高三总预习复习直线与-圆地方程复习重点分析总结及其典型例题.doc
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1、-_直线与圆的方程直线与圆的方程一、直线的方程 1、倾斜角: L,范围 0,若轴或与轴重合时,=00。xl /x 2、斜率: k=tan 与的关系:=0=0已知 L 上两点 P1(x1,y1) 002 kP2(x2,y2) =不存在 2k= 1212 xxyy 022当=时,=900,不存在。当时,=arctank,0 时,1x2x0=+arctank 3、截距(略)曲线过原点横纵截距都为 0。 4、直线方程的几种形式已知方程说明几种特殊位置的直线斜截式K、bY=kx+b不含 y 轴和行 平于 y 轴的直 线x 轴:y=0点斜式P1=(x1,y1)ky-y1=k(x-x1)不含 y 轴和平 行
2、于 y 轴的直 线y 轴:x=0两点式P1(x1,y1) P2(x2,y2)121121 xxxx yyyy 不含坐标辆和 平行于坐标轴 的直线平行于 x 轴:y=b截距式a、b1by ax不含坐标轴、 平行于坐标轴 和过原点的直 线平行于 y 轴:x=a 过原点:y=kx一般式Ax+by+c=0A、B 不同时为 0两个重要结论:平面内任何一条直线的方程都是关于 x、y 的二元一次方程。 任何一个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线。 5、直线系:(1)共点直线系方程:p0(x0,y0)为定值,k 为参数 y-y0=k(x-x0)特别:y=kx+b,表示过(0、b)的直线系(不含 y 轴
3、) (2)平行直线系:y=kx+b,k 为定值,b 为参数。AX+BY+入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 BX-AY+入=0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系-_(3)过 L1,L2交点的直线系 A1x+B1y+C1+入(A2X+B2Y+C2)=0(不含 L2)6、三点共线的判定:,KAB=KBC,ACBCAB写出过其中两点的方程,再验证第三点在直线上。 二、两直线的位置关系 1、L1:y=k1x+b1 L2:y=k2x+b2L1:A1X+B1Y+C1=0 L2:A2X+B2Y+C2=0L1与 L2组成的方程组平行K1=k2且 b1b2212121 CC BB AA无解重合
4、K1=k2且 b1=b2212121 CC BB AA有无数多解相交K1k22121 BB AA有唯一解垂直K1k2=-1A1A2+B1B2=0(说明:当直线平行于坐标轴时,要单独考虑)2、L1 到 L2的角为 0,则()1212 1tankkkk 121kk3、夹角:1212 1tankkkk 4、点到直线距离:(已知点(p0(x0,y0),L:AX+BY+C=0) 2200BAcByAxd 两行平线间距离:L1=AX+BY+C1=0 L2:AX+BY+C2=02221 BAccd与 AX+BY+C=0 平行且距离为 d 的直线方程为 Ax+By+C022 BAd与 AX+BY+C1=0 和
5、 AX+BY+C2=0 平行且距离相等的直线方程是0221CCBYAX5、对称:(1)点关于点对称:p(x1,y1)关于 M(x0,y0)的对称)2 ,2(1010YYXXP(2)点关于线的对称:设 p(a、b)对称轴对称点p对称轴对称点pX 轴)(bap、Y=-x)(abp、-_Y 轴)(bap、X=m(m0)2(bamp、y=x)(abp、y=n(n0)2(bnap、一般方法: 如图:(思路 1)设 P 点关于 L 的对称点为 P0(x0,y0) 则 Kpp0KL=1 P, P0中点满足 L 方 程解出 P0(x0,y0) (思路 2)写出过 PL 的垂线方程,先求垂足,然后用中点坐标公式
6、求出 P0(x0,y0)的坐标。P yLP0 x(3)直线关于点对称L:AX+BY+C=0 关于点 P(X0、Y0)的对称直线:A(2X0-X)+B(2Y0-Y)+C=0l(4)直线关于直线对称几种特殊位置的对称:已知曲线 f(x、y)=0关于 x 轴对称曲线是 f(x、-y)=0 关于 y=x 对称曲线是 f(y、x)=0 关于 y 轴对称曲线是 f(-x、y)=0 关于 y= -x 对称曲线是 f(-y、-x)=0 关于原点对称曲线是 f(-x、-y)=0 关于 x=a 对称曲线是 f(2a-x、y)=0 关于 y=b 对称曲线是 f(x、2b-y)=0 一般位置的对称、结合平几知识找出相
7、关特征,逐步求解。 三、简单的线性规划L Y不等式表示的区域O X AX+BY+C=0 约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划,可行解,最优解。 要点:作图必须准确(建议稍画大一点) 。线性约束条件必须考虑完整。 先找可行域再找最优解。 四、圆的方程1、圆的方程:标准方程 ,c(a、b)为圆心,r 为半径。22)(rbyax一般方程:,022FEYDXyx-_, 2,2EDC2422FEDr当时,表示一个点。0422FED当时,不表示任何图形。0422FED参数方程: cosrax为参数sinrby以 A(X1,Y1) ,B(X2,Y2)为直径的两端点的圆的方程是 (X-X1
