2020_2021学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.4平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修2.ppt
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1、2.3.4平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理文字文字语语言言两个平面垂直两个平面垂直,则则一个平面内一个平面内垂直于交垂直于交线线的直的直线线与另一个平面垂直与另一个平面垂直符号符号语语言言,=,=l,a a,a,alaa图图形形语语言言 【思考思考】性质定理若去掉性质定理若去掉“一个平面内一个平面内(a(a)”,)”,定理是否成定理是否成立立?提示提示:不一定成立不一定成立,如图如图a,a,这时也有这时也有aal,但但a a与与不垂直不垂直.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)两个平面垂直两个
2、平面垂直,其中一个平面内的任一条直线与另其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直一个平面一定垂直.()(2)(2)若若,则则内的直线必垂直于内的直线必垂直于内的无数条直内的无数条直线线.()(3)(3)如果平面如果平面平面平面,平面平面平面平面,=,=l,那么那么l平面平面.()(4)(4)若两个平面互相垂直若两个平面互相垂直,一条直线与一个平面垂直一条直线与一个平面垂直,那那么这条直线在另一个平面内么这条直线在另一个平面内.()【提示提示】(1)(1).不一定不一定.只有在一个平面内垂直于两平只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面面交线的直线才能垂直于另一个平面.(
3、2).(2).若设若设=l,a,a,b,b,b,bl,则则ab,ab,故故内与内与b b平行的无数条直线均垂直于平行的无数条直线均垂直于内的任意直线内的任意直线.(3).(3).设设=m,=n,=m,=n,在平面在平面内取一点内取一点P P不在不在m,nm,n上上,过过P P作直线作直线a,b,a,b,使使am,bn.am,bn.因为因为,am,am,则则a.a.所以所以aal,同理有同理有bbl.又又ab=P,ab=P,l,所以所以l.故正确故正确.(4)(4).若若,l,在在内作内作a a与与,的交线垂直的交线垂直,则则a,a,所以所以aal.所以所以l或或l,即直线即直线l与平面与平面平
4、行或在平面平行或在平面内内.2.2.在四棱柱在四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,已知平面已知平面AAAA1 1C C1 1CC平面平面ABCD,ABCD,且且AB=BC,AD=CD,AB=BC,AD=CD,则则BDBD与与CCCC1 1()A.A.平行平行B.B.相交相交C.C.异面且垂直异面且垂直D.D.异面且不垂直异面且不垂直【解析解析】选选C.C.如图所示如图所示,在四边形在四边形ABCDABCD中中,因为因为AB=BC,AD=CD.AB=BC,AD=CD.所以所以BDAC.BDAC.因为平面因为平面AAAA1 1C C1 1CC平面平面ABC
5、D,ABCD,平面平面AAAA1 1C C1 1CC平面平面ABCD=AC,BDABCD=AC,BD 平面平面ABCD,ABCD,所以所以BDBD平面平面AAAA1 1C C1 1C.C.又又CCCC1 1 平面平面AAAA1 1C C1 1C,C,所以所以BDCCBDCC1 1.3.3.如图所示如图所示,已知两个正方形已知两个正方形ABCDABCD和和DCEFDCEF不在同一平面不在同一平面内内,M,N,M,N分别为分别为AB,DFAB,DF的中点的中点.若若CD=2,CD=2,平面平面ABCDABCD平面平面DCEF,DCEF,则线段则线段MNMN的长等于的长等于_._.【解析解析】取取C
6、DCD的中点的中点G,G,连接连接MG,NG.MG,NG.因为因为ABCD,DCEFABCD,DCEF为正方形为正方形,且边长为且边长为2,2,所以所以MGCD,MG=2,NG=.MGCD,MG=2,NG=.因为平面因为平面ABCDABCD平面平面DCEF,DCEF,平面平面ABCDABCD平面平面DCEF=CD,DCEF=CD,所以所以MGMG平面平面DCEF,DCEF,由于由于GNGN 平面平面CDEF,CDEF,可得可得MGNG,MGNG,所以所以MN=MN=答案答案:类型一用面面垂直的性质定理解证明问题类型一用面面垂直的性质定理解证明问题【典例典例】1.(20191.(2019枣庄高一
