《高中数学必修四2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学必修四2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案.docx(20页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、高中数学必修四2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案其次章2.1平面对量的实际背景及基本概念讲义 平面对量的实际背景及基本概念 预习课本P7476,思索并完成以下问题(1)向量是如何定义的?向量与数量有什么区分?(2)怎样表示向量?向量的相关概念有哪些?(3)两个向量(向量的模)能否比较大小?(4)如何推断相等向量或共线向量?向量与向量是相等向量吗?(5)零向量与单位向量有什么特别性?0与0的含义有什么区分? 新知初探1向量的概念和表示方法(1)概念:既有大小,又有方向的量称为向量(2)向量的表示:表示法几何表示:用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方
2、向,即用有向线段的起点、终点字母表示,如, 字母表示:用小写字母a,b,c,表示,手写时必需加箭头点睛向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段向量是规定了大小和方向的量,有向线段是规定了起点和终点的线段2向量的长度(或称模)与特别向量(1)向量的长度定义:向量的大小叫做向量的长度(2)向量的长度表示:向量,a的长度分别记作:|,|a|.(3)特别向量:长度为0的向量为零向量,记作0;长度等于1个单位的向量,叫做单位向量点睛定义中的零向量和单位向量都是只限制大小,没有确定方向我们规定零向量的方向是随意的;单位向量有多数个,它们大小相等,但方向不肯定相同3向量间的关系(1)相等向量:长度相等且方
3、向相同的向量,叫做相等向量,记作:ab.(2)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫共线向量;a平行于b,记作ab;规定零向量与任一向量平行点睛共线向量仅仅指向量的方向相同或相反;相等向量指大小和方向均相同小试身手1推断下列命题是否正确(正确的打“”,错误的打“”)(1)两个向量能比较大小()(2)向量的模是一个正实数()(3)单位向量的模都相等()(4)向量与向量是相等向量()答案:(1)(2)(3)(4)2有下列物理量:质量;温度;角度;弹力;风速其中可以看成是向量的个数()A1B2C3D4答案:B3已知向量a如图所示,下列说法不正确的是()A也可以用表示B方向是由M指向NC始点是MD终
4、点是M答案:D4.如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,则与相等的向量有_答案:,向量的有关概念典例有下列说法:向量和向量长度相等;方向不同的两个向量肯定不平行;向量是有向线段;向量00,其中正确的序号为_解析对于,|AB,故正确;对于,平行向量包括方向相同或相反两种状况,故错误;对于,向量可以用有向线段表示,但不能把二者等同起来,故错误;对于,0是一个向量,而0是一个数量,故错误答案(1)推断一个量是否为向量应从两个方面入手是否有大小;是否有方向(2)理解零向量和单位向量应留意的问题零向量的方向是随意的,全部的零向量都相等单位向量不肯定相等,易忽视向量的方向 活学活用有下列说法:若向
5、量a与向量b不平行,则a与b方向肯定不相同;若向量,满意|,且与同向,则;若|a|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行其中正确说法的个数是()A1B2C3D4解析:选A对于,由共线向量的定义,知两向量不平行,方向肯定不相同,故正确;对于,因为向量不能比较大小,故错误;对于,由|a|b|,只能说明a,b的长度相等,确定不了它们的方向,故错误;对于,因为零向量与任一向量平行,故错误向量的表示 典例在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:,使|42,点A在点O北偏东45;,使|4,点B在点A正东;,使|6,点C在点B北偏
6、东30.解(1)由于点A在点O北偏东45处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又|42,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量如图所示(2)由于点B在点A正东方向处,且|4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量如图所示(3)由于点C在点B北偏东30处,且|6,依据勾股定理可得:在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为335.2,于是点C位置可以确定,画出向量如图所示用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最终依据向量
