高等数学高等数学高等数学 (18).pdf
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1、第?章?常微分方程微积分的概念和方法在解决实际问题时?都归结成为解微分方程?因此?微分方程是我们常用的?有效的工具?本章主要介绍微分方程的基本概念和几种简单微分方程的解法?微分方程的基本概念?微分方程的基本概念引例?一曲线经过点?且在该曲线上任一点?处的切线斜率为横坐标的平方?求这曲线的方程?解?根据导数的几何意义与题设?知所求曲线?应满足方程?此外?未知函数?还应满足下列条件?当?时?把方程?两端对?积分?得?即?其中?是任意常数?把条件?代入式?得?由此定出?把?代入式?即得所求的曲线方程?引例?一质点由原点开始?沿直线运动?已知在?时刻的加速度为?而在?时的速度为?求位移?与时间?的函数
2、关系?解?根据导数在力学上的物理意义?知所求函数关系?应满足方程?此外?函数?还应满足下列条件?当?时?当?时?把方程?两端积分?得?即?其中?是任意常数?把条件?代入方程?中?得?因此方程?变成?把方程?两端再积分?得?所以?把条件?代入方程?得?把它代入方程?即得所求的位移与时间?的函数关系?上述两个例子中的方程?和?都含有未知函数的导数?它们都是微分方程?下面给出微分方程的基本概念?定义?一般地?凡表示未知函数?未知函数的导数及自变量之间关系的方程叫作微分方程?如果微分方程中的未知函数仅依赖于一个自变量?这种微分方程称为常微分方程?未知函数依赖于两个或两个以上自变量的微分方程称为偏微分方
3、程?本书只讨论常微分方程?在本章?为方便起见?也简称为微分方程?或方程?定义?微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫作微分方程的阶?例如?引例?中的方程?是一阶微分方程?引例?中的方程?是二阶微分方程?而方程?是三阶微分方程?一般地?阶微分方程的形式为?方程?中?是必须出现的?而?等可以不出现?例如在五阶微分方程?中除?与?出现以外?其他都没有出现?定义?如果把已知函数?代入微分方程?中?能使该方程成立?则称?为方程?的解?例如?引例?中式?和式?就是方程?的解?而引例?中式?和式?就是方程?的解?如果微分方程的解中包含任意常数?且其独立的?即不可合并而使个数减少的?任意常数?第?章?
4、常微分方程的个数与微分方程的阶数相等?则称它为微分方程的通解?或称一般解?如果微分方程的解是完全确定的?即不含任意常数?就称它为微分方程的特解?引例?中的式?是通解?式?是特解?而引例?中的式?是方程的特解?由于通解中含有任意常数?所以它还不能完全确定地反映这一客观事物的规律性?要完全确定地反映这一客观事物的规律性?必须确定这些常数的值?因此?通过附加条件确定出通解中的任意常数?从而求出特解?例如?引例?中的条件?引例?中的条件?便是这样的条件?如果是一阶微分方程?那么?通常用来确定任意常数的条件是?当?时?或写成?如果是二阶微分方程?通常用来确定任意常数的条件是?当?时?或可写成?其中?都是
5、给定的值?上述这种条件叫作初始条件?用初始条件来确定任意常数后得到的解?叫作微分方程满足初始条件的特解?从几何上看?微分方程通解的图形是一族曲线?叫作微分方程的积分曲线族?而特解的图形是积分曲线族中的一条曲线?例?验证函数?是微分方程?的通解?并求满足初始条件?的特解?解?求?的导数?将?的表达式代入方程?的左端得?故?是微分方程?的解?由于?中有两个独立的任意常数?故它是方程?的通解?将?代入通解中?得到?又?将?代入?中?得到?故满足所给初始条件的特解为?可分离变量的微分方程一阶微分方程的一般形式为?定义?一般地?如果一个一阶微分方程能化成?的形式?也就是说?把微分方程化成一端只含?的函数
