2022年高等数学中求极限的方法小结.docx
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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高等数学中求极限的方法小结2. 求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限这种方法的理论基础主要包括:1 有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.2有界函3数与无穷小的乘积是无穷小.3非零无穷小与无穷大互为倒数.4等价无穷小代换 当求两个无穷小之比的极限时,分子与分母都可用等价无穷小代替.设、且 limlim.就:与是等价无穷小的充分必要条件为:0 常用等价无穷小:当变量x0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x x, tan x x,arcsinx x,arctan x x, e
2、x1 x,ln1x x,1cos x 1 x2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x1x x,1x1x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1求 lim1cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 x arctan x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解x0时,1cos x 1 x2x ,arctan x x ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故,原式lim 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
3、_x0x221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1例 2求 limx2 31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0cos x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解x0时,11x2 31 1x2 ,1cos x 1 x2 , 因此 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原式lim321 x232 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 1 x232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -
4、 - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3求lim3 131可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0tan x1 x解x0时, 3 1x1 1 x, tan x x ,故 : 原式 = lim 31 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4求 lim32ex1x0x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 2 x ln1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解x0时,ex1 x,ln1x x , 故:可编辑资料 - - -
5、欢迎下载精品_精品资料_22原式limx1 x0 2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5试确定常数a 与 n ,使得当x0 时,axn 与ln1x3 x3 为等价无穷小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解limln1x3 n3x1而左边lim3x21x33x2n 1lim3x5n 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0axx0naxx0 nax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_331可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故n15 即 n6lim11a可编辑资料 -
6、- - 欢迎下载精品_精品资料_2.2 利用洛必达法就求极限x0 6a6a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用这一法就的前提是:函数的导数要存在.为0 比 0 型或者型等未定式类型.洛必达法就分为3 种情形:( 1)0 比 0,无穷比无穷的时候直接用. ( 2)0 乘以无穷,无穷减去无穷(无穷大与无穷小成倒数关系时)通常无穷大都写成无穷小的倒数形式, 通项之后,就能变成(1)中形式了 . ( 3)0 的 0 次方, 1 的无穷次方,无穷的0 次方,对于(指数, 幂函数) 形式的方法主要是取指数的方法,这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了, 就是写成0 与无穷的形式了.可编辑
7、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_洛必达法就中仍有一个定理:当 xa 时,函数f x 及F x 都趋于 0.在点 a 的某去可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_心邻域内,f x F x 的导数都存在且F x 的导数不等于0. limf.xa F x x存在,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf xlimf x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa F xxa F x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 14 页 - - - - - - - - - -
8、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求极限有许多种方法如洛必达法就,夹逼定理求极限的要领是:强行代入, 先定型后定法.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6求 lim1cos222x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 sinxx分析要领强行代入,先定型后定法.110 202000000 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22443000000(此为强行代入以定型).可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00 可能是比00高阶的无穷小, 假如不
9、这样, 或 000000 00或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000000 0004020 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.04003解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1cos2 xx2sin 2 xcos 2 x xsin xcos x xsinxcos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim22lim22lim4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 sinxxx0xsinxx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xsin x cos xxsin x cos xxsin x cos x可编辑
10、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim3lim2lim3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0xx01cos2 xxsin2 x4sin 2 x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由洛必达法就的2, 有:上式 = 2lim2lim2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x03x3 x0x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ex1例 7求 lim2.x0 xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解limex12exex1lim1lim21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 xxx0 2x1x
11、0 xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x33x2例 8求 lim32.x 1 xxx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解原式lim3x223lim6x3 . (二次使用洛必达法就).可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 3x2 x1x1 6x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx例 9求 lim ee2 x .x0xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精
12、品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_exe x2exe xexe x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解原式limlimlim2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x01cos xx0sin xx0cos x22例 10求 lim x4 x3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解原式x1 x2 xlim 2 x41lim x2lim x20原式 =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 1 2 x2x1 x1x 1 x1可编辑资料 -
13、- - 欢迎下载精品_精品资料_例 11 求 limtan xx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 x sin xarcsin x11212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解原式lim tan xxlimcos2 x2lim1cos x22lim1cosx1.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12求xlim0cotxxxx .x03xx0 3xcos xx03xcos x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0ln x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解原式limsinxcosx xlim1.可编辑资料
14、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0sin 2 xx02sinx cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 13求 lim1cos222x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 sinxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2sin2x cos2 x xsin x cos x xsin x cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解原式lim22lim4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0sinxxx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xs
15、in x cos xxsin xcos xxsin x cos x1cos2 xsin 2 x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim3lim2lim32lim2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0xx0xx03x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“ 0”型:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 14求 limxxarctan x .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解原式lim2arctanx 112lim 1x1lim11 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxxx2x21“”型:可编辑
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