2012(4): 351-361中的方法 . 第二,针对含时滞的连续时间和离散时间基因调控网络,研宄这类系统的 全局指数稳定性问题 .首先,对于一类连续时间基因调控网络,通过构造合适 的Lyapunov-Krasovskii
3、 泛函,结合右上 Dini 导数等方法,给出连续时间基因调控网 络模型的全局指数稳定性判据 .其次,通过运用半离散方法和 IMEX - 0 方法,得到 两个离散时间基因调控网络模型 .在与连续时间系统相同的充分条件下,得到两 个离散时间基因调控网络模型也是全局指数稳定的 .与文丨 Appl. Math. Comput., 2013, 220(2): 507-517进行比较,本文给出的稳定性判据具有更弱的保守性 .最后 , 通过两个数值例子来验证结果的有效性 . 关键词:基因调控网络; Markov 跳跃参数;稳定性;线性矩阵不等式 (LMI);半离散 方法 ; IMEX - 0 方法; 黑龙江
4、大学硕士学位论文 Abstract Genetic regulatory networks (GRNs) are the interaction networks of DNAs RNAs proteins and metabolites in cells which are in the regulation process of genes, and they have been one of the important research areas of biological mathematics. In GRNs, Markov chain is widely applied in
5、the model as a kind of transformation mechanism. The biggest advantage of Markov jumping parameters is that they can simulate the changes of system construction, for example, the damage or repaira- tion to components, the sudden change of environments, the change of subsystem connection each other,
6、and so on. Therefore, the research of systems with Markov jumping parameters has been a hot topic. The main contents of the paper are as follows: The first, in allusion to GRNs with time-varying delays and Markovian jumping parameters, we research the asymptotic stability problem of the kinds of sys
7、tems. By constructing appropriate Lyapunov-Krasovskii functional, sufficient conditions for asymptotic stability of the systems are given in the form of linear matrix inequality (LMI). And then, numerical examples have been presented that the method is better than one given inMath. Probl. in Enginee
8、r., 2012, 2012(4): 351-361. The second, in allusion to GRNs with delays in both the continuous-time case and the discrete-time case, the global exponential stability problems are investigated. First, for continuous-time case, by constructing an appropriate Lyapunov-Krasovskii functional and using th
9、e Dini derivative method the global exponential stability criteria are obtained. Second, by using the semi-discretization method and the IMEX 9 method, two discrete-time GRN models are derived. It is shown that under the same sufficient prerequisites, these two discrete-time GRN models are globally
10、exponentially stable. Compared with Appl. Math. Comput, 2013, 220(2): 507-517, it is proved that our method is so much better. Finally, a pair of numerical examples are given to show the validity of the obtained theoretical results. -II- 黑龙江大学硕士学位论文 Keywords: Genetic regularity networks (GRNs); Mark
11、ov jumping parameters; Stability; Linear matrix inequality (LMI); Semi-discretization method; IMEX 6 method. Ill 黑龙江大学硕士学位论文 目录 中文摘要 . I Abstract . II g 录 . IV 符号说明 . VI 第 1 章绪论 . 1 1.1 课题研宄的意义 . 1 1.2 国内外研宄现状及发展趋势 . 2 1.2.1 含 Markov 跳跃参数的基因调控网络研宄 . 2 1.2.2 含时滞的基因调控网络的稳定性问题 . 4 1.3 本文的研宄目标、难点和解决方法 .
