数值积分和数值微分精.ppt
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1、数值积分和数值微分第1页,本讲稿共70页5.1 Numerical Integration Based on Interpolation数值积分的基本思想许多实际问题需要计算定积分。如一块铝合金板,压成波纹板,其截面为正弦曲线,已知波纹板长度,求原材料铝合金板的长度(假设冲压过程铝合金板尺寸不变),这就是求f(x)=sinx,丛x=0到x=l的曲线弧长L,即第2类椭圆积分(5.1.1)另外解微分方程和积分方程也涉及计算定积分。第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分第2页,本讲稿共70页如果存在被积函数的原函数,则可由(5.1.2)计算定积分。这仅适用于简单的或特殊的场合。大量的定积分中
2、的被积函数,诸如第2类椭圆积分以及sinx2,等等,不存在用初等函数表示的原函数,或原函数在积分区间内有无定义点,以及大部分无穷积分,另外,当f(x)由离散数据给出时,也无法用Newton-Leibniz公式。第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 插值型求积公式插值型求积公式第3页,本讲稿共70页积分中值定理告诉我们,在积分区间a,b内存在一点,使得即底为(b-a),高为f()的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积 I,f()称为区间a,b上f(x)的平均高度。问题是不知道点的具体位置,难以算出f()的准确值。因此,只要对平均高度f()提供一种算法,相应的就有一种求积方法。如果用积分区间
3、两个端点或中点的函数值f(a),f(b),或作为f(x)的近似值,则求积近似公式分别为(ba)f(a),(ba)f(b),(ba)后者称为中矩形公式。第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 插值型求积公式插值型求积公式第4页,本讲稿共70页如果以区间两端点函数值的算术平均值作为f()的近似值,则求积公式为(5.2.1)它是以直线代替曲线,用梯形面积近似曲边梯形面积,故称梯形公式。一般的,可以在区间a,b上适当选取某些节点xk,将f(xk)加权平均得到平均值f()的近似值,如此构造出的求积公式具有如下形式式中xk为求积节点,Ak为求积系数,即伴随节点xk的权系数。第第5章章数值积分和数值
4、微分数值积分和数值微分 插值型求积公式插值型求积公式第5页,本讲稿共70页这类数值积分的方法通常称作机械求积,其特点是将定积分求值问题归结为被积函数值的计算,这就避开了Newton-Leibniz公式需要原函数的困难。第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 插值型求积公式插值型求积公式第6页,本讲稿共70页插值型求积公式设给定一组节点ax0 x1xnb,且已知函数f(x)在这组节点的值,作Lagrange插值函数 由于代数多项式Ln(x)的原函数易求,用Ln(x)代替f(x)即可得到 的近似值(5.1.4)第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 插值型求积公式插值型求积公式第7
5、页,本讲稿共70页(5.2.4)为插值型求积公式插值型求积公式,式中(5.2.5)为求积系数。因此,Ak仅与节点xk的选取有关,不依赖于被积函数f(x)的的具体形式。由插值余项定理,若f(x)Cn+1a,b,插值余项为xa,bx(a,b)于是插值型求积公式的余项为(5.2.6)第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 插值型求积公式插值型求积公式第8页,本讲稿共70页5.2 梯形公式和梯形公式和Simpson公式公式若取积分区间a,b的2个端点(a,f(a)和(b,f(b)作为插值节点,1次Lagrange插值基函数为代入式(5.2.5),有,代入式(5.2.4),得(5.2.1)称为梯
6、形公式梯形公式。插值余项为 第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分第9页,本讲稿共70页代入式(5.2.6),有因为(x-a)(x-b)在a,b上不变号,由积分中值定理得 (5.2.2)称为梯形公式的余项梯形公式的余项,其中h=ba。若在积分区间a,b上取的3个插值节点x0=a,和x2=b,2次Lagrange插值基函数为代入式(5.2.5),有第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 梯形公式和梯形公式和Simpson公式公式第10页,本讲稿共70页其中h=(ba)/2。代入式(5.2.4),有(5.2.3)称为Simpson求积公式求积公式。插值余项为代入式(5.2.6),有