7、模的大小确定向量的终点必要时,需依据直角三角形学问求出向量的方向(即夹角)或长度(即模),选择合适的比例关系作出向量活学活用一辆汽车从A点动身向西行驶了100千米到达B点,然后变更方向,向北偏西40方向行驶了200千米到达C点,最终又变更方向,向东行驶了100千米到达D点作出向量,.解:如图所示共线向量或相等向量 典例如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且a,b,c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些?(2)与a共线的向量有哪些?(3)请一一列出与a,b,c相等的向量解(1)与a的长度相等、方向相反的向量有,.(2)与a共线的向量有,.(3)与a相等的向量有,;与b相等的向量有,
8、;与c相等的向量有,.一题多变1变设问本例条件不变,试写出与向量相等的向量解:与向量相等的向量有,.2变条件,变设问在本例中,若|a|1,则正六边形的边长如何?解:由正六边形性质知,FOA为等边三角形,所以边长AF|a|1.找寻共线向量或相等向量的方法(1)找寻共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,留意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量(2)找寻相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线 层级一学业水平达标1下列说法正确的是()A向量就是所在的直线平行于所在的直线B长度相等的向量叫做相等向量C
9、若ab,bc,则acD共线向量是在一条直线上的向量解析:选C向量包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种状况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;C明显正确;共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线相互平行的向量,故D错2.如图,在圆O中,向量,是()A有相同起点的向量B共线向量C模相等的向量D相等的向量解析:选C由图可知,是模相等的向量,其模均等于圆的半径,故选C.3向量与向量共线,下列关于向量的说法中,正确的为()A向量与向量肯定同向B向量,向量,向量肯定共线C向量与向量肯定相等D以上说法都不正确解析:选B依据共线向量定义,可知,这三个向量肯定为共线向量,故
10、选B.4.如图,在ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与平行的向量有()A1个B2个C3个D4个解析:选C依据向量的基本概念可知与平行的向量有,共3个5已知向量a,b是两个非零向量,分别是与a,b同方向的单位向量,则下列各式正确的是()AB或C1D|解析:选D由于a与b的方向不知,故与无法推断是否相等,故A、B选项均错又与均为单位向量|,故C错D对6已知|1,|2,若ABC90,则|_.解析:由勾股定理可知,BCAC2AB23,所以|3.答案:37设a0,b0是两个单位向量,则下列结论中正确的是_(填序号)a0b0;a0b0;|a0|b0|2;a0b0.解析:因为a0,b0是单位向
11、量,|a0|1,|b0|1,所以|a0|b0|2.答案:8给出下列四个条件:ab;|a|b|;a与b方向相反;|a|0或|b|0.其中能使ab成立的条件是_(填序号)解析:若ab,则a与b大小相等且方向相同,所以ab;若|a|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不肯定有ab;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有ab;零向量与随意向量平行,所以若|a|0或|b|0,则ab.答案:9.如图,O是正方形ABCD的中心(1)写出与向量相等的向量;(2)写出与的模相等的向量解:(1)与向量相等的向量是.(2)与的模相等的向量有:,.10.一辆消防车从A地去B地执行任务,先
12、从A地向北偏东30方向行驶2千米到D地,然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30方向行驶2千米才到达B地(1)在如图所示的坐标系中画出,.(2)求B地相对于A地的位移解:(1)向量,如图所示(2)由题意知.所以AD綊BC,则四边形ABCD为平行四边形所以,则B地相对于A地的位移为“在北偏东60的方向距A地6千米”层级二应试实力达标1.如图所示,梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EFAB,则下列等式成立的是()ABCD解析:选D依据相等向量的定义,分析可得:A中,与方向不同,故错误;B中,与方向不同,故错误;C中,与
13、方向相反,故错误;D中,与方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故正确2下列说法正确的是()A若ab,bc,则acB终点相同的两个向量不共线C若ab,则a肯定不与b共线D单位向量的长度为1解析:选DA中,因为零向量与随意向量平行,若b0,则a与c不肯定平行B中,两向量终点相同,若夹角是0或180,则共线C中,对于两个向量不相等,可能是长度不相等,但方向相同或相反,所以a与b可能共线3若a为任一非零向量,b为单位向量,下列各式:|a|b|;ab;|a|0;|b|1.其中正确的是()ABCD解析:选Ba为任一非零向量,所以|a|0,故正确;由向量、单位向量、平行向量的概念易推断其他式子均错误故