6、和?另一端只含?的函数和?那么原方程就称为可分离变量的微分方程?设?的原函数为?的原函数为?则对方程?两端分别积分?应 用 数 学?得?容易验证?式?所确定的隐函数是方程?的解?微分方程的这种解法称为分离变量法?例?求微分方程?槡?的通解?解?原方程是可分离变量的?分离变量以后得?槡?槡?两端积分?槡?槡?得?其中?是任意常数?例?求微分方程?满足初始条件?的特解?解?将原方程先化成?分离变量?可得?两端积分?得?由初始条件?得?故?为所求特解?例?质量为?的质点受外力作用做直线运动?外力和时间成正比?和质点运动的速度成反比?在?时?速度等于?外力为?问从运动开始经过了一分钟后的速度为多少?解
7、?按题意?为比例常数?当?时?定出常数?即?所以?又因为?而?因而得微分方程?第?章?常微分方程?这是一个可分离变量的微分方程?两端积分后得?将初始条件?代入上式得?即?当?时?故?习题?下列各等式中?哪几个是微分方程?哪几个不是微分方程?是微分方程的指出它的阶数?下列各题中的函数是否为所给微分方程的解?求下列微分方程的通解?求下列已给微分方程满足初始条件的特解?一阶线性微分方程定义?方程?叫作一阶线性微分方程?其中?是已知函数?如果?则称方程?是一阶线性非齐次微分方程?如果?即?则称它为一阶线性齐次微分方程?应 用 数 学例如?是一阶线性非齐次微分方程?而?是一阶线性齐次微分方程?槡?是一阶
8、非线性微分方程?容易看出?一阶线性齐次微分方程?是一个可分离变量的微分方程?分离变量以后成为?两端积分?这就是齐次线性微分方程?的通解?下面我们用所谓的常数变易法来求非齐次线性微分方程?的通解?这种方法就是将?的通解中的?换成?的未知函数?设?为线性非齐次方程?的解?于是?将?和?代入方程?中?得?即?积分得?于是得到方程?的通解为?公式?作为一阶线性非齐次微分方程?的通解公式使用?例?求方程?的通解?解法?所给的方程为一阶线性非齐次微分方程?其中?利用公式?可以得到原微分方程的通解?解法?所给的方程为一阶线性非齐次微分方程?先求解其相应的一阶线性齐次方程?第?章?常微分方程的解?分离变量可得
9、?两端积分得?即为齐次方程的通解?设所给非齐次方程的通解为?则?将?代入原微分方程?得?积分得?故原微分方程的通解为?例?求微分方程?的通解?解?因为?所以?即?这个方程把?当作自变量?而?当作函数时是一阶线性非齐次微分方程?因此?所以方程的通解为?习题?求下列微分方程的通解?应 用 数 学?求下列微分方程满足初始条件的特解?物体在空气中冷却的速度与物体的温度和空气温度之差成正比例?已知空气的温度为?时?物体在?内?由?降到?试求物体的温度与时间的函数关系?二阶常系数线性齐次微分方程?基本概念方程?叫作二阶线性微分方程?其中?是已知的连续函数?在方程?中?若?则方程变成?方程?称为二阶线性齐次
10、微分方程?若?则称?为二阶线性非齐次微分方程?在方程?中?若?即?和?是常数?则称方程?为二阶常系数线性非齐次微分方程?而方程?称为二阶常系数线性齐次微分方程?例如?是二阶线性非齐次微分方程?而方程?是二阶常系数线性齐次微分方程?二阶线性齐次微分方程解的性质定义?已知定义在区间?上的两个函数?如果它们的比?常数则称它们在区间?上是线性相关的?否则 即?常数?称它们在区间?上是线性无关的?例如?与?是线性相关的?而?与?是线性无关的?若?则它与任何函数?都是线性相关的?定理?若?是二阶线性齐次微分方程?的解?则它们的线性组合?也是方程?的解?其中?是任意常数?证?由假设?与?是方程?的解?则?第
11、?章?常微分方程?用?乘?乘?再相加整理后?得?因此?仍是方程?的解?如果?和?是二阶线性齐次微分方程?的两个线性相关的解?则?为常数?即?于是任意线性组合?这时两个任意常数就合并成一个常数?故?不能成为方程?的通解?如果?和?是方程?的两个线性无关的解?则?是方程?的通解?于是我们有?定理?若?是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关的解?则?是该方程的通解?定理?称为二阶线性齐次微分方程的解的结构定理?它指出?若能找到方程?的两个线性无关解?则这两个解的任意线性组合就是方程?的通解?例如?是方程?的两个解?由于?与?线性无关?所以?就是微分方程?的通解?二阶常系数线性齐次微分方程的解法二阶常系
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