高等数学高等数学高等数学 (19).pdf
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1、第?章?定积分及其应用定积分是积分学的另一个基本问题?本章将从实际问题出发?引出定积分的概念?再介绍定积分的性质?计算公式以及定积分在几何?物理上的应用?定积分的概念?引例引例?曲边梯形的面积?对于由直线所围成的图形?如三角形?四边形等面积的计算问题已经解决?现在我们来介绍曲边梯形的面积?所谓曲边梯形?是指由曲线?以及?轴所围的图形?如图?所示?这种图形的面积仅用初等数学的方法是不能够求得的?为图?此?人们需要寻求一个新的求解方法?下面介绍解决曲边梯形的面积的一般方法?设函数?在?上连续?解决的思路是?将曲线梯形分成许多小长条?如图?所示?每一个长条都用相应的矩形去代替?把这些矩形的面积加起来
2、?就得到曲边梯形面积的一个近似值?当分割无限变细时?这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积?根据上面的分析?曲边梯形面积可按下述步骤来计算?分割将区间?任意地分成?个小区间?称它们为子区间?记?图?每个子区间的长度分别记为?替代在每一子区间上任取一点?作乘积?它表示以?为底?以?为高的小矩形的面积?显然?第?个小曲边梯形的面积?可近似地表示为?求和将这些小矩形的面积相加?其近似等于曲边梯形面积?即?取极限当所有子区间的长度趋向于零时?的极限就是?记?则上述条件可表示为当?时?有?引例?变速直线运动的路程?设一质点作直线运动?当质点作匀速运动时?其运动的路程等于运动的速度乘以时间?现设质点在运
3、动过程中的速度?是随时间的变化而变化的?即速度是时间?的函数?求质点从时刻?到时刻?所走过的路程?解决的思路与解决曲边梯形面积问题相同?将时间区间分成许多子区间?由于划分得很细?把每个子区间上的速度?近似地看作不变?计算出子区间上路程的近似值?然后把这些近似值加起来?作为路程?的近似值?当每个子区间的长度都趋近于零时?近似值的极限就是路程?下面具体写出其计算过程?将区间?任意地分成?个子区间?在每个子区间上任取一时刻?将?作为第?个子区间上每一时刻的速度?作乘积?其中?是第?个子区间的长度?记?为相应子区间上的路程?得?将其相加起来?得到由?到?的路程?的近似值?即?记?则?以上两个问题虽然研
4、究的对象不同?但解决它们的思路和形式都有共同之处?我们把这种求解问题的基本方法加以概括和抽象?就引出了数学上定积分的概念?第?章?定积分及其应用?定积分的定义定义?设函数?在区间?上有定义且有界?在?内任意地插入?个分点?将区间?分成?个子区间?记?为每一子区间的长度?在每一子区间上任取一点?作和式?记?若极限?存在?则称此极限值为函数?在?上的定积分?记为?即?其中?称为积分变量?称为被积函数?称为被积表达式?称为积分区间?称为积分下限?称为积分上限?称为?在?上的积分和?若?存在?则称函数?在?上可积?根据定积分定义?前面两个例子可以表示为?曲边梯形的面积?变速直线运动的路程?所谓极限?存
5、在?是指不管对区间?怎样划分?也不管?在?上怎样选取?极限?都存在且相等?当极限?存在时?其极限值与区间分法及与?的取法无关?而只与被积函数及积分区间有关?积分值与积分变量采用什么记号无关?即?那么?在什么条件下?可积?定理?设函数?在?上连续?则函数?在?上可积?证明从略?由引例?可得定积分的几何意义如下?当?时?定积分?表示曲边梯形的面积?例如?定积分?槡?表示曲线?槡?与直线?及?轴所围图形的面积?如图?中阴影部分?而这块面积恰好是单位圆面积的?则?应 用 数 学?槡?当?时?曲边梯形在?轴的下方?定积分在几何上表示上述面积的负值?当?在?上有正?有负时?见图?则定积分?的几何意义是介于
