线性代数线性代数lecture (1).pdf
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1、1 正定矩阵正定矩阵引言矩阵特征值的符号具有重要的意义.例如,对微分方程若A的特征值全是负数,则对其每个特征值,及相应特征向量x,都有衰减解.实对称矩阵的特征值全是实数.引言定义定义:特征值全是正数的实对称矩阵称为正定矩阵正定矩阵(positive definite matrix).1.1 实对称矩阵A正定的充要条件(1)A的所有特征值均为正的.(2)对所有非零向量x成立.(3)A的所有顺序主子式都是正的.(4)A的所有主元(无行交换)都是正的.(5)存在列满秩矩阵R,使得.(6)A的所有主子式都是正的.1.1 实对称矩阵A正定的充要条件证明证明:对实对称矩阵A,存在正交阵Q,使得,其中于是对
2、任意非零向量x,有其中1.1 实对称矩阵A正定的充要条件设,则故特征值.1.1 实对称矩阵A正定的充要条件由于行列式等于矩阵特征值的乘积,故正定.顺序主子式与主元有直接联系,第k个主元其中是第k个顺序主子矩阵顺序主子矩阵(the k-th leading principal sub matrix).1.1 实对称矩阵A正定的充要条件定义定义:在n阶行列式中任选k行:第行,再取相应的第列.由上述选取的k行k列交汇处元素组成的新矩阵的行列式,称为n阶行列式中的一个k阶主子式.在n阶行列式中由第1,k行和第1,k列所确定的主子式称为k阶顺序主子式顺序主子式(the k-th leading prin
3、cipal minor).1.1 实对称矩阵A正定的充要条件例:的3阶顺序主子式:1.1 实对称矩阵A正定的充要条件而是一个3阶主子式.1.1 实对称矩阵A正定的充要条件由对称矩阵的Gauss消元法得,其中对角阵的对角元为A的主元.则对任意非零向量x,1.1 实对称矩阵A正定的充要条件可取(可逆),或者可取(可逆).1.1 实对称矩阵A正定的充要条件设,则对任意非零向量x,若R为列满秩矩阵,则.1.1 实对称矩阵A正定的充要条件对k阶主子矩阵,任取,使其除外的其余分量全为0,正定.1.1 实对称矩阵A正定的充要条件1.2 典型例题例:判断矩阵是否正定.法(1):A的顺序主子式分别为故A正定.法
4、(2):Gauss消元主元为1.2 典型例题法(3):因此特征值1.2 典型例题法(4):(若).1.2 典型例题法(5):1.2 典型例题法(6):可逆.1.2 典型例题法(7):1.2 典型例题其中,可逆.1.2 典型例题例例:设A,B为正定矩阵,证明A+B仍为正定矩阵.证明证明:实对称矩阵A,B的和A+B仍为实对称矩阵.对任意非零向量x,由得故A+B仍为正定矩阵.1.2 典型例题例例:设A为正定矩阵,则存在矩阵C,使得.证明证明:A为正定矩阵,则存在正交矩阵Q,使得其中.1.2 典型例题例例:设A为正定矩阵,则矩阵和也正定.证明证明:A为正定矩阵,则A实对称,则和也为实对称矩阵.因正定矩
5、阵A的任意特征值,故矩阵和分别有特征值.故和也正定.1.2 典型例题例例:设A为正定矩阵,矩阵C可逆,证明矩阵也正定.证明证明:对任意非零向量x,其中.故B正定.1.2 典型例题1.3 半正定矩阵及其判别条件定义定义:若实对称矩阵A的特征值均非负,那么称A为半正定矩阵半正定矩阵(positive semidefinite matrix)。1.3 半正定矩阵及其判别条件(1)A的所有特征值均非负.(2)对所有向量x成立.(3)存在矩阵R,使得.(R可为不可逆阵)(4)A的所有主子式均非负.注:条件(4)不能换成“A的所有顺序主子式”.例:的顺序主子式为0,0,但,A不是半正定矩阵.i1.4 二次
6、型定义定义:对n维实向量及n阶实矩阵A,称数值函数为一个(实实)二次型二次型(quadratic form).它是x的n个分量的二次齐次多项式.注注:(1)由于而对称,故在二次型定义中总可预先假定矩阵A对称,并称之为二次型的矩阵.(2)对n维复向量及n阶复矩阵A且(Hermitian),则称为复二次型.下面如不特别说明,我们讨论实二次型.1.4 二次型例例:求二次型的矩阵表示.解解:例例:求对称矩阵所对应的二次型.解解:所求的二次型为1.4 二次型若n阶矩阵D为对角阵,则称二次型为对角形的.任何二次型总可以经坐标变换变为对角形的.这是因为,对实对称矩阵A,总存在正交阵Q,使得其中为A的所有特征
7、值.令,则1.4 二次型例例:设.解释平面中所有满足的点的集合.解解:定义了平面中的一条二次曲线.可求得A的特征值为分别为对应的单位特征向量.令,则,其中.1.4 二次型则有表示在新坐标系下,中心在原点的椭圆,其长轴方向为(1,0),长半轴长为;短轴方向为(0,1),短半轴长为.1.4 二次型令于是在旧坐标系下,表示中心在原点的椭圆,其长轴方向为,长半轴长为;短轴方向为,短半轴长为.注意,这里正交矩阵Q的列向量,也即矩阵A的单位特征向量,给出了椭圆的主轴.1.4 二次型q1;q2(主轴定理主轴定理)设A是一个n阶实对称矩阵.则存在正交变量代换,使得二次型变为对角形的二次型,其中为A的所有特征值
8、.1.4 二次型(推论推论)若A为n阶正定矩阵,则表示中心在原点,主轴沿A的特征向量方向,半轴长相应为的椭球面,其中为A的特征值.1.4 二次型1.5 有心二次曲线(central conic)若A为2阶实对称矩阵,则是平面上有心二次曲线的方程.主轴定理推出,存在正交变量代换,使二次型化为几何意义几何意义:平面上的有心二次曲线都可取到适当的直角坐标系,使其方程化为标准形式标准形式平面中,方程代表的曲线是:(1)椭圆(;特别当时,表示圆)(2)双曲线()(3)平行直线(或)(4)空集(且)1.5 有心二次曲线(central conic)1.6 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面中的二次曲
9、面的方程形如1.椭球面(ellipsoid)当时,曲面为球面.截面截面截线截线平行于xy平面椭圆平行于xz平面椭圆平行于yz平面椭圆1.6 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面2.单叶双曲面(hyperboloid of one sheet)单叶双曲面的主轴对应系数为负的变量.截面截面截线截线平行于xy平面椭圆平行于xz平面双曲线平行于yz平面双曲线1.6 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面3.双叶双曲面(hyperboloid of two sheets)双叶双曲面的主轴对应系数为正的变量.与主轴垂直的坐标平面上无截线.截面截面截线截线平行于xy平面椭圆平行于xz平面双曲线平行于y
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