12、 5 1.4 本文的主要内容和结构 . 5 第 2 章含时变时滞和 Markov 跳跃参数的连续基因调控网络的稳定性 . . . . 6 2.1 问题描述 . 6 2.2 稳定性判据 . 9 2.2.1 预备知识 . 9 2.2.2 渐近稳定性判据 . 10 2.2.3 数值算例 . 24 2.3 本章结论 . 26 第 3 章含常数时滞的连续时间和离散时间基因调控网络的稳定性 . 28 3.1 模型描述及问题提出 . 28 3.2 连续时间基因调控网络的全局指数稳定性 . 30 3.3 离散时间基因调控网络的全局指数稳定性 . 33 3.3.1 半离散化方法 . 33 3.3.2 IMEX-
13、0 离散化方法 . 36 黑龙江大学硕士学位论文 3.4 数值算例 . 40 组仑 . 51 参 考 文 献 . 52 酬 . 60 攻读学位期间发表的学术论文 . 61 黑龙江大学硕士学位论文 符号说明 如果没有特殊说明,本篇论文将使用下面的符号 . 实数集合 实 n 维向量空间 股 nXm 实数域 M 上所有 n x m 矩阵的集合 In n 阶单位阵 IN 正整数集1,2, . , N AT 矩阵 A 的转置 A-1 矩阵 A 的逆 AnXn n x n 矩阵乂 0 零矩阵 P 0( 0) 矩阵尸为实对称正定 (半正定 )矩阵 diag(i,.,n) 以 4 ., 乂 为对角块的对角块矩
14、阵 col(ai,., an) 把向量 a1;.,排成一列 G 属于 max 最大值 min 最大值 lim 极限 UJ w 的导数 f: 积分 114 向量的 2-范数 dV dt V 对 t 的导数 结束符 黑龙江大学硕士学位论文 第 1 章 绪 论 1.1 课题研究的意乂 Markov 跳跃系统,是一类特别的随机混合动力系统,由 : 和 r 两个组件构 成, 代表状态, r 是完备概率空间风 乃 P)上的连续时间 Markov 链, 并取值于有界集 I# = 2,., #丨 .该系统的数学模型最早是由 Krasovskii 在 1961 年提出的化当时也仅仅作为一个数学分析的算例,并没有
15、实际的应用背景,真 正将其用到实际控制问题中的是 Sworder %他于 1969 年首次从随机最大值原理 的角度讨论了具有 Markov 跳跃参数的混合线性系统的最优控制问题。在随后的 几十年中,Markov 跳 跃 系 统 的 随 机 稳 定 性 问 题 控 制 问 题 得 到 了 较 为 充分的研宄 .尤其是在最近几年,随着线性矩阵不等式方法的不断成熟和广泛应 用, Markov跳跃系统控制问题的理论体系得到了进一步完善 . 目前, Markov 跳跃系统研宄的热点问题一般集中在带有时滞的 Markov 跳跃系 统的稳定性分析、控制器设计、鲁棒滤波、模型降阶等方面 .从现有的研宄成果 看
16、,对于 Markov 跳跃系统的研宄仍是一个较新的科学前沿领域,其研宄的对象与 内容仍有很大的发展空间,它的系统理论和有效方法也有待进一步的完善与发展 . 除此之外,实际系统中随机现象也非常普遍,寻求合适的数学模型和对应控制策略 的需求变得越来越迫切 .因此, Markov 跳跃系统的控制理论和方法的深入研宄,不 仅具有深刻的理论意义,更具有明确的工程实用价值和广泛的应用前景 . 基因调控网络是由细胞中参与基因调控的 DNA、 RNA、 蛋白质以及代谢中间 物所形成的相互作用的网络,是生物数学研宄的一个重要领域 .因为基因调控网络 内部关系错综复杂,不断变化,所以基因调控网络有很多特性,例如复
17、杂性、稳定 性 、动态性、层次性、随机性 . 由于基因调控网络阐述了基因和蛋白质之间的相互作用,所以它在生物学和 生物医学方面扮演着重要的角色 .在基因调控网络的研宄中,为了控制有机体中的 复杂机制、调节生理功能,科学家们已在分子水平上研宄生物系统的发展过程 .于 是,最近有机体的动态行为得到了广泛的关注 . 黑龙江大学硕士学位论文 描述基因调控网络的数学模型主要分为两类,即布尔模型 n, 12l 和微分方程模 型 13, 14.由于微分方程模型能够更详细清晰地阐述系统的非线性行为,最近得到 了更广泛的关注 -171. 在基因调控网络中,由于基因转录、翻译的缓慢过程或是放大器有限的切换 速率等
18、原因,不可避免地会遇到时滞现象 .为了建立更加精确的基因调控网络模型 , 必然要考虑时滞 .时滞的加入可能会导致基因调控网络的不稳定和产生振荡 .但是 当我们有意引入时滞时,这使得一些建立在实际应用基础上的基因调控网络变得 更加有效 .在过去的几十年里,各种具有时滞的生物网络的分析和综合问题己经被 广泛研宄,大量理论研究成果己经问世,其中比较常见的是时滞基因调控网络 .例 如, Tian等在文献丨 18中设计了一类具混合时滞的 Markov 跳跃神经网络的鲁棒观 测器;Balasubramaniam 等在文献 16中研宄了具有区间时滞的 Markov 跳跃不确定 基因调控网络的随机稳定性; L