6、直线?轴和曲线?之间的图形面积的代数和?图?图?例?计算?图?解?因为?在区间?上连续?所以?在?上可积?因为定积分值与区间?的分法和每个子区间上?的取法无关?为了计算方便?我们将区间?分成?等份?且取?为每个子区间的右端点?见图?即?则?而?作乘积?于是积分和为?当?时?由定积分的定义?上式两端取极限?得?定积分的性质如果每一个定积分都像例?那样计算?显然不太方便?为了得到简便的计算方法?先介绍定积分的性质?然后在下节中解决定积分的计算问题?第?章?定积分及其应用为方便起见?作一些合理的规定?并假设函数在所讨论的区间上是可积的?性质?函数代数和的定积分等于定积分的代数和?即?证明?这个性质可
7、以推广到有限个函数的情形?即?性质?常数因子可以提到积分号之前?即?是为常数?其证明与性质?的证明类似?性质?定积分区间的可加性?对于任意三个数?有?其中?可以在?内也可以在?之外?注?前提是这三个积分都存在?这个性质只作几何解释?如图?所示?若?显然有?若?在?之外?如图?所示?则有图?图?应 用 数 学?因为?所以?即?性质?若?则?证明?因为?所以?即?性质?若在?上?则?证明?因为?由性质?得?再根据性质?得?性质?估值定理?设在?上?有?其中?为常数?则?证明?因为?又?由性质?得?而?第?章?定积分及其应用?所有以?它们的几何意义是?由曲线?直线?直线?和?轴围成的曲边梯形的面积是
8、介于以区间?为底?以最小纵坐标?为高的矩形面积及最大纵坐标?为高的矩形面积之间?如图?所示?性质?定积分中值定理?如果?在?上连续?则在?上至少存在一点?使?证明?因为?在?上连续?所以存在最大值?和最小值?根据性质?得?用?除不等式各边得?这里?数?介于函数?的最大值?和最小值?之间?根据连续函数介值定理知?至少存在一点?使得?即?中值定理的几何意义是?设?则在?上至少有一点?使以?为高?为底的长方形面积等于以曲线?为曲边的曲边梯形的面积?如图?所示?图?图?当?在?上可积时?常称?应 用 数 学为?在?上的积分平均值?由积分中值定理?对于连续函数?一定存在?使得?等于?在?上的积分平均值?
9、例?估算定积分?值的范围?解?先求出函数?在?上的最大值与最小值?为此计算导数?令?得驻点?算出?得最大值?最小值?积分区间长度为?利用估值定理有下列估值?即?习题?把定积分?写成积分和的极限形式?把在区间?上的积分和的极限?用定积分记号来表示?利用定积分的几何意义?判断下列积分的值是正的还是负的?不必计算?利用定积分的几何意义说明下列各式成立?当?为奇函数?当?为偶函数?利用定积分表示题图?中阴影部分的面积?用定积分定义计算下列定积分?第?章?定积分及其应用题图?估计下列各式的值?图?定积分的基本公式?积分上限函数设函数?在?上可积?对于任意?在?上可积?且它的值是?的函数?记为?并称它为变
10、上限的定积分所确定的函数?简称积分上限函数?其几何意义是?当?时?对?上任意一点?都对应唯一一个曲边梯形的面积?如图?所示?这个函数在推导定积分的基本公式中将起到重要作用?下面我们来讨论函数?的可微性?定理?如果函数?在?上连续?则函数?应 用 数 学?在?处可微?且?即变上限定积分?对其上限变量?求导等于被积函数在?处的值?证明?因为?则?函数?在?处的增量为?因?在?上连续?由积分中值定理?有?其中?介于?和?之间?当?时?又?在?点处连续?故有?即?在?处可导?且?例?求?解?由定理?得?例?求?解?是复合函数?微积分基本公式定理?设函数?在区间?上连续?且?是?的一个原函数?则?证明?