7、检测枣庄高一检测)已知互不重合的直已知互不重合的直线线a,b,a,b,互不重合的平面互不重合的平面,给出下列四个命题给出下列四个命题,正确正确命题的个数是命题的个数是()若若a,a,=b,a,a,=b,则则ab;ab;若若,a,b,a,b,则则ab;ab;若若,=a,=a,则则a;a;若若,a,a,则则a.a.A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.42.(20182.(2018北京高考改编北京高考改编)如图如图,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,底底面面ABCDABCD为矩形为矩形,平面平面PADPAD平面平面ABCD,PAPD.ABCD,PAPD.(1)(1)求证求证:D
8、C:DC平面平面PAD.PAD.(2)(2)求证求证:平面平面PABPAB平面平面PCD.PCD.【思维思维引引】1.1.根据线面平行的性质判断根据线面平行的性质判断;根据面根据面面垂直的性质定理判断面垂直的性质定理判断;根据面面平行的性质判断根据面面平行的性质判断.2.(1)2.(1)依据平面依据平面PADPAD平面平面ABCDABCD和和ADDCADDC证明证明;(2)(2)转化为证明转化为证明PAPA平面平面PCD.PCD.【解析解析】1.1.选选C.C.依题意依题意,当当a,a,=ba,a,=b时时,根据线面平行的性质可得根据线面平行的性质可得ab,ab,故故正确正确;当当,aa时时,
9、a,a或或a a,又又b,b,所以所以ab,ab,故故正确正确;当当,=a,=a,则交线则交线a;a;故故正确正确;当当,a,a时时,a,a或或a a,故故错误错误.正确的有正确的有3 3个个.2.(1)2.(1)因为底面因为底面ABCDABCD是矩形是矩形,所以所以ADDC,ADDC,又因为平面又因为平面PADPAD平面平面ABCD,ABCD,平面平面PADPAD平面平面ABCD=AD,ABCD=AD,且且DCDC 平面平面ABCD,ABCD,所以所以DCDC平面平面PAD.PAD.(2)(2)由由(1)(1)得得DCDC平面平面PAD.PAD.又因为又因为PAPA 平面平面PAD,PAD,
10、所以所以DCPA,DCPA,又因为又因为PAPD,DCPD=D,PAPD,DCPD=D,所以所以PAPA平面平面PCD,PCD,又又PAPA 平面平面PAB,PAB,所以平面所以平面PABPAB平面平面PCD.PCD.【类题类题通通】1.1.应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点(1)(1)一个意识一个意识若所给题目中有面面垂直的条件若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直的性质定理将其转化为线面垂直.(2)(2)三个注意点三个注意点:两个平面垂直两个平面垂直,是前提条件是前提条件;直线直线
11、必须在其中一个平面内必须在其中一个平面内;直线必须垂直于它们的交线直线必须垂直于它们的交线.2.2.证明线面垂直的常用方法证明线面垂直的常用方法(1)(1)线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理;(2)(2)面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理;(3)(3)若若ab,a,ab,a,则则b(a,bb(a,b为直线为直线,为平面为平面););(4)(4)若若a,a,则则a(aa(a为直线为直线,为平面为平面).).【习练习练破破】(2019(2019芜湖高一检测芜湖高一检测)如图如图,在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中中,已知已知ABCABC是等腰直角三角是等腰直角三角形形,ABC=90,PAC
12、,ABC=90,PAC是直角三角形是直角三角形,PAC=90,PAC=90,平面平面PACPAC平面平面ABC.ABC.求证求证:平面平面PABPAB平面平面PBC.PBC.【证明证明】因为平面因为平面PACPAC平面平面ABC,ABC,且且PAAC,PAAC,所以所以PAPA平面平面ABC,ABC,所以所以PABC,PABC,又又BCBA,BCBA,所以所以BCBC平面平面PAB,PAB,所以平面所以平面PABPAB平面平面PBC.PBC.【加练加练固固】如图如图,在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中中,E,F,E,F分别为分别为AC,BCAC,BC的中点的中点.(1)(1)求证求证:EF
13、:EF平面平面PAB.PAB.(2)(2)若平面若平面PACPAC平面平面ABC,ABC,且且PA=PC,PA=PC,ABC=90.ABC=90.求证求证:平面平面PEFPEF平面平面PBC.PBC.【证明证明】(1)(1)因为因为E,FE,F分别为分别为AC,BCAC,BC的中点的中点,所以所以EFAB.EFAB.又又EFEF 平面平面PAB,ABPAB,AB 平面平面PAB,PAB,所以所以EFEF平面平面PAB.PAB.(2)(2)因为因为PA=PC,EPA=PC,E为为ACAC的中点的中点,所以所以PEAC.PEAC.又因为平面又因为平面PACPAC平面平面ABC,ABC,所以所以PE
