2020_2021学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定课件新人教A版必修2.ppt
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1、2.3.2平面与平面垂直的判定 1.1.二面角二面角(1)(1)定义定义:从一条直线出发的两个半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形所组成的图形叫做二面角叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面这两个半平面叫做二面角的面叫做二面角的面.(2)(2)图示和记法图示和记法图图示示记记法法 二面角二面角-l-或或二面角二面角P-AB-QP-AB-Q或或二面角二面角P-P-l-Q-Q【思考思考】根据根据“从一条直线出发的两个半平面从一条直线出发的两个半平面”,想一想想一想,能否能否用运动的观点定义二面角用运动的观点定义二面角?提示提示:二面角也可以看作是一个半平面以
2、其棱为轴旋转二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成而成.2.2.二面角的平面角二面角的平面角文字文字语语言言在二面角在二面角-l-的的棱棱l上上任取一点任取一点O,O,以以点点O O为为垂足垂足,在半平面在半平面和和内内分分别别作作垂垂直于棱直于棱l的射的射线线OAOA和和OB,OB,则则射射线线OAOA和和OBOB构成的构成的AOBAOB叫做二面角的平面角叫做二面角的平面角图图形形语语言言 符号符号语语言言=l,O,Ol,OA,OA,OB,OB,OA,OAl,OBOBlAOBAOB为为二面角二面角-l-的平面角的平面角规规定定二面角的大小可以用它的平面角来度量二面角的大小可以用它的平
3、面角来度量,二面角的平面角是多少度二面角的平面角是多少度,就就说这说这个二面个二面角是多少度角是多少度.平面角是直角的二面角叫做平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角【思考思考】二面角的平面角的定义中二面角的平面角的定义中,“,“棱棱l上上”、“在半平面在半平面和和内内”、“垂直于棱垂直于棱”可以缺少一个吗可以缺少一个吗?提示提示:这三条是构成二面角的平面角的三要素这三条是构成二面角的平面角的三要素,缺一不缺一不可可.实际上实际上,二面角的平面角的顶点必须在棱上二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两角的两边必须分别在两个半平面内边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直角的两边必须都与
4、棱垂直,这三个缺一不可这三个缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角在前两个要素决定了二面角的平面角在同一个平面内同一个平面内,第三个要素决定了二面角的平面角大小第三个要素决定了二面角的平面角大小的惟一性和平面角所在的平面与棱垂直的惟一性和平面角所在的平面与棱垂直.3.3.平面与平面垂直平面与平面垂直(1)(1)定义定义:两个平面相交两个平面相交,如果它们所成的二面角是如果它们所成的二面角是直二直二面角面角,就说这两个平面互相垂直就说这两个平面互相垂直.平面平面与平面与平面垂直垂直,记作记作.(2)(2)画法画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成
5、与水平平面的画成与水平平面的横边横边垂直垂直.如图所示如图所示.(3)(3)判定定理判定定理:文字文字语语言言一个平面一个平面过过另一个平面的垂另一个平面的垂线线,则这则这两个两个平面垂直平面垂直图图形形语语言言 符号符号语语言言l,l【思考思考】(1)(1)由面面垂直的定义中由面面垂直的定义中“直二面角直二面角”可以想到线线垂可以想到线线垂直和面面垂直有什么关系直和面面垂直有什么关系?提示提示:作出二面角的平面角作出二面角的平面角,由二面角的平面角是直角由二面角的平面角是直角推出两个平面垂直推出两个平面垂直,反之反之,由两个平面垂直也可以推出由两个平面垂直也可以推出二面角的平面角是直角二面角
6、的平面角是直角,即实现了线线垂直与面面垂直即实现了线线垂直与面面垂直的相互转化的相互转化.(2)(2)由面面垂直的判定定理中由面面垂直的判定定理中“l,l”,”,可以想可以想到线面垂直和面面垂直有什么关系到线面垂直和面面垂直有什么关系?提示提示:可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为通常我们将其记为:线面垂直线面垂直,则面面垂直则面面垂直.因此证明面因此证明面面垂直可转化为证明线面垂直面垂直可转化为证明线面垂直.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)两个相交平面组成的
7、图形叫做二面角两个相交平面组成的图形叫做二面角.()(2)(2)对于确定的二面角而言对于确定的二面角而言,平面角的大小与顶点在棱平面角的大小与顶点在棱上的位置有关上的位置有关.()(3)(3)异面直线异面直线a,ba,b分别和一个二面角的两个半平面垂直分别和一个二面角的两个半平面垂直,则则a,ba,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.()(4)(4)如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的一条直内的一条直线线,则则.()提示提示:(1).(1).由二面角的定义由二面角的定义:从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个半平面所组成