11、已知?是?的一个原函数?根据定理?积分上限函数?也是?的一个原函数?它们之间相差一个常数?令?第?章?定积分及其应用令?有?即?再令?有?于是?因定积分的值与积分变量用什么字母无关?习惯上积分变量用?表示?即?上式称为微积分基本公式?亦称牛顿?莱布尼兹公式?例?计算?解?因为?则?例?计算?解?例?计算?解?例?计算?解?被积函数是分段函数?由定积分区间的可加性?应 用 数 学习题?计算下列定积分?槡?槡?槡?槡?计算下列定积分?设?求?求下列函数的导数?求?槡?槡?定积分的计算通过求原函数可计算出不定积分?而求原函数的方法有换元积分法与分部积分法?对定积分也有相应的换元法积分法和分部积分法?
12、换元积分法定理?设函数?在区间?上连续?函数?在?或?上有连续导数?则?用上述公式时?注意积分限要相应地换?即?与?的关系是?不一定比?小?例?求?槡?解?设?且当?在区间?上变化时?在区间?上变化?其积分限分别为?时?时?则?槡?第?章?定积分及其应用?从例?可以看出?定积分的换元法同不定积分的换元法很类似?但运用不定积分换元法时?最后要换回原积分变量?而定积分的换元法只需将积分限作相应的改变?不必换回原积分变量?例?求?槡?解?令槡?当?时?时?所以?槡?例?设?为?上的连续函数?证明?若?为偶函数?则?若?为奇函数?则?证明?因为?只要证明?在?中作变量代换?令?当?时?时?因此?又因?
13、所以?所以?类似地可证?即当?为奇函数时?从几何上看?当?为偶函数时?函数?的图形是关于?轴对称的?不妨设?这时曲边梯形?的面积显然等于曲边梯形?面积的两倍?如图?所示?当?有正有负时亦然?若?为奇函数?函数?的图形是关于原点对称的?很明显?此时面积的代数?应 用 数 学和为零?如图?所示?图?图?例?证明?其中?为非负整数?证明?当?时?等式成立?当?时?作变换?于是?即?例?计算?解?因为?是奇函数?所以?分部积分法设?在?上连续?由乘积的微分法则得?两边求定积分?得?移项?并利用?则?第?章?定积分及其应用或?这就是定积分的分部积分公式?例?求?解?例?求?解?例?求?槡?解?先作变量替
14、换?然后再用分部积分法?令?取?则?槡?例?计 算?为大于?的整数?解?应 用 数 学移项得?上述公式称为递推公式?用法如下?又如?可见?当?为正偶数时?最后一个数为?当?为正奇数时?最后一个数为?即?为偶数?为奇数类似有?为偶数?为奇数习题?计算下列定积分?槡?其中?为常数?槡?计算下列定积分?第?章?定积分及其应用?槡?计算下列定积分?槡?槡?证明?广义积分由前面的讨论可以知道?定积分的积分区间是有限的?而且一切可积函数都是有界的?但是在实际中?往往会遇到无穷区间上的积分和被积函数在积分区间上无界的情形?前者为无穷区间上的积分?后者为无界函数的积分?它们统称为广义积分?无穷区间的广义积分先
15、看一个例子?求由曲线?轴及?轴所围成的?伸展到无穷远的图形的面积?如图?所示?如何定义这个图形的面积值呢?首先?任取实数?根据定积分的几何意义可知?在有限区间?上以曲线?为曲边的曲边梯形面积是?它是上限?的函数?如图?所示?图?图?显然?令?时?将图?中曲边梯形面积的极限值定义为由曲线?轴及?轴所围成的?伸展到无穷远的图形的面积?即?应 用 数 学?我们将?记为?这就是无穷区间?上的广义积分?下面给出无穷区间的广义积分定义?定义?设函数?在?上连续?取?若极限?存在?则称之为函数?在无穷区间?上的广义积分?记为?即?此时也称广义积分?收敛?否则称发散?类似地?可以定义函数?在?上的广义积分为?
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