14、选B.4在ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点,则如图所示的向量中相等向量有() A一组B二组C三组D四组解析:选A由向量相等的定义可知,只有一组向量相等,即.5四边形ABCD满意,且|,则四边形ABCD是_(填四边形ABCD的形态)解析:,ADBC且|,四边形ABCD是平行四边形又|知该平行四边形对角线相等,故四边形ABCD是矩形答案:矩形6.如图,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量相等的向量为_;与向量共线的向量为_;与向量的模相等的向量为_(填图中所画出的向量)解析:O是正三角形ABC的中心,OAOBOC,易知四边形AOCD和四边形AOBE均
15、为菱形,与相等的向量为;与共线的向量为,;与的模相等的向量为,.答案:,7如图,D,E,F分别是正三角形ABC各边的中点(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量(2)写出图中所示向量与向量相等的向量(3)分别写出图中所示向量与向量,共线的向量解:(1)与长度相等的向量是,.(2)与相等的向量是,.(3)与共线的向量是,;与共线的向量是,.8如图,已知函数yx的图象l与直线m平行,A0,22,B(x,y)是m上的点求(1)x,y为何值时,0;(2)x,y为何值时,为单位向量解:(1)要使0,当且仅当点A与点B重合,于是x0,y22.(2)如图,要使得是单位向量,必需且只需|1.由已知,lm且点
16、A的坐标是0,22,所以B1点的坐标是22,0.在RtAOB1中,有|2|2|22222221,即|1.上式表示,向量是单位向量同理可得,当B2的坐标是22,2时,向量AB2也是单位向量综上有,当x22,y0或x22,y2时,向量是单位向量 中学数学必修四2.3.1平面对量基本定理导学案 2.3平面对量的基本定理及坐标表示2.3.1平面对量基本定理 【学习目标】1.了解平面对量基本定理;2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步驾驭应用向量解决实际问题的重要思想方法;3.能够在详细问题中适当选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 【新知自学】学问回顾:1、实数与向量的积
17、:实数与向量的积是一个,记作;规定:(1)|=(2)0时,与方向;0时,与方向;=0时,=2运算定律:结合律:()=;安排律:(+)=,(+)= 3.向量共线定理:向量与非零向量共线,则有且只有一个非零实数,使=. 新知梳理:1给定平面内两个向量,请你作出向量3+2,-2, 2.由上,同一平面内的任一向量是否都可以用形如1+2的向量表示?平面对量基本定理:假如,是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1,2使不共线的向量,叫做这一平面内表示全部向量的一组基底。思索感悟:(1)基底不惟一,关键是;不同基底下,一个向量可有不同形式表示;(2)基底给定时,分解形式惟一.
18、1,2是被,唯一确定的数. 3.向量的夹角:平面中的随意两个向量之间存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗? 已知两个非零向量、,作,则AOB,叫向量、的夹角。 当=,、同向;当=,、反向;统称为向量平行,记作假如=,与垂直,记作。 对点练习:1.设、是同一平面内的两个向量,则有()A.、肯定平行B.、的模相等C.同一平面内的任一向量都有+(、R)D.若、不共线,则同一平面内的任一向量都有=+u(、uR) 2.已知向量-2,2+,其中、不共线,则+与6-2的关系()A.不共线B.共线C.相等D.无法确定 3.已知10,20,、是一组基底,且1+2,则与,与(填共线或不共线). 【合作
19、探究】典例精析:例1:已知向量,求作向量2.5+3 变式1:已知向量、(如图),求作向量:(1)+2.?(2)-+3 例2:如图,不共线,且,用,来表示 变式2:已知G为ABC的重心,设=,=,试用、表示向量. 【课堂小结】学问、方法、思想 【当堂达标】1.设是已知的平面对量且,关于向量的分解,其中所列述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,有如下四个命题:给定向量,总存在向量,使;给定向量和,总存在实数和,使;给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;上述命题中的则真命题的个数是()()A1B2C3D 2.如图,正六边形ABCDEF中,=AB
20、CD 3.在中,为的中点,则_.(用表示) 【课时作业】1、若、不共线,且+=(、),则()A=,=B=0,=0C=0,=D=,=02在ABC中,AD14AB,DEBC,且DE与AC相交于点E,M是BC的中点,AM与DE相交于点N,若ANxAByAC(x,yR),则xy等于()A1B.12C.14D.18 3在如图所示的平行四边形ABCD中,ABa,ADb,AN3NC,M为BC的中点,则MN_.(用a,b表示) 4.如图ABCD的两条对角线交于点M,且=,=,用,表示,和 5.设与是两个不共线向量,=3+4,=-2+5,若实数、满意+=5-,求、的值. 6如图,在ABC中,AN13NC,P是B