19、uo、 Ye 和 Cui 在文献丨 19中研宄了带有随机时滞的 基因调控网络的指数稳定性 . 众所周知,大多数的基因网络包含一些种类的转换机制 .在基因网络模型中, Markov 链也作为一种转换机制被广泛的应用于网络模型当中 .Markov 跳跃参数对 动力系统建模有许多优点 .Markov 跳跃参数的最大优点是它能模拟系统结构上的 变化,如组件的损坏或者修复,突然的环境变化,子系统内部互相联系的变化等 .因 此,带有 Markov 跳跃的动态系统已经成为了一个热点课题 . 1.2 国内外研究现状及发展趋势 1.2.1 含 Markov 跳跃参数的基因调控网络研究 许多学者针对含 Marko
20、v跳跃参数的系统模型进行了研宄,并获得了大量的研 宄成果 . 一些学者已经研宄了带有 Markov 跳跃基因调控网络的稳定性问题 2Q_241.文 献丨 20,21研宄了含 Markov 跳跃参数基因调控网络的随机稳定性问题,两个文献 都是基于 Lyapunov-Kr asovskii 泛函稳定性理论和线性矩阵不等式 (LMI)方法来进 行稳定性分析,并且模型中均含有参数波动和胞内噪音干扰;文献丨 22, 23主要研 黑龙江大学硕士学位论文 宄含 Markov 跳跃参数基因调控网络的随机稳定性分析,两个文献的区别在于文 献I22j 的模型中含时变时滞,而文献 I23j 中含离散时滞和分布时滞;
21、 Li 等分析了含 有Markov 跳跃参数随机基因调控网络的时滞相关的全局渐近稳定性运用李亚 普诺夫泛函方法和随机分析方法,在均方意义下获得一个时滞相关的全局渐近稳 定性判据,与其他文献不同的是将基因调控网络线性化,这也是这篇文章的新颖之 处;而在文献丨 25中,作者希望通过可用的测量输出设计一个线性估计量来粗略地 估算 mRNA和蛋白质的真实浓度,因此研宄了含有时变时滞的 Markov 跳跃基因调 控网络的状态估计问题,其中基因调控网络模型中网络参数和模式转换速率均存在 确定性,文中运用 Lyapunov-Krasovskii 泛函等方法,证明了如 果一个线性矩阵不等 式是可行的,则存在一
22、个期望的状态观测器使误差系统在均方意义下全局渐近稳 定 .随着研宄的不断深入,滤波器被引入到基因调控网络中 .Mohammadian 等 设计了含有时变时滞的 Markov 跳跃的基因调控网络的滤波器 26U 乍者的主要 思想是通过建立Lyapunov-Krasovskii 泛函对包含噪音和时变时滞的动态基因调控 网络设计一个模型无关的滤波器 .连续时间模型不断发展的同时 ,一 些学者也在研 宄离散时间模型 .文献丨 27中,研宄了含有 Markov 跳跃参数的离散时间基因调控网 络的无源性判据,在这之前还没有相关文献对带有 Markov 跳跃参数的离散时间基 因调控网络的鲁棒无源性进行分析,
23、这篇文章中考虑了含时变时滞的不确定离散 时间 Markov 跳跃基因调控网络模型,通过建立 Lyapunov-Krasovskii 泛函和应用线 性矩阵不等式方法,研宄系统模型的稳定性,并用数值例子证明了理论结果的有效 性 .2016 年,文章 28研宄了含泄漏包和时变时滞的 Markov 跳跃参数基因调控网络 模型的渐近稳定性;文献丨 29均研宄了含 Markov 跳跃参数和时变时滞的离散时间 随机基因调控网络 H%状态估计问题,文章中为了减少信息传递负担采用了事件驱 动机制,只有当一定的触发条件被满足时测量输出才是估计的 .2015 年,文丨 30研 宄了含随机时滞和 Markov 跳跃参
24、数的基因调控网络的状态观测器设计 .同年,文 献丨 31基于无源性理论研宄了 Markov 跳跃参数基因调控网络模型的鲁棒状态估计 问题 .2014 年,含概率时滞的 Markov 跳跃参数基因调控网络的指数状态估计被研 宄32,而文章丨 33研宄了含 Markov 跳跃参数的基因调控网络的稳定性问题 .目前 对含 Markov 跳跃参数和时变时滞的基因调控 网络模型的稳定性课题研宄还不多, 还留有进一步的研宄空间 . 黑龙江大学硕士学位论文 1.2.2 含时滞的基因调控网络的稳定性问题 有大量的文献尝试研究基因调控网络的动力学特性 .迄今为止,研宄基因调 控网络的模型有许多,主要包括布尔网络