8、的图形叫做二面角半平面所组成的图形叫做二面角,所以所以(1)(1)不对不对,实质上实质上它共有四个二面角它共有四个二面角.(2)(2).对于确定的二面角而言对于确定的二面角而言,在其棱上任取两个不同在其棱上任取两个不同的点的点,分别作这两个二面角的平面角分别作这两个二面角的平面角,因为这两个二面因为这两个二面角的平面角所在的边分别平行角的平面角所在的边分别平行,且它们的方向相同且它们的方向相同,所所以这两个角相等以这两个角相等,即平面角的大小与顶点在棱上的位置即平面角的大小与顶点在棱上的位置无关无关,只与二面角的张角大小有关只与二面角的张角大小有关,所以该命题错误所以该命题错误.(3).(3)
9、.由由a,ba,b垂直于两个面垂直于两个面,则则a,ba,b都垂直于二面角的棱都垂直于二面角的棱,故故(3)(3)正确正确.(4)(4).如图所示如图所示,长方体中平面长方体中平面内有一条直线内有一条直线l垂直垂直于平面于平面内的一条直线内的一条直线m,m,但是平面但是平面与平面与平面不垂直不垂直.2.2.在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,二面角二面角A-BC-AA-BC-A1 1的平面角是的平面角是()A.ABCA.ABCB.ABBB.ABB1 1C.ABAC.ABA1 1D.ABCD.ABC1 1【解析解析】选选C.C.因为因为ABBC
10、,BABBC,B1 1BBC,BBC,B B1 1BAB=B,BAB=B,所以所以BCBC平面平面ABBABB1 1A A1 1,又因为又因为A A1 1B B 平面平面ABBABB1 1A A1 1,所以所以BCABCA1 1B,B,所以所以ABAABA1 1是二面角是二面角A-BC-AA-BC-A1 1的平面角的平面角.3.3.如图所示如图所示,在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中,若若ADBC,ADBD,ADBC,ADBD,则有则有()A.A.平面平面ABCABC平面平面ADCADCB.B.平面平面ABCABC平面平面ADBADBC.C.平面平面ABCABC平面平面DBCDBCD
11、.D.平面平面ADCADC平面平面BCDBCD【解析解析】选选D.D.因为因为ADBC,ADBD,ADBC,ADBD,BDBC=B,BDBC=B,且且BC,BDBC,BD 平面平面BCD,BCD,所以所以ADAD平面平面BCD.BCD.因为因为ADAD 平面平面ADC,ADC,所以平面所以平面ADCADC平面平面BCD.BCD.类型一二面角的概念及其大小计算类型一二面角的概念及其大小计算【典例典例】如图所示如图所示,四边形四边形ABCDABCD是正方是正方形形,O,O是正方形的中心是正方形的中心,PO,PO底面底面ABCD,ABCD,侧棱侧棱PAPA与底面与底面ABCDABCD所成的角的正切值
12、所成的角的正切值为为 .求侧面求侧面PADPAD与底面与底面ABCDABCD所成的二面角的大小所成的二面角的大小.【思维思维引引】一方面借助侧棱一方面借助侧棱PAPA与底面与底面ABCDABCD所成的角的正切值为所成的角的正切值为 ,求底面边长和棱锥高的关系求底面边长和棱锥高的关系,另一方面要作出侧面另一方面要作出侧面PADPAD与底面与底面ABCDABCD所成的二面角的平面角所成的二面角的平面角,并解直角三角形求并解直角三角形求正切值正切值.【解析解析】取取ADAD中点中点M,M,连接连接MO,PM,MO,PM,因为四边形因为四边形ABCDABCD是正方形是正方形,所以所以OA=OD,OA=
13、OD,所以所以OMAD,OMAD,因为因为POPO底面底面ABCD,ABCD,所以所以POA=POD=90POA=POD=90,所以所以POAPOD,POAPOD,所以所以PA=PD,PA=PD,所以所以PMAD,PMAD,所以所以PMOPMO是侧面是侧面PADPAD与底面与底面ABCDABCD所成的二面角的平面角所成的二面角的平面角,因为因为POPO底面底面ABCD,ABCD,所以所以PAOPAO是侧棱是侧棱PAPA与底面与底面ABCDABCD所成的角所成的角,所以所以tanPAO=,tanPAO=,设正方形设正方形ABCDABCD的边长为的边长为a,a,则则AO=a,AO=a,所以所以PO
14、=AOPO=AOtanPAO=atanPAO=a =a,=a,所以所以tanPMO=,tanPMO=,所以所以PMO=60PMO=60.故侧面故侧面PADPAD与底面与底面ABCDABCD所成的二面角是所成的二面角是6060.【素养素养探探】在与二面角的概念及其大小计算有关的问题中在与二面角的概念及其大小计算有关的问题中,经常利经常利用核心素养中的逻辑推理用核心素养中的逻辑推理,依据二面角的平面角的定义依据二面角的平面角的定义在柱、锥、台中作出二面角的平面角并计算大小在柱、锥、台中作出二面角的平面角并计算大小.将本例的条件将本例的条件“侧棱侧棱PAPA与底面与底面ABCDABCD所成的角的正切