21、N上一点,若APmAB211AC,求实数m的值 7.如图所示,P是ABC内一点,且满意条件AP2BP3CP0,设Q为CP延长线与AB的交点,令CPp,用p表示CQ. 【延长探究】已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是随意一点,求证:+=4 中学数学必修四2.3平面对量基本定理及坐标表示小结导学案 2.3平面对量基本定理及坐标表示小结【学习目标】1.了解平面对量的基本定理及其意义;驾驭平面对量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面对量的线性运算;会用坐标表示的平面对量共线的条件. 【学问重温】1平面对量基本定理假如,是同一平面内的两个_向量,那么对于这一平面内的随意向量,有且只有一对实
22、数,使_.向量,叫做表示这一平面内全部向量的一组基底. 2平面对量的坐标表示在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴_的两个单位向量、作为基底,对于平面内的一个向量,有且只有一对实数x,y,使得_,则有序数对(x、y)叫做向量的坐标,记作_,其中x,y分别叫做在x轴、y轴上的坐标,(x,y)叫做向量的坐标表示。相等的向量其_相同,_相同的向量是相等向量 3平面对量的坐标运算(1)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则_, 2)已知(x1,y1),=(x2,y2),则=_,=_,_;(0)_. (3)(x1,y1),=(x2,y2),_. 思索感悟1基底的不唯一性只要两个向量不共线,就可以作
23、为平面的一组基底,故基底的选取是不唯一。平面内随意向量都可被这个平面的一组基底,线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的 2向量坐标与点的坐标区分在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量,此时点A的坐标与的坐标统一为(x,y),但应留意其表示形式的区分,如点A(x,y),向量(x,y) 当平面对量平行移动到时,向量不变即(x,y),但的起点O1和终点A1的坐标都发生了改变 对点练习:1已知向量=(1,2),=(3,4),则12等于()A(2,3)B(2,3)C(2,3)D(2,3) 2已知向量=(1,1),=(2,x),若与42平行,则实数x的值是()A2B0C1D2 3已知向量=(1,2)
24、,(1,0),(3,4)若为实数,(),则()A.14B.12C1D2 4下列各组向量中,能作为基底的是()=(1,2),(2,4)=(1,1),(1,1)=(2,3),(3,2)=(5,6),=(7,8)ABCD 【自学探究】考点一平面对量基本定理例1、如图所示,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知,试用,表示,. 规律总结:应用平面对量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算解题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决 变式1:如图,在ABC中,13,P是BN上的一点,若m2
25、11,则实数m的值为_ 考点二平面对量的坐标运算例2、已知A(2,4),B(3,1),C(3,4),设,且3,2.(1)求33;(2)求满意mn的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量的坐标 规律总结:若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要留意方程思想的运用及运算法则的正确运用变式2在ABCD中,AC为一条对角线,若(2,4),(1,3),则()A(2,4)B(3,5)C(3,5)D(2,4) 考点三平面对量共线的坐标表示例3、平面内给定三个向量(3,2),=(1,2),(4,1)回答下列问题:(1)若(k)(2),求实数k;(2)设(x,y)满意()()且|1,求.规
26、律总结:用坐标来表示向量平行,事实上是一种解析几何(或数形结合)的思想,其实质是用代数(主要是方程)计算来代替几何证明,这样就把抽象的逻辑思维转化为了计算变式3、(1)(2022陕西卷)已知向量(1,m),=(m,2),若,则实数m等于()A2B.2C2或2D0 (2)已知梯形ABCD,其中ABCD,且DC2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为_ 【课堂小结】1平面对量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解2向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理3在向量的运算中要
27、留意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用4要留意区分点的坐标与向量的坐标有可能。【当堂达标】1(2022北京卷)已知向量(2,4),=(1,1),则2()A(5,7)B(5,9)C(3,7)D(3,9) 2(2022揭阳二模)已知点A(1,5)和向量(2,3),若3,则点B的坐标为()A(7,4)B(7,14)C(5,4)D(5,14) 3(2022许昌模拟)在ABC中,点P在BC上,且2,点Q是AC的中点,若(4,3),(1,5),则等于()A(2,7)B(6,21)C(2,7)D(6,21) 4.已知两点在直线AB上,求一点P是。 【课时作业】1、若向量(x+3,x23x4)与相等,已