7、该式不能用积分中值定理。定理5.2.1解决这个问题。第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 梯形公式和梯形公式和Simpson公式公式第11页,本讲稿共70页 定理定理5.2.1 设插值节点距离h=(ba)/n,有求积公式(1)若n为偶数,f(x)Cn+2a,b,则存在(a,b),使(5.2.7)(2)若n为奇数,f(x)Cn+1a,b,则存在(a,b),使(5.2.8)由式(5.2.8),令n=1,得到梯形公式的余项(5.2.2);由式(5.2.7),令n=2,得到Simpson公式的余项余项可以衡量数值求积公式的精确度。衡量数值求积公式精度的另一个概念是代数精确度。第第5章章数值积
8、分和数值微分数值积分和数值微分 梯形公式和梯形公式和Simpson公式公式第12页,本讲稿共70页数值求积方法是近似方法,如用插值多项式代替被积函数,为保证精度,希望求积公式能对尽可能多的函数准确成立。这就提出了代数精确度的概念。定义定义5.2.1 如果定积分I(f)的某个近似求积公式 In(f)对于一切不高于m次的代数多项式 Pm准确成立,即I(Pm)=In(Pm),而对于某个m+1次多项式并不准确成立,即I(Pm+1)In(Pm+1),则说近似求积公式In(f)具有m次代数精确度。根据定理5.2.1,当n为偶数时,Pn+1的n+2阶导数为0,因此求积公式对不超过n+1次的多项式准确成立;当
9、n为奇数时,求积公式的代数精确度为n。易验证梯形公式的代数精确度为1,Simpson的为3。第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 梯形公式和梯形公式和Simpson公式公式第13页,本讲稿共70页例5.2.1求积公式已知其余项的表达式为R(f)=kf(),(0,1),试确定系数A0,A1,B0使该求积公式具有尽可能高的代数精确度,并给出该求积公式的余项和代数精确度的次数。解分别令f(x)=1,x,x2,代入求积公式,有f(x)In(f)=I(f)R(f)f(0)f(1)f(0)1A0+A1=10110 xA1+B0=0011x2A1=0010 x36k010第第5章章数值积分和数值微
10、分数值积分和数值微分 梯形公式和梯形公式和Simpson公式公式第14页,本讲稿共70页解方程组得A1=,A0=,B0=1/6,于是有然后验证f(x)=x3时求积公式是否准确成立,见上页表底行,显然不准确成立,代数精确度是2。同时得到6k=1/4 =1/12,余项一般的,欲使求积公式具有m次代数精确度,令其对于f(x)=1,x,x2,xm都能准确成立,这就是m+1个方程。若正好有m+1个待定参数,则由此解出这m+1个待定参数所得之求积公式至少具有m次代数精确度。若对f(x)=xm+1仍准确成立,但对f(x)=xm+2不准确成立,则具有m+1次代数精确度。第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数
11、值微分 梯形公式和梯形公式和Simpson公式公式第15页,本讲稿共70页eg.Problem5.1(2)。此时令f(x)=1,x,x2,xm+1所得m+2个方程不是矛盾方程组。若是,则无解,代数精确度小于m+1次。由定理5.2.1,n越大(h越小),插值型求积公式的余项越小,代数精确度越高。但是,由于高阶插值会出现Lunge现象,因此高阶插值型求积公式存在不稳定问题。所以,当积分区间大时,通常不用高阶求积公式,而是将区间分段,在每一段上用低阶求积公式,称为复化求积公式。第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 梯形公式和梯形公式和Simpson公式公式第16页,本讲稿共70页复化梯形公
12、式和复化Simpson公式将a,b等分成n个子区间:a=x0 x1xn=b。每个子区间的长度h=hk=(ba)/n,分点的坐标为xk=a+kh,k=0,1,2,n,则在每个子区间上,用梯形公式,则有 (5.2.9)称Tn(f)为复化梯形公式复化梯形公式。其余项为第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 梯形公式和梯形公式和Simpson公式公式第17页,本讲稿共70页(5.2.10)将a,b等分成n个子区间:a=x0 x2x4x2n=b每个子区间x2k,x2k+2的长度为2h,h=(ba)/2n,子区间端点的坐标为x2k=a+2kh,k=0,1,2,n,子区间中点的坐标为x2k+1=a+
13、(2k+1)h,k=0,1,2,n1,则在每个子区间上,用Simpson公式,则有第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 梯形公式和梯形公式和Simpson公式公式第18页,本讲稿共70页 (5.2.11)称Sn(f)为复化复化Simpson公式公式。其余项为(5.2.12)例例5.2.2 分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算使误差不超过210-5,问分别需取若干个节点?第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 梯形公式和梯形公式和Simpson公式公式第19页,本讲稿共70页解解分别由复化梯形公式和复化Simpson公式的余项从理论上作事前估计:f()=-sin,f(