25、模型 34,35味 P 微分方程模型 36-38.布尔网 络模型最早由 Kauffman 于 1969 年引入,在布尔网络模型中每个基因的行为表达为 两种状态:启动或关闭 .状态 “ 启动 ” 表示基因转录表达,而状态 “ 关闭 ” 表示为 基因未转录 .且基因之间的相互作用关系可以由布尔函数决定 39,4.微分方程模 型381 描述的是基因产物如 mRNA、 蛋白质的浓度变化率,微分方程模型作为基 因调控网络模型的优点是灵活性强,利于研宄网络模型中的复杂关系 . 最近几年己经有许多文献研究连续时间基因调控网络 .例如文献丨 41研宄了含 多面体不确定性和线性分式不确定性的随机时滞基因调控网络
26、模型的鲁棒稳定性 , 并且文中给出的稳定性判据对于快时滞和慢时滞都适用;文献丨 42-44运用凸组合 方法和 Lyapunov-Krasovskii 泛函方法,给出了 连续时间基因调控网络的稳定性判 据;文献丨 45-47运用 Lyapunov-Krasovskii 泛函等方法得到了含有时变时滞时滞基 因调控网络的指数稳定性判据;文献丨 48主要研究了含区间时滞的基因调控网络的 稳定性,给出了一个有关二重积分的改进不等式,并用其处理 Lyapunov-Krasovskii 泛函的导数,使得获得的理论结果的保守性更弱,并且用数值算例验证了这一点 ; 文献丨 49通过运用 6 算子方法研宄了含时变
27、时滞的基因调控网络的稳定性;对于含 混合时滞的基因调控网络的非负平衡点的全局渐进稳定性问题己 在文献丨 50,51中 被研宄,文中运用非奇异 M 矩阵理论和微分方程理论给出了稳定性判据 . 另一方面,在实验中或者计算机模拟情况下,离散时间网络模型比连续时间网 络模型更容易得到实现 .在文献 52中给出了离散时间基因调控网络模型,并且通 过运用 Halanay 不等式方法,研宄了带有时滞的离散时间基因调控网络的指数稳定 性 .对于含范数有界不确定性和时变时滞的随机离散时间基因调控网络,其鲁棒 渐近稳定性在文献丨 53中被研宄 .文献丨 54研究了含分布时滞的离散时间基因调 控网络的鲁棒稳定性 .
28、含 Markov 跳跃时滞和不确定转移概率的离散基因调控网络 的好状态估计问题在文献丨 55中被研宄,文章中估计了真实的 mRNA 和蛋白质的 浓度且估计误差动态随机稳定 .对于含无限分布时滞的离散时间基因调控网络,文 献丨56给出了系统模型的鲁棒稳定性判据 . 黑龙江大学硕士学位论文 1.3 本文的研究目标、难点和解决方法 本文的研宄目标是: (1) 研宄含时变时滞和 Markov 跳跃参数的连续时间基因调控网络模型的稳定 性,提出 LMI 形式的稳定性判据; (2) 研宄带有时滞的连续时间和离散时间基因调控网络的全局指数稳定性问 题; 研宄过程中的难点: (1) Lyapunov-Kras
29、ovskii 的构造; (2) 运用 MATLAB 工具箱进行数值例子的仿真 问题的解决方法: (1) 查阅与本文相关的文献,了解相关背景; (2) 参考相关文献中构造 Lyapunov-Krasovskii 泛函的方法; (3) 选择合适的 Lyapunov-Krasovskii 泛函,得到稳定性判据; (4) 运用 MATLAB 工具箱进行数值例子的仿真,测试理论结果的有效性 . 1.4 本文的主要内容和结构 以上介绍了一些关于基因调控网络的背景知识和研宄现状,下面我们简单介 绍一下本文的研宄内容和结构 . 第 2 章通过构造合适的 Lyapunov-Krasovskii 泛函,结合 Je
30、nsen 不等式等方法, 给出含时滞和 Markov 跳跃参数的连续时间基因调控网络的稳定性判据 .应用右 上Dini 导数方法,第 3 章给出使含时滞的连续时间基因调控网络全局指数稳定的充 分条件;运用半离散方法和 IMEX-0 方法得到两个离散时间基因调控网络模型,并 且证明了在与连续时间情形相同的充分条件下,两个离散时间基因调控网络模型也 是全局指数稳定的 .第 3 章的主要内容已在 Applied Mathematics and Computation 发表 .另外,本文第 2 章和第 3 章都给出了相应的数值算例及仿真,以此来测试了本 文所提出方法的正确性和有效性 . 黑龙江大学硕士
31、学位论文 第 2 章含时变时滞和 Markov 跳跃参数的连续基因调 控网络的稳定性 本章研宄带有时变时滞和 Markov跳跃参数的连续基因调控网络的稳定性问 题,通过构造合适的 Lyapunov - Krasovskii 泛函,结合 Wirtinger-型不等式等技术给 出了稳定性判据 .所得的稳定性判据均是以 LMI 的形式给出 .从数值例子的结果看 到,本章获得的稳定性判据具有更弱的保守性,体现了所得结果的优越性 . 黑龙江 大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论文 12 黑龙江大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论
