人教版高中数学: 矩阵与变换 课件2(新人教A选修42).ppt
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1、选修选修4-2“矩阵与变换矩阵与变换”教材解析教材解析2021/8/9 星期一1l内容解析内容解析l教学建议教学建议2021/8/9 星期一2l内容解析内容解析2021/8/9 星期一3 通过几何变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩通过几何变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩通过几何变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩通过几何变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量,并以变换和映射的观点理解解阵和矩阵的特征向量,并以变换和映射的观点理解解阵和矩阵的特征向量,并以变换和映射的观点理解解阵和矩阵的特征向量,并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义,初步展示矩阵应用的广泛性。线性方程组的意义
2、,初步展示矩阵应用的广泛性。线性方程组的意义,初步展示矩阵应用的广泛性。线性方程组的意义,初步展示矩阵应用的广泛性。主要内容主要内容2021/8/9 星期一42.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用矩阵的简单应用 学习总结报告学习总结报告具体内容具体内容2021/8/9 星期一5 定位定位 低起点低起点以初中数学知识为基础;以初中数学知识为基础;低维度低维度以二阶矩阵为研究对象;以二阶矩阵为研究对象
3、;形形数数以以(几何图形几何图形)变换研究二阶矩阵。变换研究二阶矩阵。意图意图 在在基基本本思思想想上上对对矩矩阵阵、变变换换等等有有一一个个初初步步了了解,对进一步学习和工作打下基础。解,对进一步学习和工作打下基础。本专题的定位和意图本专题的定位和意图2021/8/9 星期一6 主要数学思想主要数学思想(1 1)数学化思想;)数学化思想;(2 2)数学建模;)数学建模;(3 3)数形结合的思想;()数形结合的思想;(4 4)算法思想。)算法思想。重点重点 通通过过几几何何图图形形变变换换,学学习习二二阶阶矩矩阵阵的的基基本本概概念、性质和思想。念、性质和思想。难点难点 切切变变变变换换,逆逆
4、变变换换(矩矩阵阵),特特征征值值与与特特征征向向量。量。本专题重点本专题重点、难点及主要数学思想难点及主要数学思想2021/8/9 星期一7 主线主线 通通过过几几何何变变换换对对几几何何图图形形的的作作用用,直直观观认认识识矩矩阵的意义和作用。阵的意义和作用。技术与内容的整合技术与内容的整合 (1)几何变换;)几何变换;(2)变换与矩阵的乘法;)变换与矩阵的乘法;(3)逆矩阵。)逆矩阵。几何画板、几何画板、Excel 教学要点教学要点 从从具具体体实实例例入入手手,突突出出矩矩阵阵的的几几何何意意义义,遵遵循循从具体到一般,从直观到抽象的教学原则。从具体到一般,从直观到抽象的教学原则。本专
5、题的教学思路本专题的教学思路2021/8/9 星期一82.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用矩阵的简单应用具体内容解析具体内容解析2021/8/9 星期一92.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量建议课时建议课时:2课时课时教育目标教育目标:1.了解矩阵产生背景了解矩阵产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题并会用矩阵形式表示一些实际问题.2.了解矩阵的相关知识了解矩阵的相关知识.3.掌握二阶
6、矩阵与平面列向量的乘法规则掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则.4.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.2021/8/9 星期一102.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.在本章中点和向量不加区分在本章中点和向量不加区分.如如:1.1.本专题研究的矩阵是二阶矩阵本专题研究的矩阵是二阶矩阵,对高阶矩阵只是要对高阶矩阵只是要求学生初步了解求学生初步了解.二阶矩阵如二阶矩阵如:两行两列两行两列2021/8/9 星期一112.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量3.3.矩阵的概念矩阵的概念从表、网络图、坐标平面上的点(向从表、网络图、坐标平面上的点(
7、向量)、生活实例等引出量)、生活实例等引出.即在大量举例的基础上引出矩即在大量举例的基础上引出矩阵的概念和表示方法阵的概念和表示方法.如如:某公司负责从两个矿区向三个城市送煤:某公司负责从两个矿区向三个城市送煤:从甲矿区向城市从甲矿区向城市A,B,CA,B,C送煤的量分别是送煤的量分别是200200万吨、万吨、240240万吨、万吨、160160万吨;万吨;从乙矿区向城市从乙矿区向城市A,B,CA,B,C送煤的量分别是送煤的量分别是400400万吨、万吨、360360万吨、万吨、820820万吨。万吨。2021/8/9 星期一122.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量4.4.矩阵通常用大