15、值所成的角的正切值为为 ”改为改为“底面边长为底面边长为a,Ea,E是是PCPC的中点的中点.若二面角若二面角E-BD-CE-BD-C为为30”,30”,求四棱锥求四棱锥P-ABCDP-ABCD的体积的体积.【解析解析】取取OCOC的中点的中点F,F,连接连接EF,OE,EF,OE,如图所示如图所示,因为因为E E为为PCPC的中点的中点,所以所以EFEF为为POCPOC的中位线的中位线,所以所以EFPO,EFPO,因为因为POPO底面底面ABCD,ABCD,所以所以EFEF底面底面ABCD,ABCD,BDBD 平面平面ABCD,ABCD,所以所以EFBD,EFBD,因为因为OFBD,EFBD
16、,OFEF=F,OFBD,EFBD,OFEF=F,所以所以BDBD平面平面EOF,OEEOF,OE 平面平面EOF,EOF,所以所以BDOE,BDOE,所以所以EOFEOF为二面角为二面角E-BD-CE-BD-C的平面角的平面角,所以所以EOF=30EOF=30,因为因为OF=OC=AC=a,OF=OC=AC=a,所以在所以在RtEOFRtEOF中中,EF=OFEF=OFtan 30tan 30=a,=a,所以所以OP=2EF=a,OP=2EF=a,故故V VP-ABCDP-ABCD=a a2 2 a=a a=a3 3.【类题类题通通】1.1.求二面角大小的步骤求二面角大小的步骤简称为简称为“
17、一作二证三求一作二证三求”.2.2.作二面角的平面角的方法作二面角的平面角的方法方法一方法一:(:(定义法定义法)在二面角的棱上找一个特殊点在二面角的棱上找一个特殊点,在两在两个半平面内分别作垂直于棱的射线个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示如图所示,AOB,AOB为二面角为二面角-a-a-的平面角的平面角.方法二方法二:(:(垂线法垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线面的垂线,过垂足作棱的垂线过垂足作棱的垂线,连接该点与垂足连接该点与垂足,利用线利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示如图所示,AFE
18、,AFE为二面角为二面角A-BC-DA-BC-D的平面角的平面角.方法三方法三:(:(垂面法垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面过棱上一点作棱的垂直平面,该平面该平面与二面角的两个半平面产生交线与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角这两条交线所成的角,即为二面角的平面角即为二面角的平面角.如图所示如图所示,AOB,AOB为二面角为二面角-l-的平面角的平面角.提醒提醒:二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.【习练习练破破】1.1.在正方体在正方体ABCD-AABC
19、D-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,截面截面A A1 1BDBD与底面与底面ABCDABCD所成所成锐二面角锐二面角A A1 1-BD-A-BD-A的正切值为的正切值为()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选C.C.如图所示如图所示,连接连接ACAC交交BDBD于点于点O,O,连接连接A A1 1O,O,O O为为BDBD的中点的中点,因为因为A A1 1D=AD=A1 1B,B,所以在所以在A A1 1BDBD中中,A,A1 1OBD.OBD.又因为在正方形又因为在正方形ABCDABCD中中,ACBD,ACBD,所以所以A A1 1OAOA为二面角为二面角A A
20、1 1-BD-A-BD-A的平面角的平面角.设设AAAA1 1=1,=1,则则AO=.AO=.所以所以tanAtanA1 1OA=OA=2.2.如图如图,已知锐二面角已知锐二面角-l-,A-,A为面为面内一点内一点,A,A到到的的距离为距离为2,2,到到l的距离为的距离为4.4.求二面角求二面角-l-的大小的大小.【解析解析】作作AOAO于于O,ODO,ODl于于D,D,易证易证l平面平面AOD,AOD,所以所以ADADl,所以所以ADOADO是二面角是二面角-l-的平面角的平面角,在在RtAODRtAOD中中,因为因为sinADO=sinADO=所以所以ADO=30.ADO=30.所以二面角
21、所以二面角-l-的大小为的大小为30.30.【加练加练固固】一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面两个半平面,则这两个二面角的大小关系为则这两个二面角的大小关系为()A.A.相等相等B.B.互补互补C.C.相等或互补相等或互补D.D.不确定不确定【解析解析】选选D.D.反例反例:如图如图,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,FE,F分别是分别是CD,CCD,C1 1D D1 1的中点的中点,二面角二面角D-AAD-AA1 1-E-E与二面角与二面角B B1 1-AB-DAB-
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- 2020 _2021 学年 高中数学 第二 直线 平面 之间 位置 关系 2.3 垂直 判定 课件 新人 必修
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