32、文 黑龙江大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论文 18 黑龙江大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论文 其中 其他符号同前面定义 . 注记 2.1 本章内容与文献丨 28-33 丨相比研究含 Markov 跳跃参数的基因调控 网络模型,但是研宄的问题略有不同 .例如,本文与文章丨 28, 33j 均对含时变时 滞的 Markov 跳跃参数基因调控网络的稳定性进行了分析,不同的是文丨 28j 的系 统模型含有随机项并且运用了时滞分割方法,文丨 33的系
33、统模型含不确定项且 在证明过程中运用了 Jensen不等式等方法,而本章构造了一个不同的 Lyapunov- Krasovskii 泛函,并应用 Wirt.inger-型不等式来估计其导数,这也是本章的新颖之处 . 文章丨 29-32j 均研宄了含 Markov 跳跃参数基因调控网络的状态估计问题,而本章研 宄的内容为含 Markov 跳跃参数基因调控网络的稳定性问题,可以在本章内容的基 础上,进一步研宄状态估计问题 . 2.2.3 数值算例 本节将通过两个数值算例验证理论结果的正确性和有效性 .同时与文献丨 58的 结论进行了比较,结果表明我们的结果具有更弱的保守性 . 例 2.1 考虑基因
34、调控网络 (2-9),其中 iV = 2, 黑龙江大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论文 非线性调节函数为 f(x) = x2/(l + x2),易见 K = 0 0.65 , -0.4 0.4 为尸 = , 0.6 -0.6 设转移概率矩阵 情形 1:当丁! = 0.2, = 1, h = 0.1, /i2 = 0.1, h2 = 0.3 时,通过 MATLAB 软 件提供的 YALMIP 工具箱,计算结果如表 2-2 所示 .当初始条件为 7110 = 0.62 0.52, p0 = 0.810.43时,基因调控网络的轨迹如图 2-2,由仿真图可以看到 mRNA 和蛋 白质浓度的轨迹是稳
35、定的 . 情形 2:当丁 : = 0.2,叫 =1, fiu = fi,22 = . h fh = 0.1, fi,2 = 0.1, h2 = 0.3 时 , 通过应用 MATLBA 软件提供的 YALMIP 工具箱 , T2 的最大容许值的计算结果 为乃 =3.03. 2.3 本章结论 本章与文献丨 58研宄的均是含 Markov跳跃参数的基因调控网络的稳定性,并 且最后均以线性矩阵不等式 (LMI)形式给出了稳定性判据 .本章的特色在于建立了 全新的 Lyapunov-Krasovskii 泛函,并应用 Wirtinger-型不等式来估计其导数,使得 黑龙江大学硕士学位论文 图 2-2:
36、mRNA 和蛋 白 质 的 浓 度 轨 迹 Figure 2-2 Trajectories of mRNA and protein concentrations 本章的理论结果具有更弱的保守性 .最后通过文丨 58中的数值例子,验证了本章理 论结果的有效性 . 黑龙江大学硕士学位论文 第 3 章含常数时滞的连续时间和离散时间基因调控网 络的稳定性 本章研宄带有时滞的连续时间和离散时间基因调控网络的全局指数稳定性问 题 .首先,对于一类连续时间基因调控网络,构造恰当的 Lyapunov-Krasovskii 泛函, 结合Dini 导数方法和不等式放缩方法,给出了一个判定连续时间基因调控网络系统
37、指数稳定的充分条件 .其次,运用半离散方法和 IMEX - 0 方法,得到两个离散时间 基因调控网络系统,并且在一定程度上保留了连续时间基因调控网络系统的动态 特性 .可以证明,在上面的充分条件下,两个离散时间基因调控网络系统也是全局 指数稳定的 .与文章丨64, Assumption 1比较,本章获得的稳定性判据具有更弱的保 守性 .最后,通过两个数值例子验证了结果的有效性 . 3.1 模型描述及问题提出 考虑下面带有时滞的基因调控网络丨 64: N nii ( t) = bij f j ( pj ( t Tij ) ) + /,: , 0和 c, 0 为 常数,分别表示第 z 个节点处 m