8、写黑体字母表示矩阵通常用大写黑体字母表示.如如;矩阵矩阵A A,行矩阵和列行矩阵和列矩阵通常用希腊字母矩阵通常用希腊字母、等表示等表示.5.5.两个矩阵的行数与列数分别相等两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的元并且对应位置的元素也分别相等时两矩阵相等素也分别相等时两矩阵相等.6.6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为二阶矩阵与列向量的乘法法则为:2021/8/9 星期一132.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量7.7.强化学生对二阶矩阵与强化学生对二阶矩阵与平面列向量平面列向量乘法的几何意义乘法的几何意义理解理解.使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合使他们认识并理解矩阵是向量集合到
9、向量集合的的映射映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础为后面学习几种常见的几何变换打下基础.表示的几何变换为表示的几何变换为:纵坐标不变纵坐标不变,横坐标变为原来的横坐标变为原来的2倍倍.8.8.二元一次方程组二元一次方程组 可以表示为可以表示为系数矩阵系数矩阵2021/8/9 星期一142.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用矩阵的简单应用具体内容解析具体内容解析2021/8/9 星期一152
10、.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换建议课时建议课时:6课时课时教育目标教育目标:1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换.2.掌握恒等掌握恒等 伸压伸压 反射反射 旋转旋转 投影投影 切变变换的矩阵表切变变换的矩阵表示及其几何意义示及其几何意义.3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,并证明二阶矩阵对应的变换往往将直线变成直线并证明二阶矩阵对应的变换往往将直线变成直线.2021/8/9 星期一162.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换1.1.恒等变换矩阵恒等变换矩阵(单位矩阵单位矩阵)为
11、为E E:2.2.恒等变换恒等变换是指对平面上任何一点是指对平面上任何一点(向量向量)或图形施以或图形施以矩阵矩阵 对应的变换对应的变换,都把自己变为自己都把自己变为自己.2021/8/9 星期一172.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换3.3.伸压变换伸压变换矩阵是指将图形作沿矩阵是指将图形作沿x x轴方向伸长或压缩轴方向伸长或压缩,或沿或沿y y轴方向伸长或压缩的变换矩阵轴方向伸长或压缩的变换矩阵.伸压变换不是简单地把平面上的点伸压变换不是简单地把平面上的点(向量向量)“)“向下向下”压压,而是向而是向x x轴或轴或y y轴方向压缩轴方向压缩.2021/8/9 星期一182.2 几种
12、常见的平面变换几种常见的平面变换4.4.反射变换反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵点对称的平面图形的变换矩阵.2021/8/9 星期一192.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换5.5.一般地一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.这种把直线变为直线的变换叫做线性变换这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.或点或点2021/8/9 星期一202.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换6.6.旋转变换旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转
13、的变换矩阵的变换矩阵.其中其中称为旋转角称为旋转角,点点O为旋转中心为旋转中心.2021/8/9 星期一212.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2021/8/9 星期一222.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换7.7.投影变换投影变换矩阵是指将平面图形投影到某条直线矩阵是指将平面图形投影到某条直线(或或某个点某个点)上的矩阵上的矩阵,相应的变换为投影变换相应的变换为投影变换.7.7.投影变换投影变换矩阵是映射矩阵是映射,但不是一一映射但不是一一映射.2021/8/9 星期一232.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换8.8.切变变换切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵矩
14、阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵.2021/8/9 星期一242.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换9.9.切变变换切变变换矩阵矩阵 把平面上的点把平面上的点P(x,y)沿沿x轴方轴方向平移向平移 个单位个单位.10.10.研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时形成的图形时,只需考察顶只需考察顶(端端)点的变化结果即可点的变化结果即可.2021/8/9 星期一252021/8/9 星期一26旋转矩阵旋转矩阵2021/8/9 星期一272021/8/9 星期一282.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换
15、几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用矩阵的简单应用具体内容解析具体内容解析2021/8/9 星期一292.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法建议课时建议课时:2课时课时教育目标教育目标:1.熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法.2.理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵,从几何变换角度看从几何变换角度看,它表示的原来两个矩阵对应的连续它表示的原来两个矩阵对应的连续两次变换两
16、次变换.3.通过几何变换通过几何变换,使学生理解一般情况下使学生理解一般情况下,矩阵乘法不满矩阵乘法不满足交换率足交换率.4.会验证矩阵乘法满足结合率会验证矩阵乘法满足结合率.5.从几何变换的角度了解矩阵乘法不满足消去率从几何变换的角度了解矩阵乘法不满足消去率.2021/8/9 星期一302.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法1.1.矩阵乘法的法则是矩阵乘法的法则是:2.2.矩阵乘法矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换几何变换(先先T TN N,后后T TM M)的复合变换的复合变换.3.3.矩阵乘法矩阵乘法不满足交换率不满足交换率
17、,这可能是学生第一次遇到这可能是学生第一次遇到乘法不满足交换率的情况乘法不满足交换率的情况.此时此时,我们可以从几何变换我们可以从几何变换角度进一步明确乘法一般不满足交换率角度进一步明确乘法一般不满足交换率,在适当时候在适当时候,有些特殊几何变换有些特殊几何变换(如两次连续旋转变换如两次连续旋转变换)满足交换率满足交换率.2021/8/9 星期一312021/8/9 星期一322021/8/9 星期一332021/8/9 星期一342.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法4.4.要求学生从几何变换角度理解要求学生从几何变换角度理解AB.AB.5.5.要求学生从几何变换角度理解矩阵乘
18、法不满足销去要求学生从几何变换角度理解矩阵乘法不满足销去率率.2021/8/9 星期一352021/8/9 星期一362021/8/9 星期一372.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法6.6.有关转移矩阵有关转移矩阵.假设某市的天气分为晴和阴两种状态假设某市的天气分为晴和阴两种状态,若今天晴若今天晴,则明则明天晴的概率为天晴的概率为 ,阴的概率为阴的概率为 ,若今天阴则明天晴的若今天阴则明天晴的概率为概率为 ,阴的概率为阴的概率为 ,这些概率可以通过观察某市这些概率可以通过观察某市以往几年每天天气的变化趋势来确定以往几年每天天气的变化趋势来确定,通常将用矩阵通常将用矩阵来表示的这
19、种概率叫做转移矩阵概率来表示的这种概率叫做转移矩阵概率,对应的矩阵为对应的矩阵为转移矩阵转移矩阵,而将这种以当前状态来预测下一时段不同而将这种以当前状态来预测下一时段不同状态的概率模型叫做状态的概率模型叫做马尔可夫链马尔可夫链,如果清晨天气预报如果清晨天气预报报告今天阴的概率为报告今天阴的概率为 ,那么明天的天气预报会是什那么明天的天气预报会是什么么?后天呢后天呢?2021/8/9 星期一382.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2021/8/9 星期一392.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2021/8/9 星期一402.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩
20、阵的乘法7.7.转移矩阵每列的元素的和应该为转移矩阵每列的元素的和应该为1,1,否则做乘法时否则做乘法时,容易出问题容易出问题.2021/8/9 星期一412.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用矩阵的简单应用具体内容解析具体内容解析2021/8/9 星期一422.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵建议课时建议课时:2课时课时教育目标教育目标:1.通过具体的图形变换通过具体的图形变换,理解逆矩阵的意义
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