8、) (X-X2)+(Y-Y1) (Y-Y2)=0 2、点与圆的位置关系:考察点到圆心距离 d,然后与 r 比较大小。 3、直线和圆的位置关系:相交、相切、相离判定:联立方程组,消去一个未知量,得到一个一元二次方程:0相交、0 相切、0相离 利用圆心 c (a、b)到直线 AX+BY+C=0 的距离 d 来确定:dr相交、dr相切 dr相离 (直线与圆相交,注意半径、弦心距、半弦长所组成的 kt) 4、圆的切线:(1)过圆上一点的切线方程与圆相切于点(x1、y1)的切线方程是222ryx2 11ryyxx与圆相切于点(x1、y1)的切成方程222)()(rbyax为:2 11)()(rbybya
9、xax与圆相切于点(x1、y1)的切线是022FEYDXyx0)2()2(11 11FyyExxDyyxx(2)过圆外一点切线方程的求法:已知:p0(x0,y0)是圆 外一点222)()(rbyax22 12 1)()(rbyax设切点是 p1(x1、y1)解方程组22 1010)()(rbybyaxax先求出 p1的坐标,再写切线的方程设切线是即)(00xxkyy000ykxykx再由,求出 k,再写出方程。r kykxbka 1200-_(当 k 值唯一时,应结合图形、考察是否有垂直于 x 轴的切线)已知斜率的切线方程:设(b 待定) ,利用圆心到 L 距离为 r,确定bkxyb。 5、圆
10、与圆的位置关系 由圆心距进行判断、相交、相离(外离、内含) 、相切(外切、内切) 6、圆系同心圆系:, (a、b 为常数,r 为参数)222)()(rbyax或:(D、E 为常数,F 为参数)022FEYDXyx圆心在 x 轴:222)(ryax圆心在 y 轴:222)(rbyx过原点的圆系方程2222)()(babyax过两圆和0:11122 1FYEXDyxC的交点的圆系方程为0:22222 2FYEXDyxC(不含 C2) ,其中0(22222 11122FYEXDyxFYEXDyx入入为参数 若 C1与 C2相交,则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。类型一:圆的方程类型一:
11、圆的方程例例 1 求过两点)4,1 (A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系分析:分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P与圆的 位置关系,只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆 外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内 解法一:解法一:(待定系数法)设圆的标准方程为222)()(rbyax圆心在0y上,故0b圆的方程为222)(ryax又该圆过)4,1 (A、)2,3(B两点-_22224)3(16)1 (rara解之得:1a,202r所以所求圆的方程为20) 1(22yx解法
12、二:解法二:(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过)4,1 (A、)2,3(B两点,所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上,又因为13124ABk,故l的斜率为 1,又AB的中点为)3,2(,故AB的垂直平分线l的方程为:23xy即01 yx又知圆心在直线0y上,故圆心坐标为)0,1(C半径204) 11 (22 ACr故所求圆的方程为20) 1(22yx又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254) 12(22点P在圆外 说明:说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量, 然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成
13、 直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?例例 2 求半径为 4,与圆042422yxyx相切,且和直线0y相切的圆的方程分析:分析:根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解解:解:则题意,设所求圆的方程为圆222)()(rbyaxC:圆C与直线0y相切,且半径为 4,则圆心C的坐标为)4,(1aC或)4,(2aC又已知圆042422yxyx的圆心A的坐标为) 1,2(,半径为 3若两圆相切,则734CA或134CA(1)当)4,(1aC时,2227) 14()2(a,或2221) 14()2(a(无解),故可得1022a-_所求圆方程为2224)4()1022(yx,或2224)4()1022(
14、yx(2)当)4,(2aC时,2227) 14()2(a,或2221) 14()2(a(无解),故622a所求圆的方程为2224)4()622(yx,或2224)4()622(yx说明:说明:对本题,易发生以下误解:由题意,所求圆与直线0y相切且半径为 4,则圆心坐标为)4,(aC,且方程形如2224)4()(yax又圆042422yxyx,即2223) 1()2(yx,其圆心为) 1,2(A,半径为 3若两圆相切,则34CA故2227) 14()2(a,解之得1022a所以欲求圆的方程为2224)4()1022(yx,或2224)4()1022(yx上述误解只考虑了圆心在直线0y上方的情形,