38、RNA 和蛋白质的降解率,必 0 代表第 z 个结点 处 mRNA 对蛋白质的翻译速率 . 0 和 a, 0 分别代表反馈调节时滞和翻译时滞, 有如下定义: 0, 如果基因 J 到基因 it 间没有链接, &= 0 使 黑龙江大学硕士学位论文 显然 ry 1, 对 于 任 意 的 i G liv, 有 2 0,且仏 (ry) 0.构造如下的 Lyapunov- Krasovskii 泛函: 黑龙江大学硕士学位论文 黑龙江大学硕士学位论文 根聒足乂 3.3,推出糸统 (3-2U)是芏局指数穂足的 .口 注记 3.2 在文献中,半离散方法和 IMEX-0 方法己经被广泛用来研宄不苘 问题丨66-7
39、0j.通过运用这两种方法,连续时间系统可以分别被转化为离散时间系 统 .这两种离散时间系统模型有两个优点: ( 1)它们能够保留连续时间系统的某些 动态特性; ( n)很容易由计算机实现 .另外,通过选择适当的参数,运用 1MEX - 0 方法可以改进离散时间系统的收敛速率 .与 LMI 方法进行比较发现,半离散方法 和 1MEX - 0 方法更容易计算,因此很容易通过计算机实现 . 3.4 数值算例 本节将通过两个数值算例验证所提出方法的有效性 . 例 3.1考虑基因调控网络 (3-1)和 (3-15),其中 d 5.1, ios “P s i9 .fS7i9P 只八 -9UIP 3srnq
40、只 q jd i9pxi9d9p -9pom SJOMH Xj n9i oi9n9 Smdrnnf UIAOIJ JO noimpsa I 汜只 xi9iiodxg uuinqsq *g 4uqiy; cj9Sjpnq) *y -y; gg ST0S WHx9lduJ ; 3 .jXioaq 它 d no paspq s 刁 JOA49II Xio;可 nSai o 卩 9U9S drnnf JOJ noirapsa snqoy; *nY *g 4uj *g cnq *q xg llllZll :89I cST0S cSupndmoo jn9 fjspp 9ini rnopni qiM sjM
41、9n Xj p9j oi9n9 drnnf JOJ nSisap joinisa paqoinsixn -apo pBraqv .3 P 如 rapnoqv .3 1ra13 人 -IV .W 1 如机 IZ 也 IZ 人血 IZ .Z 0S TWWFWWWW 黑龙江大学硕士学位论文 40 M. Chaves, R. Albert, E. D. Sontag. Robustness and fragility of Boolean models for genetic regulatory networkJ. J. Theor. Biol., 2005, 235(3): 431-49. 41
42、W. Wang, S. K. Nguang, S. Zhong, F. Liu. Robust stability analysis of stochastic delayed genetic regulatory networks with polytopic uncertainties and linear fractional parametric uncertainties J. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2014, 19(5): 1569 - 1581. 42 Y. Liu, H. Wu. Analysis on global asy
43、mptotical stability of genetic regulatory networks with time-varying delays via convex combination methodJ. Math. Probl. Eng., 2015, 2015: 1-5. 43 F. Yang, D. Mu, J. He, D. Huang. Stability analysis of genetic regulatory networks with time-varying delay via new convex combination technique C. In Proceedings of the 15th International Conference on Control, Automation and Systems (ICCAS), IEEE, 2015, 330-335. 44 W. Feng, H. Wu. Stability of genetic regulatory networks with interval time- varying delays via con
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