14、PE平面平面ABC,ABC,所以所以PEBC.PEBC.又因为又因为F F为为BCBC的中点的中点,所以所以EFAB.EFAB.因为因为ABC=90ABC=90,所以所以BCEF.BCEF.因为因为EFPE=E,EFPE=E,所以所以BCBC平面平面PEF.PEF.又因为又因为BCBC 平面平面PBC,PBC,所以平面所以平面PBCPBC平面平面PEF.PEF.类型二用面面垂直的性质定理解计算问题类型二用面面垂直的性质定理解计算问题角度角度1 1 求空间角求空间角【典例典例】(2018(2018天津高考改编天津高考改编)如图如图,在四面体在四面体ABCDABCD中中,ABC,ABC是等边三角形
15、是等边三角形,平面平面ABCABC平面平面ABD,ABD,点点M M为棱为棱ABAB的中点的中点,AB=2,AD=2 ,BAD=90.,AB=2,AD=2 ,BAD=90.(1)(1)求证求证:ADBC.:ADBC.(2)(2)求直线求直线CDCD与平面与平面ABDABD所成角的正弦值所成角的正弦值.【思维思维引引】(1)(1)由平面由平面ABCABC平面平面ABDABD想到在其中一个想到在其中一个平面内找两个平面交线的垂线平面内找两个平面交线的垂线,推出线面垂直进而推出推出线面垂直进而推出线线垂直线线垂直.(2)(2)由平面由平面ABCABC平面平面ABDABD推出推出CMCM平面平面ABD
16、,ABD,得到直线得到直线CDCD与平面与平面ABDABD所成角所成角.【解析解析】(1)(1)因为平面因为平面ABCABC平面平面ABD,ABD,平面平面ABCABC平面平面ABD=AB,ADAB,ADABD=AB,ADAB,AD 平面平面ABD,ABD,所以所以ADAD平面平面ABC,ABC,故故ADBC.ADBC.(2)(2)连接连接CM.CM.因为因为ABCABC为等边三角形为等边三角形,M,M为为ABAB的中点的中点,故故CMAB,CM=.CMAB,CM=.又因为平面又因为平面ABCABC平面平面ABD,ABD,而而CMCM 平面平面ABC,ABC,故故CMCM平面平面ABD.ABD
17、.所以所以,CDM,CDM为直线为直线CDCD与平面与平面ABDABD所成的角所成的角.在在RtCADRtCAD中中,CD=4.,CD=4.在在RtCMDRtCMD中中,sinCDM=,sinCDM=所以所以,直线直线CDCD与平面与平面ABDABD所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .【素养素养探探】在求空间角有关的问题中在求空间角有关的问题中,经常利用核心素养中的数学经常利用核心素养中的数学运算运算,通过用面面垂直的性质定理将通过用面面垂直的性质定理将“面面垂直面面垂直”转化转化为为“线面垂直线面垂直”,进而得到所求线面角或面面角进而得到所求线面角或面面角,并进并进行计算行计算.在本例的条件
18、下在本例的条件下,计算二面角计算二面角A-BC-DA-BC-D的余弦值的余弦值.【解析解析】取取BCBC的中点的中点N,N,连接连接AN,DN,AN,DN,因为因为AB=AC,AB=AC,所以所以BCAN,BCAN,由原例题解析可知由原例题解析可知BCAD,BCAD,又又ANAD=A,ANAD=A,所以所以BCBC平面平面ADN,ADN,所以所以ANDAND是二面角是二面角A-BC-DA-BC-D的平面角的平面角,在在RtANDRtAND中中,AN=,AD=2 ,DAN=90,AN=,AD=2 ,DAN=90,所以所以DN=DN=所以所以cosAND=cosAND=角度角度2 2求体积求体积【
19、典例典例】(2018(2018全国卷全国卷)如图如图,在在平行四边形平行四边形ABCMABCM中中,AB=AC=3,ACM,AB=AC=3,ACM=90,=90,以以ACAC为折痕将为折痕将ACMACM折起折起,使使点点M M到达点到达点D D的位置的位置,且且ABDAABDA(1)(1)证明证明:平面平面ACDACD平面平面ABC.ABC.(2)Q(2)Q为线段为线段ADAD上一点上一点,P,P为线段为线段BCBC上一点上一点,且且BP=DQ=DA,BP=DQ=DA,求三棱锥求三棱锥Q-ABPQ-ABP的体积的体积.【思维思维引引】(1)(1)转化为证明转化为证明ABAB平面平面ACD.AC
20、D.(2)(2)过过Q Q作作ACAC的垂线的垂线,得三棱锥得三棱锥Q-ABPQ-ABP底面底面ABPABP上的高上的高.【解析解析】(1)(1)由已知可得由已知可得,BAC=90,BAC=90,则则BAAC.BAAC.又又BAAD,ADAC=A,BAAD,ADAC=A,所以所以ABAB平面平面ACD.ACD.又又ABAB 平面平面ABC,ABC,所以平面所以平面ACDACD平面平面ABC.ABC.(2)(2)由已知可得由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3 .,DC=CM=AB=3,DA=3 .又又BP=DQ=DA,BP=DQ=DA,所以所以BP=2 .BP=2 .作作QEAC,QEAC
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- 2020 _2021 学年 高中数学 第二 直线 平面 之间 位置 关系 2.3 垂直 性质 课件 新人 必修
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