15、而疏漏了圆心在直线0y下方的情形另外,误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的例例 3 求经过点)5,0(A,且与直线02 yx和02 yx都相切的圆的方程分析:分析:欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点A,故只需确定 圆心坐标又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上解:解:圆和直线02 yx与02 yx相切,圆心C在这两条直线的交角平分线上,又圆心到两直线02 yx和02 yx的距离相等5252yxyx两直线交角的平分线方程是03 yx或03 yx又圆过点)5,0(A,圆心C只能在直线03 yx上-_设圆心)3,(ttCC到直线02 yx的距离等于AC,22)53
16、(532tttt化简整理得0562 tt解得:1t或5t圆心是)3,1 (,半径为5或圆心是)15,5(,半径为55所求圆的方程为5)3() 1(22yx或125)15()5(22yx说明:说明:本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标 得到圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例例 4、 设圆满足:(1)截y轴所得弦长为 2;(2)被x轴分成两段弧,其弧长的比为1:3,在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线02 yxl:的距离最小的圆的方程分析:分析:要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,便可求得圆的标准方 程满足两个条件的
17、圆有无数个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方 程,便可利用点到直线的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标, 进而确定圆的半径,求出圆的方程解法一:解法一:设圆心为),(baP,半径为r则P到x轴、y轴的距离分别为b和a由题设知:圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90,故圆截x轴所得弦长为r2222br 又圆截y轴所得弦长为 2122 ar又),(baP到直线02 yx的距离为52bad2225badabba4422-_)(242222baba1222ab当且仅当ba 时取“=”号,此时55mind这时有 1222abba 11ba或 11 ba又2222 br故所
18、求圆的方程为2) 1() 1(22yx或2) 1() 1(22yx解法二:解法二:同解法一,得52baddba522225544dbdba将1222 ba代入上式得:01554222dbdb上述方程有实根,故0) 15(82d,55d将55d代入方程得1b又1222 ab 1a由12 ba知a、b同号故所求圆的方程为2) 1() 1(22yx或2) 1() 1(22yx-_说明:说明:本题是求点到直线距离最小时的圆的方程,若变换为求面积最小呢?类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程例例 5 已知圆422 yxO:,求过点42,P与圆O相切的切线解:解:
19、点42,P不在圆O上, 切线PT的直线方程可设为42 xky根据rd 2 1422 kk解得 43k所以 4243xy即 01043 yx因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为2x 说明:说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解 本题还有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于 0 解决(也要注意漏解) 还可以运用2 00ryyxx,求出切点坐标0x、0y的值来解决,此时没有漏解例例 6 两圆011122 1FyExDyxC:与022222 2FyExDyxC :相交于A、B两点,求它们的公共弦AB所在直线的方程 分析
20、:分析:首先求A、B两点的坐标,再用两点式求直线AB的方程,但是求两圆交点坐 标的过程太繁为了避免求交点,可以采用“设而不求”的技巧解:解:设两圆1C、2C的任一交点坐标为),(00yx,则有:0101012 02 0FyExDyx 0202022 02 0FyExDyx 得:0)()(21021021FFyEExDDA、B的坐标满足方程0)()(212121FFyEExDD方程0)()(212121FFyEExDD是过A、B两点的直线方程又过A、B两点的直线是唯一的两圆1C、2C的公共弦AB所在直线的方程为0)()(212121FFyEExDD-_说明:说明:上述解法中,巧妙地避开了求A、B
21、两点的坐标,虽然设出了它们的坐标,但并没 有去求它,而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说,这是一种“设而 不求”的技巧,从知识内容的角度上说,还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对 直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛例例 7、过圆外一点,作这个圆的两条切线、,切点分别是、122 yx)3 , 2(MMAMBA ,求直线的方程。BAB练习:1求过点,且与圆相切的直线 的方程(3,1)M22(1)4xyl解:设切线方程为,即,1(3)yk x 310kxyk 圆心到切线 的距离等于半径,(1,0)l2,解得, 22|31|2 1kkk 3 4k 切线方程为,即,31(3)
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