28、知A(1,2)和B(3,2),则x的值为()A、1B、1或4C、4D、1或4 2、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是(5,7),(3,5),(3,4),则第四个顶点的坐标不行能是()A、(1,8)B,(5,2)C、(1l,6)D、(5,2) 3、己知P1(2,1)、P2(0,5)且点P在P1P2的延长线上,则P点坐标为()A、(2,11)B、(C、(,3)D、(2,7) 4、平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满意,其中、R,且1,则点C的轨迹方程为()A、32110B、(x-1)2+(y-2)2=5C、20D、250 5、已知点A(1,5),若向量与向
29、量(2,3)同向,且3,则点B的坐标为_ 6、平面上三个点,分别为A(2,5),B(3,4),C(1,3),D为线段BC的中点,则向量的坐标为_ 7、已知点A(1,2),B(2,8)及,求点C、D和的坐标。 8、已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A(2,1),一组对边AB、CD的中点分别为M(3,0)、N(1,2),求平行四边形的各个顶点坐标。【延长探究】如图,中AD是三角形BC边上的中线且AE=2EC,BE交AD于G,求及的值。 中学数学必修四2.3.3平面对量的坐标运算导学案 233平面对量的坐标运算 【学习目标】1.理解平面对量的坐标的概念;驾驭平面对量的坐标运算;2.会依据向量的坐
30、标,推断向量是否共线. 【新知自学】学问回顾:1平面对量基本定理:假如,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1,2使=_(1)不共线向量,叫做表示这一平面内全部向量的一组;(2)由定理可将任一向量在给出基底,的条件下进行分解;分解形式惟一.1,2是被,唯一确定的实数对;2.向量的夹角:已知两个非零向量、,作,则AOB,叫向量、的夹角,当=,、同向,当=,、反向,当=,与垂直,记作。3向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,取=(1,0),=(0,1)作为一组基底,设=x+y,则向量的坐标就是点的坐标。新知梳理:1平面对量的坐标运算已知:=(),=(),我们考
31、虑如何得出、的坐标。设基底为、,则=即=,同理可得=结论:(1)若=(),=(),则,即:两个向量和与差的坐标分别等于.(2)若=(x,y)和实数,则.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 思索感悟:已知,怎样来求的坐标?若,=则=结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 对点练习:1.设向量,坐标分别是(-1,2),(3,-5)则+=_,-=_,3=_,2+5=_2.如右图所示,平面对量的坐标是()A.B.C.D. 3若A(0,1),B(1,2),C(3,4),则2=. 【合作探究】典例精析:例1:已知=(2,1),=(-3,4),求+,-,3+4的坐标. 变式1:
32、已知,求:(1)(2)(3) 例2:已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4),求点D的坐标。 *变式2:设,,用表示 【课堂小结】 【当堂达标】1、设则=_2、已知M(3,-2)N(-5,-1),且,则=()A(-8,1)BC(-16,2)D(8,-1)3、若点A的坐标是,向量=,则点B的坐标为()ABCD4、已知则=()A(6,-2)B(5,0)C(-5,0)D(0,5) 【课时作业】1如图,已知,点是的三等分点,则()A.B.C.D. 2若M(3,-2)N(-5,-1)且,则P点的坐标 *3已知,则 *4.在ABC中,点P在BC上,且BP2PC,
33、点Q是AC的中点,若PA(4,3),PQ(1,5),则BC_. 5.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0),(3,0),(1,5),则第四个顶点的坐标是()A(1,5)或(5,5)B(1,5)或(3,5)C(5,5)或(3,5)D(1,5)或(5,5)或(3,5) 6.已知(1,2),(2,3),(1,2),以,为基底,试将分解为的形式 7.已知三个力=(3,4),=(2,5),=(x,y)的合力+=,求的坐标. 8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为,求第四个顶点的坐标。 9.已知点,若,(1)试求为何值时,点P在第一、三象限的交平分线上?(2)试求为何值时,点P在第三象限? 【延长探究】已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且OPOAtAB,试问:(1)t为何值时,P在x轴上,P在y轴上,P在其次象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由 第20页 共20页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页
限制150内