寻找最速降线.ppt
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1、寻找最速降线,数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这些真理之间的新的接触点. C. F. Gauss,数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益. R. C. Buck, 介绍一类最优问题的求解新框架-变分方法,连续,多元函数极值,积分等,内容提要, 回顾微积分有关知识, 复习微分方程求解的解析与数值方法, 最速降线求解的仿真方法,1696年John Bernoulli向他的兄长和其他,数学家挑战性地提出了最速降线(捷线)问题:,一质量为m的质点,在重力作用下从
2、定点A,沿曲线下滑到定点B,,试确定一条曲线,使得质,点由A到B下滑时间最短.,假定B比A低,不计摩擦力,和其他阻力等因素., 此问题导致数学新分支的产生.,背景故事,思考,这是一个求最值的问题, 与求函数的极值一样吗?, 与求线性规划问题中的极值一样吗?, 它的数学形式怎样?,历史,1697年5月号“教师学报”接收了5篇解答报告,贝努利 约翰 Bernoulli,Johann, 欧洲著名科学家族, 涉猎 微积分、微分方程、解析几 何、概率论以及变分法, 谁发现 LHospital 法则, 欧拉的指导者和老师,更贡献于物理、化学和天文学, 瑞士的骄傲,问题的数学形式,设曲线为,满足 y(0)=
3、0, y(b)=H,我们要求的是怎样的函数y(x),下滑的时间,使得T(y) 取得最小值,求 minT(y),近似方法,如图建立坐标系,设A为原,点, B为(b,H), 将带状区域,直线 y=yk=k H/n 把这区域,分成 n个带状小区域.,在带状域yk-1yyk ,可近似认为,而曲线段近似认为是直线段,其长度,0 y 1e-10s=0;for j=1:nv=sqrt(2*g*j*h);s=s+v/sqrt(1.0-c2*v2);endf=c-b/(h*s);if f0d=c;else a=c;endc=(a+d)/2;i=i+1;endx(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt(1
4、.0-c*c*2*g*h);T=sqrt(x(1)-a)2+h2)/sqrt(2*g*h)for k=2:nv=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v);T=T+sqrt(x(k)-x(k-1)2+h2)/v;end plot(x,-(0.1:h:H),*r),利用数学软件求近似最速降线和最短时间,利用数学软件求解得到的曲线,再作分析,质点要走最快的路线(曲线),应该如何变化?, 依然用从质点速度变化的角度考虑,设质点从A1经直线 l 到达A2,质点速度在l 的,上侧为v1,下侧为v2,则质点如何运动才最省时?,如图,若A1,A2到l
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