14、4)()=sin 因此,复化梯形公式需取361个节点(即须计算361次函数值),复化Simpson公式需取19个节点。第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 梯形公式和梯形公式和Simpson公式公式第20页,本讲稿共70页复化求积公式的收敛性和收敛阶定义定义 5.2.2若,则称求积公式In是p阶收敛的。显然,复化梯形公式是2阶收敛的,复化Simpson公式是4阶收敛的(根据余项I(f)In中的h方次)。定理定理 5.2.2设f(x)在a,b上黎曼可积,则当分点无限增多,即n且h0时,复化梯形公式和复化Simpson公式收敛到积分 。证证对于复化梯形公式(5.2.9),可表示为第第5章
15、章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 梯形公式和梯形公式和Simpson公式公式第21页,本讲稿共70页因为f(x)在a,b上黎曼可积,并注意到,当n时,由于 h=(ba)/n,有 h=(xk+1xk)=x0,所以这就证明了复化梯形公式的收敛性。用同样的方法证明复化Simpson公式的收敛性(Note:h=x/2)第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 梯形公式和梯形公式和Simpson公式公式第22页,本讲稿共70页5.3 Gauss求积公式求积公式前面构造的插值型求积公式中,如梯形公式,由于求积节点x0、x1给定为区间端点a、b,因而只有2个待定参数A0、A1,对应2个方程,代数
16、精确度只有1。若x0、x1、A0、A1 这4个参数皆由 f(x)=1,x,x2,x3对应的4个方程确定,则至少可达3次代数精确度。例例 5.3.1 第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 Gauss求积公式求积公式第23页,本讲稿共70页一般的,带权定积分(5.3.1)其中(x)0为权函数。当(x)=1时,即是普通积分。若以n阶多项式近似被积函数,则有n+1个求积节点和n+1个求积系数,共有2n+2个参数待定。利用代数精确度的概念,可建立2n+2个方程,即令 f(x)=1,x,x2,x2n+1,使求积公式(5.3.2)成立。从而可使求积公式至少达到2n+1次代数精确度,这种求积公式称为
17、Gauss型的。与等距插值节点的一般插值型求积公式至少有n次代数精确度相比,其代数精确度次数大幅提高第第5章章 数值积分和数值微分数值积分和数值微分 Gauss求积公式求积公式第24页,本讲稿共70页定义定义 5.3.1选互异节点x0,x1,xn,使插值型求积公式(5.3.2)的代数精确度为2n+1,则称该求积公式为Gauss型的。称这些节点为Gauss点。如果像例5.3.1那样直接利用代数精确度的概念列出2n+2个非线性方程组联立求解得到n+1个求积节点和n+1个求积系数,虽然方程组是可解的,但当n稍大,就非常困难。由于Gauss型求积公式是插值型求积公式,只要Gauss点确定了,利用插值原
18、理就可确定求积系数(5.3.3)其中lk(x)是关于Gauss点的Lagrange插值基函数。第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 Gauss求积公式求积公式第25页,本讲稿共70页这就得到了插值型Gauss求积公式(5.3.4)因此,构造Gauss型求积公式的关键是求Gauss点。定理定理5.3.1及其推论给出了求Gauss点的方法:利用正交多项式5.3.1 Gauss点与正交多项式零点的关系点与正交多项式零点的关系定理定理 5.3.1对于插值型求积公式(5.3.4),其节点x0,x1,xn是Gauss点点的充分必要条件是wn+1(x)=(xx0)(xx1)(xxn)与任意不超过n
19、次的多项式P(x)带权正交,即第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 Gauss求积公式求积公式第26页,本讲稿共70页证证先证必要性,即 x0,x1,xn是Gauss点点 因为x0,x1,xn是Gauss点,由Gauss点的定义,它们使求积公式(5.3.4)具有2n+1次代数精确度。因此,对于不超过2n+1次的多项式P(x)wn+1(x),求积公式(5.3.4)准确成立,即 右边和式中wn+1(xk)=0(k=0,1,2,n),所以 第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 Gauss求积公式求积公式第27页,本讲稿共70页再证充分性,即 x0,x1,xn是Gauss点点由Ga
20、uss点的定义(定义定义5.3.1),Gauss点是使求积公式(5.3.4)具有2n+1次代数精确度的点,而要说明求积公式具有2n+1次代数精确度,只要证明在条件 成立时,当f(x)是任意不超过2n+1次的多项式时,求积公式准确成立。设f(x)是任意不超过2n+1次的多项式,用wn+1(x)除f(x),其商为P(x),余项为Q(x),即(5.3.5)其中P(x)和Q(x)均是不超过n次的多项式。第第5章章数值积分和数值微分数值积分和数值微分 Gauss求积公式求积公式第28页,本讲稿共70页对上式带权积分:由定理条件,等式右端第1个积分等于0。对于(n+1)插值节点的插值型求积公式,根据定义5
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